解三角形题型总结.doc

解三角形一、知识梳理1.正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=.3.SABC=absinC=bcsinA=acsinB,4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos(2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60；(3)ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列.7、正余弦定理的应用：1. 正弦定理适用于有两个角存在的情况，下图是“边边角”的情况：（absinA无解）a=bsinA，一解 b sinAab，一解2. 余弦定理应用于两种情况：（1）已知三边求三角（2）已知两角和其中一边的对角，求其他边角8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.【题型讲解】1、 与三角函数、恒等变换的结合【练习】1.已知ABC中，则 （ ）(A) (B) (C) (D) 2.在三角形ABC中， cosC的值是 （ ） B.1 3、在锐角三角形ABC中，有（ ） AcosAsinB且cosBsinA BcosAsinB且cosBsinB且cosBsinA DcosAsinA4、A为ABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ABC是_三角形.5、在锐角ABC中，则（ ） A QRP B PQR C RQP D QPR2、 熟练公式【例1】在中，若，,，则 .【例2】在ABC中，已知=,=,B=45,求A、C和.【解析】 B=4590且sinBb,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,c=.当A=120时，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15, =.【例3】在ABC中，若a=2, b=2, c=2,则A的度数是( )(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75【例4】边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为( )(A) 90 (B) 120 (C) 135 (D) 150【例5】在ABC中，若B=30, AB=2, AC=2, 则ABC的面积是【例6】设的内角所对的边分别为.已知，.（）求的周长；（）求的值.【练习】1、ABC中，=8,B=60,C=75,求;2、ABC中，B=30, =4,c=8,求C、A、a.3、在ABC中，a，b，B45，则A等于（）A30 B60 C30或120D 30或1504.在ABC中，a15，b10，A60，则cosB( )AB. C D.5、在ABC中，若则sin A 的值为（ ） A. B. - C. D.- 6、在ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）A B C D 7、在ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积为()A. B. C.或 D.或8、已知ABC的三边长，则ABC的面积为 （ ）ABCD 9、在ABC中，A=60, c:b=8:5,内切圆的面积为12,则外接圆的半径为_.3、 巧妙求值例1、在中，若，则等于（ ）A B C D例2、在ABC中，若_例3、在ABC中，A60，b1，其面积为，则等于( )A3BCD例4、已知ABC的周长为9，且，则cosC的值为（ ）ABCD例5、在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为则角C 为 A B C D 【变式训练】1、【练习】1、在中，若，则等于（ ）A. B. C. 或 D. 或2、在ABC中，若则 ( )A B C D 3、（2010重庆文数） 设的内角A、B、C的对边长分别为、,且3+3-3=4 .求sinA的值4、ABC中，若，则等于 （ ）A 2 B C D 5、在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为则角C 为 6、已知A、B、C是ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为( )Asin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcos(BC)Bsin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcos(AC)Csin2Csin2Asin2B-2sinAsinBcosCDsin2(AB)sin2Asin2B-2sinBsinCcos(AB)7、在ABC中，C60，a、b、c分别为A、B、C的对边，则= 8、在中，角的对边边长分别为, 则的值为 A38 B37 C36 D359、中，若b=2a , B=A+60,则A= .4、 判断三角形形状【解题思路】判定三角形形状时，一般利用“角化边”或“边化角”进行化简消元；若是判断三角形是钝角、直角还是锐角三角形，直接观察最大角例1、在ABC中，已知，请判断ABC的形状。例2、在ABC中，已知，请判断ABC的形状。例3、在ABC中，bcosAcosB，试判断三角形的形状.解析：利用正弦定理将边转化为角.bcosAcosB 又b2RsinB，2RsinA2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB0sin（AB）0 0A，B，ABAB0，即AB故三角形是等腰三角形.例4、在ABC中，若，则ABC的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形D.等边三角形例5.在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形例6.若的三个内角满足，则 （ ）（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.【练习】1、在ABC中，若则ABC的形状是_。2、ABC中，a = 2 b cosC，则这个三角形一定是（ ） A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形3、在中，已知，则的形状是（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形4、ABC中，则ABC一定是 （ ）A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形5、ABC中，则ABC一定是 （ ）A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形6、在ABC中，那么ABC一定是（ ）A锐角三角形B直角三角形 C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形7、（1）在ABC中，已知，那么ABC一定是 。（2）在ABC中，若，判断ABC的形状。8、ABC 中，则ABC一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形【取值范围问题】1、已知ABC中， AB=1，BC=2，则角 C的取值范围是（ ） A B C D 2、设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m的取值范围是( )A.0m3B.1m3C.3m4D.4m63、钝角三角形ABC的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ） A 1，2，3 B 2，3，4 C 3，4，5 D 4，5，6 4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定5. 设A，B，C为三角形的3个内角，且方程有2个相等实根，那么（ ） A B C D 6、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）A B CD 【变式】1、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）ABCD 2、已知钝角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是 【三角形解的个数】1、在ABC中，a12，b13，C60，此三角形的解的情况是（ ）A无解B一解C二解D不能确定 2、不解三角形，下列判断中正确的是（ ） Aa=7，b=14，A=300有两解 Ba=30，b=25，A=1500有一解 Ca=6，b=9，A=450有两解 Da=9，c=10，B=600无解3、ABC中，已知 60，如果ABC 两组解，则x的取值范围( )ABCD 4、在ABC中，若b=2,a=2，且三角形有解，则A的取值范围是( )A.0A30 B.0A45 C.0A90 D.30A60【实际运用】1、甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.15分钟2、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）A5000米B5000米C4000米D 米3、已知甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？ 4、如下图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），在河岸选取相距40米的C、D两点，测得，求A、B两点间的距离。 5、（2009辽宁卷17）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离。(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449)【综合题型】1、已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则= _2、如图，ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，ADC=45，则AD的长度等于_。3、在中，若b=5，tanA=2，则sinA=_；a=_。4、在ABC中，证明：。5、在ABC中，cosC是方程的一个根，求ABC周长的最小值。6、在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC（）求角C的大小；（）求sinA-cos（B+）