广东省汕头市高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

2012-2013学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1（5分）（2013南充一模）已知全集u=r，集合a=x|02x1，b=x|log3x0，则a（ub）=（）ax|x1bx|x0cx|0x1dx|x0考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：解指数不等式可以求出集合a，解对数不等式可以求出集合b，进而求出ub，根据集合并集运算的定义，代入可得答案解答：解：a=x|02x1x|x0，b=x|log3x0=x|x1，所以cub=x|x1，a（cub）=x|x0故选d点评：本题考查的知识点是集合的交并补集的混合运算，其中解指数不等式和对数不等式分别求出集合a，b，是解答本题的关键2（5分）（2012焦作模拟）已知i是虚数单位，则复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：根据=i+2i2+3i3=123i=13i复数z对应的点为（1，3），得出结论解答：解：z=i+2i2+3i3=123i=13i复数z对应的点为（1，3）所以复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在第三象限故选c点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，是一道基础题3（5分）（2013深圳一模）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）abcd考点：简单空间图形的三视图专题：计算题分析：沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的左视图首先应该是一个正方形，中间的棱在左视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案解答：解：由已知中几何体的直观图，我们可得左视图首先应该是一个正方形，故d不正确；中间的棱在左视图中表现为一条对角线，故c不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故a不正确故b选项正确故选b点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键4（5分）（2013丰台区一模）已知变量x，y满足约束条件，则e2x+y的最大值是（）ae3be2c1de4考点：简单线性规划的应用专题：计算题；不等式的解法及应用分析：令z=2x+y，作出可行域，利用线性规划知识可求得z的最大值，进而可得e2x+y的最大值解答：解：作出可行域如下图阴影所示：由得，所以b（1，0），令z=2x+y，则当直线y=2x+z经过点b时该直线在y轴上的截距z最大，zmax=21+0=2，所以e2x+y的最大值是e2故选b点评：本题考查线性规划的简单应用及指数函数的单调性，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力5（5分）双曲线=1的渐近线与圆x2+（y2）2=1相切，则双曲线离心率为（）abc2d3考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用圆心（0，2）到双曲线=1的渐近线bxay=0的距离等于半径1，可求得a，b之间的关系，从而可求得双曲线离心率解答：解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线为bxay=0，依题意，直线bxay=0与圆x2+（y2）2=1相切，设圆心（0，2）到直线bxay=0的距离为d，则d=1，双曲线离心率e=2故选c点评：本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离，考查分析、运算能力，属于中档题6（5分）（2013浙江模拟）阅读下面程序框图，则输出结果s的值为（）abcd考点：循环结构专题：图表型分析：由2013除以6余数为3，根据程序框图转化为一个关系式，利用特殊角的三角函数值化简，得出6个一循环，可得出所求的结果解答：解：20136=3353，根据程序框图转化得：sin +sin +sin+sin =（ +0+0）+（ +0+0）+（ +0+0）+0=故选d点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，循环结构，以及特殊角的三角函数值，认清程序框图，找出规律是解本题的关键7（5分）在下列命题中，“a=”是“sina=1”的充要条件；（+）4的展开式中的常数项为2；设随机变量n（0，1），若p（1）=p，则p（10）=；已知命题p：x（0，+），3x2x； 命题q：x（，0）3x2x，则命题 p（q）为真命题； 其中所有正确命题的序号是（）abcd考点：命题的真假判断与应用专题：探究型分析：利用充要条件的定义判断利用二项展开式的内容判断利用正态分布的知识去判断利用复合命题的真假关系判断解答：解：当sina=1时，=，所以错误二项展开式的通项公式为，由124k=0，得k=3，即常数项为，所以正确因为n（0，1），p（1）=p，所以p（1）=p（1）=p，所以p（10）=所以正确因为命题p为真，q为假，所以q为真，所以p（q）为真命题，所以正确故选c点评：本题主要考查了命题的真假判断，综合性较强，要求熟练掌握相关的知识8（5分）设q为有理数集，a，bq，定义映射fa，b：qq，xax+b，则fa，bfcd定义为q到q的映射：（fa，bfcd）（x）=fa，b（fcd（x），则（fa，bfcd）=（）afac，bdbfa+c，b+dcfac，ad+bdfab，cd考点：映射专题：新定义分析：根据映射的定义，分别求出fa，b，fcd，然后求出（fa，bfcd），根据映射关系确定答案解答：解：根据映射的定义可设对应的函数为fa，b：y=ax+b，fcd：y=cx+d则（fa，bfcd）（x）=fa，b（fcd（x）=fa，b（cx+d）=a（cx+d）+b=acx+ad+b，根据映射的定义为fac，ad+b：xacx+ad+b，故选c点评：本题主要考查了映射的定义，根据映射的定义得到相应的对应关系是解决本题的关键二、填空题：（本大共7小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的相应位置必做题（913题），选做题（1415题，考生只能从中选做一题）9（5分）（2012宁国市模拟）抛物线y=x2的焦点坐标为考点：椭圆的简单性质专题：计算题分析：根据抛物线的标准方程，再利用抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），求出物线y=x2的焦点坐标解答：解：抛物线y=x2，即 