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徐州市高三数学试卷第页(共6页)徐州市20092010学年度高三第三次调研考试数学(满分160分，考试时间120分钟)20105一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 若复数za21(a1)i(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a_.2. 已知函数y的定义域为集合P，N为自然数集，则集合PN中元素的个数为_(第3题)3. 若函数f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象如图所示，则的值为_4. 在矩形ABCD中，已知AB2，BC3，以BC边所在的直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为_5. 已知向量a(sinx，cosx)，b(1，2)，若ab，则tanx_.6. 已知变量x、y满足则z2xy的最大值是_7. 若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)，连续抛掷三次，则三次向上的点数依次构成等差数列的概率为_8. 在某次数学小测验后，老师统计了所教两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，请你估计这两个班所有同学本次数学测验的平均分应为_9. 下面是一个算法的程序框图，当输入值x为8时，其输出的结果是_分组人数频率60,70)100.170,80)300.380,90)400.490,100200.2合计1001(第8题)(第9题)10. 已知p：x1，q：(xa)(xa1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_11. 在数列an中，若对任意的nN*，均有anan1an2恒为同一个定值，且a72，a93，a984，则数列an的前100项和S100_.12. 已知椭圆1(ab0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，且斜率分别为k1、k2，若点A、B关于原点对称，则k1k2的值为_(第12题)(第13题)13. 已知扇形的圆心角为2(定值)，半径为R(定值)，分别按图一、图二作扇形的内接矩形若按图一作出的矩形面积的最大值为R2tan，则按图二作出的矩形面积的最大值为_14. 设函数f(x)|x22x1|，若ab1，且f(a)f(b)，则abab的取值范围为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本题满分14分)已知在ABC中，2|，设CAB.(1) 求角的值；(2) 若cos()，其中(，)，求cos的值16. (本题满分14分)如图，平面ABCD平面PAD，在APD中，APD90，在四边形ABCD中，BCAD，BAD90，AD2BC，O是AD的中点求证：(1) CD平面PBO；(2) 平面PAB平面PCD.(本题满分14分)已知圆M的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上(1) 若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C、D两点，当CD时，求直线CD的方程；(2) 过P点作圆M的切线PA，切点为A.求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标18. (本题满分16分)已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足aS2n1，令bn，数列bn的前n项和为Tn.(1) 求数列an的通项公式及数列bn的前n项和Tn；(2) 是否存在正整数m、n(1mn)，使得T1、Tm、Tn成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由19. (本题满分16分)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(xN*)名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造的利润为10(a)万元(a0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.(1) 若要保证剩下员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2) 在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩下员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？(3) 设调整出的员工创造的年总利润的最大值为f(a)，在(1)的条件下，试写出f(a)的表达式(直接写出结果，不需给出演算步骤)20. (本题满分16分)设函数f(x)a2x2(a0)，g(x)blnx.(1) 若函数yf(x)图象上的点到直线xy30距离的最小值为，求a的值；(2) 若关于x的不等式(x1)2f(x)的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；(3) 对于函数f(x)与g(x)定义域内的任意实数x，若存在常数k、m，使得f(x)kxm和g(x)kxm都成立，则称直线ykxm为函数f(x)与g(x)的“分界线”设a，be，试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由.徐州市高三数学附加题试卷第页(共2页)徐州市20092010学年度高三第三次调研考试数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21. A. 选修41：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半O交于点F，延长CF交AB于E.(1) 求证：E是AB的中点；(2) 求线段BF的长B. 选修42：矩阵与变换已知矩阵A，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2，求矩阵A.C. 选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2sin()，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l被曲线C所截得的弦长D. 选修45：不等式选讲已知实数x、y、z满足xyz2，求2x23y2z2的最小值【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上，且DQDC，若二面角PC1QC的余弦值为，求实数的值如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M为止(1) 求甲经过A2到达N的方法数；(2) 求甲、乙两人在A2处相遇的概率；(3) 求甲、乙两人相遇的概率徐州市高三数学参考答案第页(共3页)徐州市20092010学年度高三第三次调研考试数学参考答案及评分标准1. 