高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件 理 北师大版.ppt

9 3圆的方程 第九章平面解析几何 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 圆的定义与方程 知识梳理 定点 定长 a b r d2 e2 4f 0 1 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法 大致步骤 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 3 解出a b r或d e f代入标准方程或一般方程 知识拓展 2 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种 已知圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 1 点在圆上 2 点在圆外 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 确定圆的几何要素是圆心与半径 2 已知点a x1 y1 b x2 y2 则以ab为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 方程x2 2ax y2 0一定表示圆 5 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0外 则 dx0 ey0 f 0 6 方程 x a 2 y b 2 t2 t r 表示圆心为 a b 半径为t的圆 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 2018 南昌模拟 以点 3 1 为圆心 并且与直线3x 4y 0相切的圆的方程是a x 3 2 y 1 2 1b x 3 2 y 1 2 1c x 3 2 y 1 2 1d x 3 2 y 1 2 1 答案 1 2 3 4 5 6 3 圆c的圆心在x轴上 并且过点a 1 1 和b 1 3 则圆c的方程为 解析 1 2 3 4 5 6 答案 x 2 2 y2 10 解析设圆心坐标为c a 0 点a 1 1 和b 1 3 在圆c上 ca cb 圆c的方程为 x 2 2 y2 10 题组三易错自纠4 若方程x2 y2 mx 2y 3 0表示圆 则m的取值范围是 解析 1 2 3 4 5 6 答案 5 若点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的内部 则实数a的取值范围是a 11或a 1d a 4 解析 1 2 3 4 5 6 答案 解析 点 1 1 在圆内 1 a 2 a 1 2 4 即 1 a 1 6 若圆c的半径为1 圆心在第一象限 且与直线4x 3y 0和x轴都相切 则该圆的标准方程是a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 1c x 2 2 y 1 2 1d x 3 2 y 1 2 1 解析 解析由于圆心在第一象限且与x轴相切 可设圆心为 a 1 a 0 又圆与直线4x 3y 0相切 1 2 3 4 5 6 答案 圆的标准方程为 x 2 2 y 1 2 1 故选a 题型分类深度剖析 典例 1 过点a 4 1 的圆c与直线x y 1 0相切于点b 2 1 则圆c的方程为 题型一圆的方程 师生共研 解析 x 3 2 y2 2 答案 解析方法一由已知kab 0 所以ab的中垂线方程为x 3 过点b且垂直于直线x y 1 0的直线方程为y 1 x 2 即x y 3 0 所以圆c的方程为 x 3 2 y2 2 方法二设圆方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 因为点a 4 1 b 2 1 都在圆上 故所求圆的方程为 x 3 2 y2 2 2 已知圆c经过p 2 4 q 3 1 两点 且在x轴上截得的弦长等于6 则圆c的方程为 解析 x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 答案 解析设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 又令y 0 得x2 dx f 0 设x1 x2是方程 的两根 由 x1 x2 6 即 x1 x2 2 4x1x2 36 得d2 4f 36 由 解得d 2 e 4 f 8或d 6 e 8 f 0 故所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0或x2 y2 6x 8y 0 1 直接法 直接求出圆心坐标和半径 写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 求出a b r的值 选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 跟踪训练 2017 广东七校联考 一个圆与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 且在直线y x上截得的弦长为2 则该圆的方程为 解析 x2 y2 6x 2y 1 0或x2 y2 6x 2y 1 0 答案 解析方法一 所求圆的圆心在直线x 3y 0上 设所求圆的圆心为 3a a 又所求圆与y轴相切 半径r 3 a 故所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 即x2 y2 6x 2y 1 0或x2 y2 6x 2y 1 0 方法二设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 由于所求圆与y轴相切 r2 a2 又 所求圆的圆心在直线x 3y 0上 a 3b 0 故所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 即x2 y2 6x 2y 1 0或x2 y2 6x 2y 1 0 方法三设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 在圆的方程中 令x 0 得y2 ey f 0 由于所求圆与y轴相切 0 则e2 4f 即 d e 2 56 2 d2 e2 4f d 3e 0 故所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 1 0或x2 y2 6x 2y 1 0 典例已知点 x y 在圆 x 2 2 y 3 2 1上 求x y的最大值和最小值 题型二与圆有关的最值问题 师生共研 解答 解设t x y 则y x t t可视为直线y x t在y轴上的截距 x y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值 即直线与圆相切时在y轴上的截距 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径 几何画板展示 1 在本例的条件下 求的最大值和最小值 解答 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值 即直线与圆相切时的斜率 设过原点的直线的方程为y kx 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径 解答 求它的最值可视为求点 x y 到定点 1 2 的距离的最值 可转化为求圆心 2 3 到定点 1 2 的距离与半径的和或差 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 1 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法 一般根据长度或距离的几何意义 利用圆的几何性质数形结合求解 2 与圆上点 x y 有关代数式的最值的常见类型及解法 形如u 型的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点 a b 的距离的平方的最值问题 跟踪训练已知点p x y 在圆c x2 y2 6x 6y 14 0上 1 求的最大值和最小值 解答 解方程x2 y2 6x 6y 14 0可变形为 x 3 2 y 3 2 4 表示圆上的点p与原点连线的斜率 显然当po o为原点 与圆相切时 斜率最大或最小 如图 所示 设切线方程为y kx 即kx y 0 由圆心c 3 3 到切线的距离等于半径2 2 求x y的最大值与最小值 解答 解设x y b 则b表示动直线y x b在y轴上的截距 显然当动直线y x b与圆 x 3 2 y 3 2 4相切时 b取得最大值或最小值 如图 所示 由圆心c 3 3 到切线x y b的距离等于圆的半径2 解答 题型三与圆有关的轨迹问题 师生共研 典例 2017 潍坊调研 已知圆x2 y2 4上一定点a 2 