平面应力问题.doc

平面应力问题平面域A内的基本方程:平衡微分方程（在A内） 几何方程（在A内）物理方程（在A内）即:S上边界条件:应力边界条件在 上）位移边界条件（在 上）平面应变问题常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解2、 基本假设1、连续性假定假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。2、完全弹性假定 a.完全弹性外力取消，变形恢复，无残余变形。b.线性弹性应力与应变成正比。即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。3、均匀性假定假定物体由同种材料组成,因此， E、等与位置 无关。4、各向同性假定 假定物体各向同性。E、与方向无关。由3、4知E、等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。5、小变形假定假定位移和形变为很小。a.位移物体尺寸， 例：梁的挠度v梁高h。例：梁的 103 1, 1弧度。小变形假定的应用：a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:理想弹性体的小变形问题。第2节 有限元方法概述1分析思路是：将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。 2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。 3弹性力学的基本概念体力：分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力 、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力 。P5,6例题1：试分析AB薄层中的应力状态因表面无任何面力，故表面上，有：在近表面很薄一层内故接近平面应力问题例2由 ,两边对x积分，由 ,两边对y积分代入第三式分开变量， 因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左，右均应=常数 ，由此解出 。可得物理意义： 表示x，y向的刚体平移，表示物体绕原点的刚体转动。例3列出边界条件：例4列出边界条件：显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布。3、 混合边界条件： 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件； 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例4列出 的边界条件：例5 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),将几何方程、物理方程代入平衡微分方程，按位移求解平面应力问题的微分方程为(b)位移边界条件（c）用位移表示的应力边界条件（d）第一式自然满足，第二式成为解出 均属于位移边界条件，代入 得 得例6三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D点共点（连续），变形后三连杆在 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。因此在常体力情况下，按应力求解平面问题可归纳为求解一个应函数，在区域内满足相容性方程，在边界上满足应力边界条件，在多连体中还应该满足位移单值条件。由相容性方程求解出应力函数，然求解出应力分量，再由物理方程和几何方程即可求解应变分量和位移分量。例7 试列出图中的边界条件解: (a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。(b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件： (b) 在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时， 注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核例8 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程(2) 应力边界条件，在所有受面力的边界 上。其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。(3) 位移边界条件。本题在x = l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。(4) 应变协调方程例9 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即 （a）相容； （b）须满足B = 0, 2A=C ； （c）不相容，只有C = 0 。例10 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（当 ）。（a） 此组应力满足平衡方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F, D=-E.此外，还应满足应力边界条件。（b） 为了满足相容方程，其系数必须满足A + B = 0。为了满足平衡微分方程，其系数必须满足 A = B =-C/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。例11 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程试证明函数都满足重调和方程因而都可以作为应力函数使用。解：上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程）例12 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，(a)解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程 ;（3）应力边界条件（在 上）。 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足再校核边界条件，在主要边界上再将式（b）表达式代入次要边界条件，其主矢量为而主矩为其主矢量为其主矢量为0，而主矩为 由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。例13在材料力学中，当矩形截面梁（宽度 ）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力 和挤压应力 的公式。 （提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f (y)，再由相容方程确定f (y),并校核梁的左右边界条件。解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（在 上）。（a）不计体力，将 代入平衡微分方程第一式， 得:两边对y积分，得再由上下的边界条件将 代入平衡微分方程的第二式,得对y积分，得 由此得 上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。（b）若q为常数，则 ，得代入相容方程为了满足相容方程 此式 和式（c），（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得积分得由次要边界条件由此得 读者可检测，式（c），（d），（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x =0, l小边界上的剪力即为主矢量），因而是该问题之解。1、 逆解法和半逆解法多项式解法1当体力为常量，按应力函数 求解平面应力问题时， 应满足 A内相容方程 S = 上应力边界条件, 多连体中的位移单值条件。 (c)对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由 求应力的公式是 (d)2 .