12. 33. 4. 125. 6. 97. 8. 829. 210. 0，11. 29912. 13. R2tan14. (1,1)15. 解：(1) 由2|，得2|cos|，所以cos.又因为0，所以.(6分)(2) 由(1)知：sin，且(0，)，所以sin()，(8分)故coscos()cos()cossin()sin.(14分)16. 证明：(1) 因为AD2BC，且O是AD中点，(第16题)所以ODBC.又ADBC，即ODBC，所以四边形BCDO为平行四边形，(2分)故CDBO.又CD平面PBO，且BO平面PBO，所以CD平面PBO.(6分)(2) 因为BAD90，所以ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.又APPD，ABAPA，所以PD平面PAB.(12分)又PD平面PCD，故平面PAB平面PCD.(14分)17. 解：(1) 易知直线CD的斜率k存在，设直线CD的方程为y1k(x2)，即kxy12k0.由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得k1或k，(4分)故所求直线CD的方程为xy30或x7y90.(6分)(2) 设P(2m，m)，MP的中点Q(m，1)因为PA是圆M的切线，所以经过A、P、M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，故其方程为(xm)2(y1)2m2(1)2，(10分)化简，得x2y22ym(2xy2)0，此式是关于m的恒等式，故解得或所以经过A、P、M三点的圆必过定点(0,2)或(，)(14分)18. 解：(1) 因为an是等差数列，由aS2n1(2n1)an，又因为an0，所以an2n1.(2分)由bn()，所以Tn(1).(6分)(2) 由(1)知，Tn，所以T1，Tm，Tn.若T1、Tm、Tn成等比数列，则()2()，即.(8分)解法一：由，可得，所以2m24m10，(12分)从而1m1，又mN*，且m1，所以m2，此时n12.故当且仅当m2，n12，使数列Tn中的T1、Tm、Tn成等比数列(16分)解法二：因为，故，即2m24m10，(12分)从而1m1(以下同上)19. 解：(1) 由题意得：10(1 000x)(10.2x%)101 000，(4分)即x2500x0.又x0，所以0x500，即最多调整出500名员工从事第三产业(6分)(2) 调整出x名从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a)x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000x)(10.2x%)万元，则10(a)x10(1 000x)(10.2x%)，(8分)所以ax1 0002xxx2，故ax1 000x，即a1恒成立(10分)因为x24，当且仅当，即x500时等号成立所以a5.又a0，所以0a5，即a的取值范围为(0,5(12分)(3) f(a)(16分)20. 解：(1) 解法一：设函数ya2x2图象上任意一点为P(x0，a2x)，则点P到直线xy30的距离为d，当x00，即x0时，dmin，由，解得a2或a2.(2分)又因为抛物线f(x)a2x2与直线xy30相离，由得a2x2x30，故112a20，即a2，所以a2，即a.(4分)解法二：因为f(x)a2x2，所以f(x)2a2x.令f(x)2a2x1，得x，此时y，则点(，)到直线xy30的距离为，即，解之得a2或a2.(2分)(以下同解法一)(2) 解法一：不等式(x1)2f(x)的解集中的整数恰有3个，等价于(1a2)x22x10恰有三个整数解，故1a20.(6分)令h(x)(1a2)x22x1，由h(0)10且h(1)a20(a0)，所以函数h(x)(1a2)x22x1的一个零点在区间(0,1)，则另一个零点一定在区间3，2)内，(8分)所以解之得a，故所求a的取值范围为，(10分)解法二：(1a2)x22x10恰有三个整数解，故1a20，即a1.(6分)因为(1a2)x22x1(1a)x1(1a)x10，所以x.又因为01，(8分)所以32，解之得a.(10分)(3) 设F(x)f(x)g(x)x2elnx，则F(x)x.所以当0x时，F(x)0；当x时，F(x)0.因此x时，F(x)取得最小值0，则f(x)与g(x)的图象在x处有公共点(，)(12分)设f(x)与g(x)存在“分界线”，方程为yk(x)，即ykxk，由f(x)kxk在xR恒成立，则x22kxe2k0在xR恒成立所以4k24(2ke)4k28k4e4(k)20恒成立，因此k.(14分)下面证明g(x)x(x0)恒成立设G(x)elnxx，则G(x).所以当0x时，G(x)0；当x时，G(x)0.因此x时G(x)取得最大值0，则g(x)x(x0)成立故所求“分界线”方程为yx.(16分)(以上各题如考生另有解法，请参照本评分标准给分)徐州市高三数学附加题参考答案第页(共2页)徐州市20092010学年度高三第三次调研考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. 选修41：几何证明选讲(1) 证明：连结DF、DO，则CDOFDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以BCECDF，即CDOBCE，故RtCDORtBCE，所以EBOCAB.(5分)(2) 解：连结BF，则由FEBBEC，得，所以BFa.(10分)B. 选修42：矩阵与变换解：由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为1可得3，即(4分)由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为2，可得(1)，即(6分)解得即矩阵A.(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：将方程2sin()，分别化为普通方程：x2y22x2y0,3x4y10.(6分)由曲线C的圆心为C(1,1)，半径为，所以圆心C到直线l的距离为，故所求弦长为2.(10分)D. 选修45：不等式选讲解：由柯西不等式可知：(xyz)2(x)2(y)2z2()2()212，(5分)故2x23y2z2，当且仅当，即x，y，z，所以2x23y2z2取得最小值为.(10分)22. 解：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，C1(4,4,4)，P(4,2,0)，Q(4，4,0)(2分)设平面C1PQ法向量为n(1，b，c)，而(0,2,4)，(44,2,0)，所以可得一个法向量n(a，b，c)(1，2(1)，(1)，(6分)设面CC1Q的一个法向量为u(0,1,0)，则|cosn，u|，(8分)即(1)2.又因为点Q在棱CD上，所以.(10分)23. 解：(1) 甲经过A2到达N，可分为两步：第一步，甲从M到A2的方法数为C种；第二步，甲从A2到N的方法数为C种；所以甲经过A2到达N的方法数为(C)29种(2