0 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 解设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 几何画板展示 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 解答 解设pq的中点为n x y 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连接on 则on pq 所以 op 2 on 2 pn 2 on 2 bn 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 几何画板展示 求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同常采用以下方法 1 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 2 定义法 根据圆 直线等定义列方程 3 几何法 利用圆的几何性质列方程 4 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 跟踪训练 2017 河北衡水中学调研 已知rt abc的斜边为ab 且a 1 0 b 3 0 求 1 直角顶点c的轨迹方程 解答 解方法一设c x y 因为a b c三点不共线 所以y 0 因为ac bc 所以kac kbc 1 化简得x2 y2 2x 3 0 因此 直角顶点c的轨迹方程为x2 y2 2x 3 0 y 0 方法二设ab的中点为d 由中点坐标公式得d 1 0 由圆的定义知 动点c的轨迹是以d 1 0 为圆心 2为半径的圆 由于a b c三点不共线 所以应除去与x轴的交点 所以直角顶点c的轨迹方程为 x 1 2 y2 4 y 0 2 直角边bc的中点m的轨迹方程 解答 解设m x y c x0 y0 因为b 3 0 m是线段bc的中点 所以x0 2x 3 y0 2y 由 1 知 点c的轨迹方程为 x 1 2 y2 4 y 0 将x0 2x 3 y0 2y代入得 2x 4 2 2y 2 4 即 x 2 2 y2 1 因此动点m的轨迹方程为 x 2 2 y2 1 y 0 利用几何性质巧设方程求半径 思想方法 典例在平面直角坐标系xoy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆c上 求圆c的方程 思想方法指导本题可采用两种方法解答 即代数法和几何法 1 一般解法 代数法 可以求出曲线y x2 6x 1与坐标轴的三个交点 设圆的方程为一般式 代入点的坐标求解析式 2 巧妙解法 几何法 利用圆的性质 知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上 从而设圆的方程为标准式 简化计算 显然几何法比代数法的计算量小 因此平时训练多采用几何法解题 思想方法指导 规范解答 规范解答 解一般解法 代数法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 设圆的方程是x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 故圆的方程是x2 y2 6x 2y 1 0 巧妙解法 几何法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 所以圆c的方程为 x 3 2 y 1 2 9 课时作业 1 已知点a 4 5 b 6 1 则以线段ab为直径的圆的方程为a x 1 2 y 3 2 29b x 1 2 y 3 2 29c x 1 2 y 3 2 116d x 1 2 y 3 2 116 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意可知a 4 5 b 6 1 解析 答案 故以线段ab为直径的圆的方程是 x 1 2 y 3 2 29 故选b 2 圆心在y轴上 且过点 3 1 的圆与x轴相切 则该圆的方程是a x2 y2 10y 0b x2 y2 10y 0c x2 y2 10 x 0d x2 y2 10 x 0 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析根据题意 设圆心坐标为 0 r 半径为r 则32 r 1 2 r2 解得r 5 可得圆的方程为x2 y2 10y 0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 2017 福建厦门联考 若a 则方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示的圆的个数为a 0b 1c 2d 3 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆的条件为a2 4a2 4 2a2 a 1 0 即3a2 4a 4 0 仅当a 0时 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 故选b 5 2018 长沙二模 圆x2 y2 2x 2y 1 0上的点到直线x y 2的距离的最大值是 解析 答案 解析将圆的方程化为 x 1 2 y 1 2 1 圆心坐标为 1 1 半径为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 4c x 4 2 y 2 2 4d x 2 2 y 1 2 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析设圆上任一点坐标为 x0 y0 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 已知a r 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标是 半径是 2 4 解析由已知方程表示圆 则a2 a 2 解得a 2或a 1 当a 2时 方程不满足表示圆的条件 故舍去 当a 1时 原方程为x2 y2 4x 8y 5 0 化为标准方程为 x 2 2 y 4 2 25 表示以 2 4 为圆心 5为半径的圆 5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 8 若圆c经过坐标原点与点 4 0 且与直线y 1相切 则圆c的方程是 解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点 0 0 和 4 0 所以设圆心为 2 m 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 2017 广州模拟 已知圆c x2 y2 kx 2y k2 当圆c的面积取最大值时 圆心c的坐标为 0 1 所以当k 0时 圆c的面积最大 此时圆心c的坐标为 0 1 10 已知点m 1 0 是圆c x2 y2 4x 2y 0内的一点 那么过点m的最短弦所在直线的方程是 解析过点m的最短弦与cm垂直 圆c x2 y2 4x 2y 0的圆心为c 2 1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 x y 1 0 最短弦所在直线的方程为y 0 x 1 即x y 1 0 11 在平面直角坐标系xoy中 已知圆p在x轴上截得的线段长为2 在y轴上截得的线段长为2 1 求圆心p的轨迹方程 解设p x y 圆p的半径为r 则y2 2 r2 x2 3 r2 y2 2 x2 3 即y2 x2 1 p点的轨迹方程为y2 x2 1 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 若p点到直线y x的距离为 求圆p的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解设p点的坐标为 x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y0 x0 1 即y0 x0 1 圆p的方程为x2 y 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆p的方程为x2 y 1 2 3 综上所述 圆p的方程为x2 y 1 2 3 12 已知m为圆c x2 y2 4x 14y 45 0上任意一点 且点q 2 3 1 求 mq 的最大值和最小值 解由圆c x2 y2 4x 14y 45 0 可得 x 2 2 y 7 2 8 所以点q在圆c外 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线mq的方程为y 3 k x 2 2 若m m n 求的最大值和最小值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11