山东省滨州市中考数学复习 第3章 函数及其图象 第12讲 二次函数课件.ppt

第三章函数及其图像第12讲二次函数 考点梳理过关 考点1二次函数的概念与形式 考点2二次函数的图象和性质6年3考 1 二次函数的图象和性质对比分析 拓展 利用图象判断a b c的符号 1 根据开口方向判断a的符号 上正下负 2 函数与y轴的交点坐标是 0 c 则根据函数与y轴的交点位置确定c的符号 3 根据对称轴x 的位置判断a和b符号 当对称轴在y轴左侧时 b和a同号 对称轴在y轴右侧时 b与a异号 可以简单记作 左同右异 2 根据对称轴x 的值 判断a和b的代数式的等量关系 例如当 1时 2a b 0 3 根据抛物线与x轴交点的个数判断判别式b2 4ac的符号 有两个交点时 b2 4ac 0 当只有一个交点时 b2 4ac 0 没有交点时 b2 4ac 0 提示 1 在根据增减性解决函数值的比较时要注意 二次函数的增减性以对称轴为界 增减性相反 2 当运用对称轴分析a和b的不等量关系时 要注意a的符号 要先根据开口分析a的正负 若a 0 则有4a b 0 若a 0 则有4a b 0 考点3确定二次函数解析式6年1考 提示 1 用待定系数法求二次函数解析式时 要选择恰当的式子 2 根据题意设为顶点式时注意顶点坐标与系数的对应关系 考点4二次函数图象的变换6年1考 考点5二次函数与方程 不等式6年1考 1 y ax2 bx c a 0 与ax2 bx c 0 a 0 的关系 1 b2 4ac 0时 ax2 bx c 0 a 0 有 两个不等实数根x1 x2 函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴有两个不同的交点 x1 0 x2 0 x1 x1 2 b2 4ac 0时 ax2 bx c 0 a 0 有 两个相等实数根x 函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴只有一个交点 0 3 b2 4ac 0时 ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴没有交点 2 一元二次不等式的解集可以借助于二次函数图象进行分析 考点6实际问题与二次函数6年2考 1 建立直角坐标系解决抛物线模型问题主要有 桥拱 隧道 弹道曲线 投篮等问题 一般已知抛物线顶点坐标或对称轴或最值 或能够先求出抛物线顶点时 设顶点式求解十分简捷 2 建立二次函数解决图形面积 费用等的最值问题 一般要根据题意建立二次函数模型 化为顶点式 或用顶点公式分析解决 提示 1 建立坐标系要合理 一般以最高点或最低点为原点 以对称轴为y轴建立坐标系 2 根据实际问题建立二次函数模型后 自变量的取值范围要准确 分析最大值或最小值要符合自变量取值 不要盲目运用顶点 考点7二次函数的形积综合分析6年3考 二次函数的形积综合分析题 一般作为压轴题出现 主要包括图形的面积分析 图形顶点的存在性分析 距离和最短的选址分析等 典型例题运用 类型1二次函数的增减性 例1 若点m 2 y1 n 1 y2 p 8 y3 在抛物线y x2 2x上 则下列结论正确的是 a y1 y2 y3b y2 y1 y3c y3 y1 y2d y1 y3 y2 x 2时 y1 x2 2x 6 x 1时 y2 x2 2x 2 5 x 8时 y3 x2 2x 16 16 6 2 5 y3 y1 y2 失分警示 运用增减性比较函数值的大小时 必须先确定对称轴 再以轴为界分析函数增减性 之后再具体分析 对于此类问题最好采用图象法和代入求值比较法 a 类型2二次函数图象与系数的关系 例2 2017 西市区校级模拟 如图 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交于点a 1 0 与y轴的交点在 0 2 和 0 1 之间 不包括这两点 对称轴为直线x 1 下列结论 abc 0 4a 2b c 0 4ac b2 8a b c 其中所有正确的结论是 技法点拨 根据图象分析系数 1 先判断系数a 由开口方向确定 2 判断b 结合对称轴的位置和a的符号确定 左同右异 3 判断c 由抛物线与y轴的交点位置确定 4 判断b2 4ac 由抛物线与x轴交点的个数确定 5 注意当x的值为1 1 2 2时的函数值 抛物线开口向上 