逆解法 先满足(a),再满足(b)。步骤: 先找出满足 的解 代入(d), 求出 在给定边界形状S下，由式(b)反推出各边界上的面力， (e)例14 一次式 对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力例15 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示 例16设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？解：按逆解法1. 将 代入相容方程，可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。2. 由 求出应力分量 3. 由边界形状和应力分量反推边界上的面力。 在主要边界（大边界） 上因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即在x = 0，l的次要边界（小边界）上， 在x = 0,l 小边界上的面力 如下图中(a) 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。 由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问题。3.半逆解法 步骤： 假设应力的函数形式 （根据受力情况，边界条件等）； 由应力(d)式，推测 的函数形式 代入 ，解出 ； 由式（d），求出应力； 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。 如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解2、 矩形梁的纯弯曲梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。 本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件 求解步骤： 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a) 检验应力边界条件，原则是: a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。 b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南 原理，用积分的应力边界条件代替主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 次要边界 x=0, l(c)满足。 的边界条件无法精确满足。 用两个积分的条件代替 ,式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。3、 位移分量的求出 在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移1. 由物理方程求形变2. 代入几何方程求位移 对式(a)两边乘 积分, 对式(b)两边乘 积分 , 再代入(c) , 并分开变量， 上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 由此解出得出位移为3. 待定的刚体位移分量须由边界约束条件来确定 归纳：从应力求位移步骤：1由物理方程求出形变 2.代入几何方程，积分求 3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量纯弯曲问题的讨论1. 弯曲应 力与材料力学的解相同。 2. 铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立 3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力学解相同。 4、 简支梁受均布荷载简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 按半逆解法求解 假设应力分量。由材料力学因为所以，可假设因为所以，可假设因为所以，可假设 现采用此假设 由应力分量推出应力函数的形式。由对 x 积分对x再积分 将 代入相容方程，求解 :相容方程对于任何 均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程解出:(b)将式(b)代入式(a)，即得 。 由 求应力 在无体力下，应力公式如书中式( f ),(g),(h)所示。 对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 考察边界条件。主要边界次要边界应用圣维南原理，列出三个积分条件由此解出H，K.另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足最后应力解答：5、 楔形体受重力及液体压力 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。用半逆解法求解（1）用量纲分析法因为应力 , 而应力的量纲只比假设应力: 高一次（L），所以应力= (x , y 一次式）,即可假设应力为x , y 的一次式。（2）由应力 关系式， 应为x,y的三次式 (3) 满足相容方程 (4）由 求应力（5） 考察边界条件-本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件。 x=0 铅直面 解出 斜边界上须按一般的应力边界条件来表示，有其中由式（b)解出a、b,最后的应力解答水平截面上的应力分布如图所示例题17 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 图3-5，试用应力函数 求解应力分量。解 本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解1. 将 代入相容方程，显然是满足的2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。3考察边界条件： 主要边界 上应精确满足式(2-15)在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得由(a),(b) 解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核代入应力公式，得例题18 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。解用半逆解法求解1假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即 2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式所以3. 由相容方程求应力函数。代入 得要使上式在任意的x处都成立，必须代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式 4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 体力求得应力分量为5考察边界条件：主要边界 上,有 得 得 得由上式得到求解各系数，由 得由此得又有代入A,得 在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件由式(g),(h)解出代入应力分量的表达式得最后的应力解答例题19已知试问它们能否作为平面问题的应力函数解作为应力函数，必须首先满足相容方程将 代入(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。