x2=y，p=，=，焦点坐标是 （0，），故答案为：（0，）点评：本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），属基础题10（5分）函数y=x22x3在点m（2，3）处的切线方程为2xy7=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：求导数，确定切线的斜率，利用点斜式，可得切线方程解答：解：求导函数，y=2x2x=2时，y=2函数y=x22x3在点m（2，3）处的切线方程为y+3=2（x2），即2xy7=0故答案为：2xy7=0点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，属于基础题11（5分）若向量，满足且，则（+2）=0考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由向量，满足且，可得再利用向量垂直与数量积的关系即可得出解答：解：向量，满足且，（+2）=0故答案为0点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系及平行向量的性质是解题的关键12（5分）我们知道，任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理，比如：在abc中，三条边a，b，c对应的内角分别为a、b、c，那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为：a2=b2+c22bccosa，请你用规范合理的文字叙述余弦定理（注意，表述中不能出现任何字母）：三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差考点：余弦定理专题：解三角形分析：根据边角关系的符号表示，即可得到文字叙述解答：解：文字叙述余弦定理为：三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差故答案为：三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差点评：本题考查余弦定理的表述方法，考查学生理解能力，属于基础题13（5分）不等式|2x1|2x1解集为x|考点：绝对值不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：通过分类讨论右边0与右边0即可得出解答：解：当时，原不等式可化为2x12x1，即00，矛盾，应舍去；当时，左边0，右边0，显然左边右边，因此综上可知：不等式|2x1|2x1解集为x|故答案为x|点评：熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键14（5分）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，以点（2，）为圆心，半径为2的圆的极坐标方程为=4sin考点：简单曲线的极坐标方程专题：直线与圆分析：由题意可得 圆心的直角坐标为（0，2），半径为2，求得圆的直角坐标方程为x2+（y2）2=4，即 x2+y2=4y再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得它的极坐标方程解答：解：由题意可得 圆心的直角坐标为（0，2），半径为2，故圆的直角坐标方程为x2+（y2）2=4，即 x2+y2=4y再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得 2=4sin，即 =4sin，故答案为 =4sin点评：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程，属于基础题15（2013广东模拟）如图，o中的弦cd与直径ab相交于点e，m为ab延长线上一点，md为o的切线，d为切点，若ae=2，de=4，ce=3，dm=4，则ob=4，mb=考点：与圆有关的比例线段专题：计算题分析：先根据相交弦定理得求出eb，即可求出ob；再结合切割线定理即可求出mb解答：解：由相交弦定理得：ceed=aeeb=6ob=4又md2=mbma=mb（mb+ba）设mb=x16=x（x+8）x=4+4，x=44（舍）故答案为：4，44点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相交弦定理及切线性质的应用属于基础题考查计算能力三解答题：（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）已知等差数列an的前n项和为sn，a2=4，s5=35（）求数列an的前n项和sn；（）若数列bn满足bn=p（p0），求数列bn的前n项的和tn考点：等差数列的前n项和；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（i）利用等差数列的通项公式即可得到a1与d，再利用前n项和公式即可得出；（ii）利用（i）可得bn，利用等比数列的定义即可证明数列bn为等比数列，即可求出其前n项和解答：解：（）设数列an的首项为a1，公差为d则解得，an=3n2前n项和sn=（）an=3n2，且b1=p（p0）当n2时，=p3为定值，数列bn构成首项为p，公比为p3的等比数列 所以 （1）当p3=1，即p=1时，tn=n，（2）当p31，即p1时数列bn的前n项的和是=点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式等是解题的关键17（12分）（2013延庆县一模）空气质量指数pm2.5（单位：g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：pm2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数pm2.5进行监测，获得pm2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）（）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（）在乙城市15个监测数据中任取2个，设x为空气质量类别为优或良的天数，求x的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（i）由茎叶图可知：甲城市空气质量一级和二级共有10天，而乙城市空气质量一级和二级只有5天，因此甲城市空气质量总体较好（ii）由（i）的分析及相互独立事件的概率计算公式即可得出；（iii）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出解答：解：（）甲城市空气质量总体较好（）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为，在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为（）x的取值为0，1，2，x的分布列为：x02p数学期望点评：正确理解茎叶图、相互独立事件的概率计算公式、超几何分布、随机变量的分布列、数学期望的计算公式、排列与组合的计算公式是解题的关键18（14分）已知函数f（x）=2sinx2sin2x+1（xr）（）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；（）若f（）=，x0，求cos2x0的值（）在锐角abc中，三条边a，b，c对应的内角分别为a、b、c，若b=2，c=，且满足f（）=，求abc的面积考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦专题：解三角形分析：（）利用两角和差的正弦公式求得函数f（x）为 sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期t=（）由已知得f（）=sinx0+cosx0=，两边平方，求得sin2x0= 由 x0 可得 2x0，再由 cos2x0=，运算求得结果（）因为 f（）=sina=，求得sina的值，可得a的值 再由c= 求得b的值可得b=c=2，由此求得abc的面积s=bcsina的值解答：解：（）由于 函数f（x）=2sinx2sin2x+1=2sinxcosx+cos2x=sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期t=（）由已知得f（）=sinx0+cosx0=，两边平方，得1+sin2x0=，所以，sin2x0= 因为 x0，所以 2x0，所以，cos2x0=（）因为 f（）=sin2（）+=sina=，所以sina=，又因为abc为锐角三角形，所以a= 所以由a+b+c=，且c= 得到：b=所以b=c=2，且abc的面积s=bcsina=22=1点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题19（14分）（2013海淀区一模）在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abc是正三角形，ac与bd的交点m恰好是ac中点，又pa=ab=4，cda=120，点n在线段pb上，且pn=（）求证：bdpc；（）求证：mn平面pdc；（）求二面角apcb的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由正三角形的性质可得bdac，利用线面垂直的性质可知pabd，再利用线面垂直的判定定理即可证明bdpc；（）利用已知条件分别求出bm、md、pb，得到，即可得到mnpd，再利用线面平行的判定定理即可证明；（）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的平面角解答：证明：（i）abc是正三角形，m是ac中点，bmac，即bdac又pa平面abcd，pabd又paac=a，bd平面pacbdpc（）在正abc中，bm=在acd中，m为ac中点，dmac，ad=cdadc=120，在等腰直角pab中，pa=ab=4，pb=，mnpd又mn平面pdc，pd平面pdc，mn平面pdc（）bad=bac+cad=90，abad，分别以ab，ad，ap为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，b（4，0，0），c，p（0，0，4）由（）可知，为平面pac的法向量，设平面pbc的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，则平面pbc的一个法向量为，设二面角apcb的大小为，则所以二面角apcb余弦值为点评：熟练掌握正三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、平行线分线段成比例在三角形中的逆定理应用、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角是解题的关键20（14分）已知椭圆c：m：+=1（ab0）的离心率e=，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16（）求椭圆m的方程；（）若o（0，0）、p（2，2），试探究在椭圆c内部是否存在整点q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得opq的面积sopq=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（i）利用椭圆的离心率e=，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16，求出几何量，即可得到椭圆m的方程；（）利用sopq=4，可得点q在与直线op平行且距离为2的直线l上，确定直线方程与椭圆方程联立，即可求得结论解答：解：（）设椭圆c的半焦距为c，由题意可知道：，解得（3分）又因为a2=b2+c2，所以所以椭圆的方程为（6分）（）依题意，直线op的方程为y=x，（7分）因为sopq=4，所以q到直线op的距离为2，（8分）所以点q在与直线op平行且距离为2的直线l上，设l：y=x+m，则，解得m=4 （10分）当m=4时，由，消元得41x2+200x0，即 （12分）又xz，所以x=4，3，2，1，相应的y也是整数，此时满足条件的点q有4个当m=4时，由对称性，同理也得满足条件的点q有4个（13分）综上，存在满足条件的点q，这样的点有8个（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（14分）（2007山东）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（）求函数f（x）的极值点；（）证明对任意的正整数n，不等式都成立考点：利用导数