对称轴为直线x 1 与y轴的交点在 0 2 和 0 1 之间 a 0 1 2 c 1 b 0 abc 0 故结论 正确 抛物线与x轴交于点a 1 0 对称轴为直线x 1 抛物线与x轴的另一交点坐标为 3 0 当x 2时 y 4a 2b c 0 故结论 错误 a 0 b 0 c 0 4ac 0 b2 0 4ac b2 0 8a 故结论 正确 当x 1时 y a b c 0 a b c b 2a 3a c 又 2 c 1 a 故结论 正确 当x 1时 y a b c 0 a 0 b c 0 b c 故结论 正确 综上所述 正确的结论是 变式运用 1 2017 烟台中考 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 对称轴是直线x 1 下列结论 ab 0 b2 4ac a b 2c 0 3a c 0 其中正确的是 a b c d c 抛物线开口向上 a 0 抛物线的对称轴为直线x 1 b 2a 0 ab 0 故 正确 抛物线与x轴有2个交点 b2 4ac 0 故 正确 x 1时 y 0 a b c 0 又 c 0 a b 2c 0 故 正确 抛物线的对称轴为直线x 1 b 2a 而x 1时 y 0 即a b c 0 3a c 0 故 错误 类型3二次函数的应用 例3 2017 德州中考 随着新农村的建设和旧城的改造 我们的家园越来越美丽 小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池 在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管 它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高 水柱落地处离池中心3米 1 请你建立适当的平面直角坐标系 并求出水柱抛物线的函数解析式 2 求出水柱的最大高度的多少 思路分析 1 以水管与地面交点为原点 原点与水柱落地点所在直线为x轴 水管所在直线为y轴 建立平面直角坐标系 设抛物线的解析式为y a x 1 2 h 代入 0 2 和 3 0 得方程组 解方程组即可 2 求出当x 1时 y 即可 变式运用 2 2017 十堰中考 某超市销售一种牛奶 进价为每箱24元 规定售价不低于进价 现在的售价为每箱36元 每月可销售60箱 市场调查发现 若这种牛奶的售价每降价1元 则每月的销量将增加10箱 设每箱牛奶降价x元 x为正整数 每月的销量为y箱 1 写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围 2 超市如何定价 才能使每月销售牛奶的利润最大 最大利润是多少元 解 1 根据题意 得y 60 10 x 由36 x 24 得x 12 1 x 12 且x为整数 2 设所获利润为w 则w 36 x 24 10 x 60 10 x2 60 x 720 10 x 3 2 810 当x 3时 w取得最大值 最大值为810 因此超市定价为33元时 才能使每月销售牛奶的利润最大 最大利润是810元 技法点拨 1 建立直角坐标系时一般选抛物线的顶点作为原点或把图中互相垂直线的交点作为原点 2 求解析式一般运用顶点式进行待定 3 求实际问题的最值问题 一般要设出变量运用二次函数解决 类型4二次函数的综合 例4 2017 天水中考 如图所示 在平面直角坐标系xoy中 抛物线y ax2 2ax 3a a 0 与x轴交于a b两点 点a在点b的左侧 经过点a的直线l y kx b与y轴负半轴交于点c 与抛物线的另一个交点为d 且cd 4ac 1 求a b两点的坐标及抛物线的对称轴 2 求直线l的函数表达式 其中k b用含a的式子表示 3 点e是直线l上方的抛物线上的动点 若 ace的面积的最大值为 求a的值 4 设p是抛物线对称轴上的一点 点q在抛物线上 以点a d p q为顶点的四边形能否成为矩形 若能 求出点p的坐标 若不能 请说明理由 思路分析 1 解方程即可求解 2 根据直线l y kx b过a 1 0 得到直线l y kx k 解方程得到点d的横坐标为4 求得k a 得到直线l的函数表达式为y ax a 3 过点e作ef y轴交直线l于点f 设e x ax2 2ax 3a 得到f x ax a 求出ef ax2 3ax 4a 根据三角形的面积公式列方程即可得到结论 