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阶段回扣练9空间向量与立体几何 (建议用时：70分钟)1(2015苏、锡、常、镇四市调研)如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B，D，B1分别在x，y，z轴上，B1A3，P是侧棱B1B上的一点，BP2PB1.(1)写出点C1，P，D1的坐标；(2)设直线C1E平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标解(1)C1(0,3,3)，P(1,0,2)，D1(3,3,3)(2)C(3,3,0)，(2，3,2)，(6,0,3)设E(m，n,0)，则(m，n3，3)C1E平面D1PC，则m，n2，则点E的坐标为.2(2013湖南卷)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.3. (2015南京模拟)如图，在正四棱锥PABCD中，PAAB，点M，N分别在线段PA和BD上，BNBD.(1)若PMPA，求证：MNAD；(2)若二面角MBDA的大小为，求线段MN的长度解连接AC，BD交于点O，连接OP.以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，射线OP为z轴建立空间直角坐标系因为PAAB，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)(1)证明由得N，由得M，所以，(1，1,0)因为0.所以MNAD.(2)因为M在PA上，可设，得M(，0,1)所以(，1,1)，(0，2,0)设平面MBD的法向量n(x，y，z)，由得其中一组解为x1，y0，z，所以可取n(1,0，)因为平面ABD的一个法向量为(0,0,1)，所以cos，即，解得，从而M，N，所以MN.4(2015徐州质量检测)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CACB1，AA12，BCA90.(1)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2)求二面角BAB1C平面角的余弦值解如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(1,0,2)，B1(0,1,2)，所以(0,1,2)，(1,1,0)，(1,1,2)，(1，1,2)(1)因为cos，所以异面直线BA1与CB1夹角的余弦值为.(2)设平面CAB1的法向量为m(x，y，z)，则即取平面CAB1的一个法向量为m(0,2，1)；设平面BAB1的法向量为n(r，s，t)，则即取平面BAB1的一个法向量为n(1,1,0)，则cosm，n，所以二面角BAB1C平面角的余弦值为.5(2015南通、扬州、泰州、宿迁四市调研)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1AB，点E是棱AB上一点且.(1)证明：D1EA1D；(2)若二面角D1ECD的大小为，求的值(1)证明以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系不妨设ADAA11，AB2，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)因为，所以E，于是，(1,0，1)所以(1,0，1)0.故D1EA1D.(2)解因为D1D平面ABCD，所以平面DEC的一个法向量为n1(0,0,1)又，(0，2,1)设平面D1CE的法向量为n2(x，y，z)，则n2xy0，n22yz0，所以向量n2的一个解为.因为二面角D1ECD的大小为，则.解得1.又因E是棱AB上的一点，所以0，故所求的值为1.6(2015宿迁模拟)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，ABAC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足(R)(1)当时，求直线PN与平面ABC所成角的正弦值；(2)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，求的值解(1)因为三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，且ABAC，故以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，因为AA1ABAC1，M是CC1的中点，N是BC的中点，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)，M，N，又因为，且满足，所以P，又向量(0,0,1)是平面ABC的一个法向量，所以直线PN与平面ABC所成的角的正弦值，sin |cos，|