广东省汕头市澄海凤翔中学高三数学上学期第一次段考试卷 理（含解析）.doc

广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）设i是虚数单位，则复数=（）a6+5ib65ic6+5id65i2（5分）设集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=（）aub1，3，5c3，5，6d2，4，63（5分）若向量，向量，则=（）a（2，4）b（3，4）c（6，10）d（6，10）4（5分）下列函数，在区间（0，+）上为增函数的是（）ay=ln（x+2）bcd5（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）a12b11c3d16（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）a12b45c57d817（5分）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）abcd8（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义=，若平面向量、满足|0，与的夹角，且和都在集合中，则=（）ab1cd二、填空题（本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.）（一）必做题（913题）9（5分）不等式|x+2|x|1的解集为10（ 5分）（x2+）6的展开式中x3的系数是（用数字作答）11（5分）已知递增的等差数列an满足a1=1，a3=a224，则an=12（5分）曲线y=x3x+3在点（1，3）处的切线方程为13（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为（二）选做题【坐标系与参数方程】14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，曲线c1与c2的参数方程分别为（t为参数）和（为参数），则曲线c1与c2的交点坐标为【几何证明选讲】15（几何证明选讲选做题）如图，圆o中的半径为1，a、b、c是圆周上的三点，满足abc=30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则图pa=三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16（12分）已知函数f（x）=asin（x），（a0，xr）的最大值为2（1）求f（）的值； （2）若sin，（，0），求f（2+）17（12分）佛山某中学2015届高三（1）班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179（） 请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；（） 利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm的人数为x，求x的分布列和数学期望18（14分）如图，在四棱锥pabcd，pa平面abcd，pa=ab=bc=ad，四边形abcd是直角梯形中，abc=bad=90（1）求证：cd平面pac；（2）求二面角apdc的余弦值19（14分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为sn，若s5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求证：tn20（14分）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点p（2，1）的距离为（）求椭圆c的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆c相交于a，b两点（a，b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标21（14分）已知函数f（x）=a（x）2lnx，ar（1）若a=1，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=若至少存在一个x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1（5分）设i是虚数单位，则复数=（）a6+5ib65ic6+5id65i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果解答：解：=65i故选d点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分）设集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=（）aub1，3，5c3，5，6d2，4，6考点：补集及其运算 专题：集合分析：直接利用补集的定义求出cum解答：解：集合u=1，2，3，4，5，6，m=1，2，4，则um=3，5，6，故选c点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题3（5分）若向量，向量，则=（）a（2，4）b（3，4）c（6，10）d（6，10）考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：由向量，向量，知，再由，能求出结果解答：解：向量，向量，=（4，7）（2，3）=（2，4）故选a点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题解题时要认真解答，仔细运算4（5分）下列函数，在区间（0，+）上为增函数的是（）ay=ln（x+2）bcd考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数的图象和性质可判断a正确；利用幂函数的图象和性质可判断b错误；利用指数函数的图象和性质可判断c正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断d的单调性解答：解：a，y=ln（x+2）在（2，+）上为增函数，故在（0，+）上为增函数，a正确；b，在1，+）上为减函数；排除bc，在r上为减函数；排除cd，在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，排除d故选 a点评：本题主要考查了常见函数的图象和性质，特别是它们的单调性的判断，简单复合函数的单调性，属基础题5（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）a12b11c3d1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得c（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点c时，z最大=33+2=11故选 b点评：本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题6（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）a12b45c57d81考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何分析：由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项解答：解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是532+32=57故选c点评：本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求体积的运算，7（5分）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）abcd考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求解答：解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件a，则a包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，p（a）=故选d点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、组合的知识求解基本事件的个数8（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义=，若平面向量、满足|0，与的夹角，且和都在集合中，则=（）ab1cd考点：平面向量数量积的运算 专题：空间向量及应用分析：由题意可得=，同理可得=，故有nm 且 m、nz再由cos2=，与的夹角（0，），可得cos2（，1），即（，1），由此求得n=3，m=1，从而得到 = 的值解答：解：由题意可得 =同理可得 =由于|0，nm 且 m、nzcos2=再由与的夹角（0，），可得cos2（，1），即（，1）故有 n=3，m=1，=，故选c点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到nm 且m、nz，且（，1），是解题的关键，属于中档题二、填空题（本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.）