4 令ax2 2ax 3a ax a 即ax2 3ax 4a 0 得到d 4 5a 设p 1 m 分两种情况 若ad是矩形adpq的一条边 若ad是矩形apdq的对角线 列方程即可求解 失分警示 1 列方程组求函数的系数时一定要检验其正确性 2 只要涉及最值问题一定要建立二次函数 3 关于点的存在性问题 分析一定要全面 六年真题全练 命题点1二次函数与坐标轴的交点分析 1 2016 滨州 10 3分 抛物线y 2x2 2x 1与坐标轴的交点个数是 a 0b 1c 2d 3 c抛物线y 2x2 2x 1 令x 0 得y 1 即抛物线与y轴的交点为 0 1 令y 0 得2x2 2x 1 0 解得x1 x2 即抛物线与x轴的交点为 0 则抛物线与坐标轴的交点个数是2 2 2012 滨州 9 3分 抛物线y 3x2 x 4与坐标轴的交点个数是 a 3b 2c 1d 0 a 1 2 4 3 4 49 0 则抛物线与x轴有2个交点 在y 3x2 x 4中 令x 0 得y 4 则与y轴的交点是 0 4 则抛物线与坐标轴的交点个数是3 猜押预测 1 2017 济宁模拟 已知二次函数y kx2 7x 7的图象与x轴没有交点 则k的取值范围为 c y kx2 7x 7的图象与x轴无交点 当图象在x轴上方时 即无解 当图象在x轴下方时 解得k k的取值范围是k 猜押预测 2 2017 高新区一模 抛物线y x2 2x m 1与x轴有交点 则m的取值范围是 a m 2b m 2c m 2d 0 m 2 a由题意 可知 4 4 m 1 0 m 2 得分要领 1 要明确判别式的值与抛物线与x轴交点个数的对应关系 2 明确抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称 3 2016 滨州 11 3分 在平面直角坐标系中 把一条抛物线先向上平移3个单位长度 然后绕原点旋转180 得到抛物线y x2 5x 6 则原抛物线的解析式是 命题点2二次函数的变换分析 a 抛物线的解析式为y x2 5x 6 绕原点旋转180 变为y x2 5x 6 即y 向下平移3个单位长度的解析式为y 猜押预测 3 2017 东莞二模 把抛物线y x2 4先向左平移1个单位 再向下平移3个单位 得到的抛物线的解析式为 a y x 1 2 1b y x 1 2 1c y x 1 2 7d y x 1 2 7 a将抛物线y x2 4向左平移1个单位所得直线解析式为y x 1 2 4 再向下平移3个单位为y x 1 2 4 3 即y x 1 2 1 猜押预测 4 2017 唐河三模 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y x2经过平移得到抛物线y ax2 bx 其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 则a b的值分别为 如图 y ax2 bx 平移后抛物线的顶点坐标为 对称轴为直线 平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积 猜押预测 5 2017 肥城二模 将某抛物线图象向右平移2个单位 再向下平移3个单位所得的抛物线是y 2x2 4x 1的图象 则将该抛物线沿y轴翻折后所得的函数关系式是 a y 2 x 1 2 6b y 2 x 1 2 6c y 2 x 1 2 6d y 2 x 1 2 6 ay 2x2 4x 1 2 x 1 2 3 将某抛物线图象向右平移2个单位 再向下平移3个单位所得的抛物线是y 2x2 4x 1的图象 此函数解析式为y 2 x 1 2 6 其顶点为 1 6 将该抛物线沿y轴翻折后所得的函数关系式的顶点坐标为 1 6 故其函数关系式为y 2 x 1 2 6 得分要领 1 熟练掌握二次函数的配方法 2 熟记常见几何变换的点的坐标特征 命题点3二次函数的图象与性质分析 4 2013 滨州 12 3分 如图 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交于a b两点 与y轴交于c点 且对称轴为x 1 点b坐标为 1 0 则下面的四个结论 2a b 0 4a 2b c 0 ac 0 当y 0时 x 1或x 2 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 