例题20图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零解：应用应力函数求解：(1) 校核 相容方程 ，满足(2) 求应力分量 ，在无体力时，得(3) 考察主要边界条件均已满足考察次要边界条件，在y=0上 满足 得 得代入，得应力的解答上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解(4) 求应变分量，(5) 求位移分量将u,v代入几何方程的第三式两边分离变量，并全都等于 常数，即从上式分别积分，求出代入u,v, 得再由刚体约束条件 得 得 得 代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0例题20 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量解：应用上述应力函数求解(1) 将 代入相容方程由此(2) 代入应力公式，在无体力下，得(3) 考察主要边界条件对于任意的x值，上式均满足，由此得 (a) (b)(c) (d)由(3)+(4)得由(3)-(4)得 (e) 由(5)-(1)得(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由得 （f） 由式(2)和(6)解出 另两个积分的边界条件显然是满足的 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答 读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的例题21矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数 求q解其应力分量o q 解：应用上述应力函数求解(1) 代入相容方程(2) 求应力分量，在无体力下(3)考察边界条件，在主要边在小边界（ x= 0）再由(a),(b)式解出代入，得应力解答，例题22 试用应力函数 求解图中。所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量本题得出的应力解答是例题23 试用应力函数 求解图中所示的半平面体在 的边界上受均布切力q的问题。 解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是第三节 用直角坐标法求解平面问题实例第四节极坐标 直角坐标(x,y)与极坐标 比较相同:两者都是正交坐标系。区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有 固定的方向, x 和y 的量纲均为L。 极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向一、 极坐标中的平衡微分方程 在A内任一点（ ， ）取出一个微分体，考虑其平衡条件。微分体-由夹角为 的两径向线和距离 为 的两环向线围成注意两 面不平行，夹角为 ；两 面面积不等，分别为 ， 。 从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向转动为正。微分体上的作用力有体力- ， 以坐标正向为正。应力- 面， 面分别表示应力及其 增量： 应力同样以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负 平衡条件应用假定:（1）连续性，（2）小变形。考虑通过微分体形心 C 的 向及矩的平衡，列出3个平衡条件 :-通过形心C的 向合力为0，其中可取 上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微量，得式(a)中1、2、4项与直角坐标的方向相似; 而 -通过形心C的 向合力为0略去三阶微量，保留到二阶微量，得式(b)中1、2、4项与直角坐标的方程相似，而 -是由于 面的面积大于 面引起的， -是由于 面上的切应力 在C点的 向有投影 -通过形心C的力矩为0，当考虑到二阶微量时，得2、 极坐标中的几何方程及物理方程 几何方程-表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 。 过任一点 作两个沿正标向的微分线段 ,1. 只有径向位移 ，求形变P,A,B变形后为 ，各点的位移如图在小变形假定 下PA线应变所以切应变为2. 只有环向位移 ,求形变P,A,B变形后为 ，各点的位移如图切应变为 3.当 和 同时存在时，几何方程为3、 极坐标中的应力函数与相容方程 以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系，用于1、 物理量的转换; 2,从直角坐标系中的方程导出极坐标系中的方程1. 从直角坐标系到极坐标系的变换坐标变量的变换反之函数的变换：将式 或 代入，矢量的变换：位移 或导数的变换将对 的导数，变换为对 的导数 可看成是 ，而 又是 的函数，即 是通过中间变量 ，为 的复合函数有:而代入，即得一阶导数的变换公式,二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导出。例如展开即得拉普拉斯算子的变换：由式（f）得2. 极坐标中的相容方程3. 极坐标中应力用应力函数 表示可考虑几种导出方法 (1)从平衡微分方程直接导出（类似于直角坐标系中方法） (2) 应用特殊关系式，即当x轴移动到与 轴重合时，有: (3) 应用应力变换公式（下节）代入式 ( f ) ，得出 的公式。(4) 应用应力变换公式（下节）而比较两式的 的系数，便得出 的公式。4.极坐标系中按应力函数 求解，应满足(1) A 内相容方程(2) 上的应力边界条件（设全部为应力边界条件）(3) 多连体中的位移单值条件4、 应力分量的坐标变换式应力分量不仅具有方向性，还与其作用面有关。应力分量的坐标变换关系： 1已 知 ，求 取出一个包含x面y(含 )和 面（含 ）的三角形微分体，厚度为1，如下图 A，考虑其平衡条件得同理，由 得 类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形，微分体，厚度为1，如图B，考虑其平衡条件 得2、已知 ，求应用相似的方法，可得到5、 轴对称应力和相应的位移 轴对称，即绕轴对称，凡通过此轴的任何面均为对称面轴对称应力问题：应力数值轴对称- 仅为 的函数，应力方向轴对称- 相应的应力函数 ，所以应力公式为：1）相容方程其中 相容方程成为常微分方程，积分4次得 的通解(2) 应力通解：将式 (c) 代入式 (a） （3）应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。(4)求对应的位移： 将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分将 代入第三式分开变量，两边均应等于同一常量F,由两个常微分方程代入 ，得轴对称应力对应的位移通解，6、 圆环或圆筒受均布压圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力，属于轴对称应力问题，可以引用轴对称应力问题的通解。力边界条件是式(b)中的 条件是自然满足的，而其余两个条件还不足以完全确定应力解答(a) 。 考察多连体中的位移单值条件圆环或圆筒，是有两个连续边界的多连体。而在位移解答中是一个多值函数：对于 和 是同一点，但式(c)却得出两个位移值。由于同一点的位移只能为单值，因此B = 0由B=0 和边界条件 (b) ，便可得出拉梅解答，解答（d）的应用：（1）只有内压力（2）只有内压力 且 ，成为具有圆孔的无限大薄板（弹性体）3）只有外压力七、 压力隧洞1.压力隧洞-圆筒埋在无限大弹性体中，受有均布内压力。圆筒和无限大弹性体的弹性常数分别为本题是两个圆筒的接触问题，两个均为轴对称问题（平面应变问题） 因为不符合均匀性假定，必须分别采用两个轴对称解答：圆筒无限大弹性体应考虑的条件：（1） 位移单值条件（2） 圆筒内边界条件：（3） 无限远处条件，由圣维南原理,（4） 的接触条件，当变形后两弹性体保持连续时，有由（1）（4）条件，解出解答（书中式（4 -16）。2.一般的接触问题。当两个弹性体 ，变形前在s上互相接触，变形后的接触条件可分为几种情况(1) 完全接触：变形后两弹性体在s上仍然保持连续。这时的接触条件为：在s上 (2) 有摩阻力的滑动接触：变形后在S上法向保持连续，而切向产生有摩阻力的相对滑移，则在S上的接触条件为其中C为凝聚力。(3) 光滑接触：变形后法向保