（一）必做题（913题）9（5分）不等式|x+2|x|1的解集为考点：绝对值不等式的解法 专题：集合分析：由题意，可先将不等式左边变形为分段函数的形式，然后再分三段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集解答：解：|x+2|x|=x0时，不等式|x+2|x|1无解；当2x0时，由2x+21解得x，即有2x；当x2，不等式|x+2|x|1恒成立，综上知不等式|x+2|x|1的解集为故答案为点评：本题考查绝对值不等式的解法，其常用解题策略即将其变为分段函数，分段求解不等式10（5分）（x2+）6的展开式中x3的系数是20（用数字作答）考点：二项式系数的性质 专题：计算题；二项式定理分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数解答：解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为 tr+1=x123r，令123r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11（5分）已知递增的等差数列an满足a1=1，a3=a224，则an=2n1考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由题意，设公差为d，代入，直接解出公式d，再由等差数列的通项公式求出通项即可得到答案解答：解：由于等差数列an满足a1=1，令公差为d所以1+2d=（1+d）24，解得d=2又递增的等差数列an，可得d=2所以an=1+2（n1）=2n1故答案为：2n1点评：本题考查等差数列的通项公式，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，需要熟练记忆公式12（5分）曲线y=x3x+3在点（1，3）处的切线方程为2xy+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可解答：解：y=3x21，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y3=2（x1），即2xy+1=0故答案为：2xy+1=0点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题13（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8考点：循环结构 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值解答：解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（24）=4；当i=6，k=3时，s=（46）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：8点评：本题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题（二）选做题【坐标系与参数方程】14（5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，曲线c1与c2的参数方程分别为（t为参数）和（为参数），则曲线c1与c2的交点坐标为（1，1）考点：抛物线的参数方程；圆的参数方程 专题：坐标系和参数方程分析：把曲线c1与c2的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线c1与c2的交点坐标解答：解：在平面直角坐标系xoy中，曲线c1与c2的普通方程分别为 y2=x，x2+y2=2解方程组 可得 ，故曲线c1与c2的交点坐标为（1，1），故答案为 （1，1）点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于中档题【几何证明选讲】15（几何证明选讲选做题）如图，圆o中的半径为1，a、b、c是圆周上的三点，满足abc=30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则图pa=考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：连接oa，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到aoc=60因为直线pa与圆o相切于点a，且oa是半径，得到pao是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中数据可得pa=oatan60=解答：解：连接oa，圆o的圆周角abc对弧ac，且abc=30，圆心角aoc=60又直线pa与圆o相切于点a，且oa是半径，oapa，rtpao中，oa=1，aoc=60，pa=oatan60=故答案为：点评：本题给出圆周角的度数和圆的半径，求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切线的性质，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16（12分）已知函数f（x）=asin（x），（a0，xr）的最大值为2（1）求f（）的值； （2）若sin，（，0），求f（2+）考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：（1）由函数f（x）=asin（x）的最大值为2，求得a=2，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值（2）由条件求得cos=，再利用二倍角公式求得sin2和cos2 的值，从而求得f（2+）=2sin（2+）=2sin2cos+2cos2sin 的值解答：解：（1）函数f（x）=asin（x）的最大值为2，a=2，f（x）=2sin（x+）f（）=2sin（+）=2sin=2=1（2）若sin，（，0），cos=，sin2=2sincos=，cos2=2cos21=f（2+）=2sin（2+）=2sin2cos+2cos2sin=2（）+2=点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题17（12分）佛山某中学2015届高三（1）班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179（） 请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；（） 利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm的人数为x，求x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图 专题：概率与统计分析：（）利用已知数据作出茎叶图，根据茎叶图能得到哪个队的身高数据方差较小（）由题设条件推导出x的所有可能取值为0，1，2，分别求出p（x=0），p（x=1），p（x=2），由此能求出x的分布列和数学期望解答：（本题满分12分）解：（）茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小（4分）（）排球队中超过170cm的有4人，超过178cm的有3人，篮球队中超过170cm的有5人，超过178cm的有2人，所以x的所有可能取值为0，1，2（6分），p（x=1）=，p（x=2）=，（10分）所以x的分布列为x012p所以x的数学期望（12分）点评：本题考查茎叶图的作法和应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组织知识的合理运用18（14分）如图，在四棱锥pabcd，pa平面abcd，pa=ab=bc=ad，四边形abcd是直角梯形中，abc=bad=90（1）求证：cd平面pac；（2）求二面角apdc的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间角分析：（1）过c作ceab，交ad于e，由已知条件利用勾股定理求出cdac，由此能证明cd平面pac（2）由已知条件求出ce平面pad，过e作efpd于f，连结cf，得到ghc是二面角apdc的平面角，同此能求出二面角apdc的余弦值解答：（1）证明：pa平面abcd，cdpa（1分）又ab=bc，abc=90，ac=，（2分）过c作ceab，交ad于e，则ce=ab=bc=de，ced=90，（3分）cd=，（4分）在acd中，ac2+cd2=4ab2=ad2，cdac（5分）又paac=a，cd平面pac（6分）（2）解：cead，cepa，ce平面pad（7分）过e作efpd于f，连结cf，得cfpd（8分）ghc是二面角apdc的平面角（9分）设ad=2，则pa=ab=ce=de=1，dp=paddef，ef=（11分）cf=，（12分）cos二面角apdc的余弦值为（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为sn，若s5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求证：tn考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意得，由此能求出an=4n+2（2）由a1=6，d=4，得sn=2n2+4n，=，从而tn=，由此能证明tn解答：解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，an=6+（n1）4=4n+2（2）a1=6，d=4，sn=6n+=2n2+4n，=，tn=，（tn）min=t1=故tn点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（14分）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点p（2，1）的距离为（）求椭圆c的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆c相交于a，b两点（a，b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以ab为直径的圆过椭圆的右顶点d，可得kadkbd=1，即可得出m与k的关系，从而得出答案解答：解：（）左焦点（c，0）到点p（2，1）的距离为，解得c=1又，解得a=2，b2=a2c2=3所求椭圆c的方程为：（）设a（x1，y1），b（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m23）=0，=64m2k216（3+4k2）（m23）0，化为3+4k2m2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=以ab为直径的圆过椭圆的右顶点d（2，0），kadkbd=1，y1y2+x1x22（x1+x2）+4=0，化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=2k，且满足3+4k2m20当m=2k时，l：y=k（x2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=时，l：y=k，直线过定点综上可知，直线l过定点，定点坐标为点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基