b 对称轴为x 1 1 b 2a 2a b 0 故 正确 点b坐标为 1 0 当x 2时 4a 2b c 0 故 正确 图象开口向下 a 0 图象与y轴交于正半轴 c 0 ac 0 故 错误 对称轴为直线x 1 点b坐标为 1 0 点a坐标为 3 0 当y 0时 x 1或x 3 故 错误 猜押预测 6 2017 蜀山区校级模拟 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图 其对称轴为直线x 1 给出下列结论 1 b2 4ac 2 abc 0 3 2a b 0 4 a b c 0 5 a b c 0 则正确的结论是 a 1 2 3 4 b 2 4 5 c 2 3 4 d 1 4 5 得分要领 1 会根据抛物线与坐标轴的交点判断c和b2 4ac的大小 2 会根据开口方向与对称轴判断a和b的符号 3 熟悉特殊点与系数的对应关系 d 二次函数与x轴有两个交点 b2 4ac 0 则b2 4ac 故 1 正确 抛物线开口向上 a 0 抛物线与y轴交点在负半轴上 c 0 又 1 b 2a 0 abc 0 2a b 0 故 2 3 错误 由图象可知当x 1时 y 0 即a b c 0 故 4 正确 由图象可知当x 1时 y 0 即a b c 0 故 5 正确 综上所述 正确的结论是 1 4 5 命题点4二次函数与不等式的解集分析 高中衔接 5 2015 滨州 24 14分 根据下列要求 解答相关问题 1 请补全以下求不等式 2x2 4x 0的解集的过程 构造函数 画出图象 根据不等式特征构造二次函数y 2x2 4x 并在下面的坐标系中 见图1 画出二次函数y 2x2 4x的图象 只画出图象即可 求得界点 标示所需 当y 0时 求得方程 2x2 4x 0的解为 并用锯齿线标示出函数y 2x2 4x图象中y 0的部分 借助图象 写出解集 由所标示图象 可得不等式 2x2 4x 0的解集为 2 利用 1 中求不等式解集的步骤 求不等式x2 2x 10 a 0 的解集 图1 图2 解 1 如图1所示 2x2 4x 0 2x x 2 0 解得x1 0 x2 2 标示如图 故答案为 x1 01 x2 2 2 x 0 2 构造二次函数y x2 2x 1 并画出图象如图2 当y 4时 求得方程x2 2x 1 4的解为x1 3 x2 1 如图2 借助图象 直接写出不等式x2 2x 10时 解集为x 当b2 4ac 0时 解集为x 当b2 4ac 0时 解集为全体实数 猜押预测 7 2017 徐州模拟 二次函数y x2 mx的图象如图 对称轴为直线x 2 若关于x的一元二次方程 x2 mx t 0 t为实数 在1 x 5的范围内有解 则t的取值范围是 a t 5b 5 t 3c 3 t 4d 5 t 4 d如图 关于x的一元二次方程 x2 mx t 0的解就是抛物线y x2 mx与直线y t的交点的横坐标 由图象与x轴的交点可得m 4 且y 4 当x 1时 y 3 当x 5时 y 5 由图象可知关于x的一元二次方程 x2 mx t 0 t为实数 在1 x 5的范围内有解 直线y t在直线y 5和直线y 4之间包括直线y 4 5 t 4 猜押预测 8 2017 新乡一模 如图是二次函数y ax2 bx c的部分图象 由图象可知不等式ax2 bx c 0的解集是 a 1 x 5b x 5c x 1d x 1或x 5 得分要领 1 掌握方程的根与抛物线与直线交点的对应关系 2 掌握抛物线的对称性 3 会运用图象分析方程的解和不等式的解集 a由图可知 对称轴为直线x 2 抛物线与x轴的一个交点坐标为 5 0 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 1 0 又 抛物线开口向下 不等式ax2 bx c 0的解集是 1 x 5 命题点5运用二次函数解决实际问题 6 2015 滨州 22 10分 一种进价为每件40元的t恤 若销售单价为60元 则每周可卖出300件 为提高利润 欲对该t恤进行涨价销售 经过调查发现 每涨价1元 每周要少卖出10件 请确定该t恤涨价后每周销售利润y 元 与销售单价x 元 之间的函数关系式 并求销售单价定为多少元时 每周的销售利润最大 解 根据题意 得y x 40 300 10 x 60 10 x2 1300 x 36000 配方 得y 10 x 65 2 6250 x 60 0 且300 10 x 60 0 60 x 90 a 10 0 抛物线的对称轴为直线x 65 当x 65时 y的值最大 最大值为6250 即销售单价定为65元时 每周的销售利润最大 7 2013 滨州 23 9分 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体 其中 抽屉底面周长为180cm 高为20cm 请通过计算说明 当底面的宽x为何值时 抽屉的体积y最大 最大为多少 材质及其厚度等暂忽略不计 解 已知抽屉底面宽为xcm 则底面长为180 2 x 90 x cm 90 x x 0 x 45 由题意 得y x 90 x 20 20 x2 90 x 20 x 45 2 40500 0 x 45 20 0 当x 45时 y有最大值 最大值为40500 即当抽屉底面宽为45cm时 抽屉的体积最大 最大体积为40500cm3 猜押预测 9 2017 十堰模拟 某商场试销一种成本为每件60元的服装 规定试销期间销售单价不低于成本单价 且获利不得高于45 经试销发现 销售量y 件 与销售单价x 元 符合一次函数y kx b 且x 65时 y 55 x 75时 y 45 1 求一次函数y kx b的表达式 2 若该商场获得利润为w元 试写出利润w与销售单价x之间的关系式 销售单价定为多少元时 商场可获得最大利润 最大利润是多少元 解 1 根据题意 得解得 所求一次函数的表达式为y x 120 2 w x 60 x 120 x2 180 x 7200 x 90 2 900 抛物线的开口向下 当x 90时 w随x的增大而增大 又 60 x 60 1 45 87 当x 87时 w 87 90 2 900 891 当销售单价定为87元时 商场可获得最大利润 最大利润是891元 猜押预测 10 2017 邗江区一模 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园 其中一边靠墙 另外三边由长为30米的篱笆围成 已知墙长为18米 如图所示 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米 1 若苗圃园的面积为72平方米 求x 2 若平行于墙的一边长不小于8米 这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗 如果有 求出最大值和最小值 如果没有 请说明理由 解 1 根据题意 得 30 2x x 72 解得x 3或x 12 30 2x 18 x 6 x 12 2 设苗圃园的面积为y y x 30 2x 2x2 30 x a 2 0 苗圃园的面积y有最大值 当x 时 即平行于墙的一边长15 8米 y最大 112 5平方米 30 2x 8 x 11 6 x 11 当x 11时 y最小 88平方米 得分要领 1 熟悉常见的数量关系 会根据题意列出二次函数解析式 2 会根据题意确定自变量的取值范围 3 会根据题意分析实际问题的最大值 命题点6二次函数的形积综合分析 8 2017 滨州 24 14分 如图 直线y kx b k b为常数 分别与x轴 y轴交于点a 4 0 b 0 3 抛物线y x2 2x 1与y轴交于点c 1 求直线y kx b的函数解析式 2 若点p x y 是抛物线y x2 2x 1上的任意一点 设点p到直线ab的距离为d 求d关于x的函数解析式 并求d取最小值时点p的坐标 3 若点e在抛物线y x2 2x 1的对称轴上移动 点f在直线ab上移动 求ce ef的最小值 解 1 由题意 得解得 直线的解析式为y x 3 2 如图1 过p作ph ab于点h 过h作hq x轴 过p作pq y轴 两垂线交于点q 则 ahq abo 且 ahp 90 phq ahq bao abo 90 phq bao 且 pqh aob 90 pqh boa 设h m m 3 则pq x m hq m 3 x2 2x 1 a 4 0 b 0 3 oa 4 ob 3 ab 5 且ph d 整理消去m 得d d与x的函数关系式为d 当x 时 d有最小值 此时y 当d取得最小值时p点坐标为 3 如图2 设c点关于抛物线对称轴的对称点为c 由对称的性质可得ce c e ce ef c e ef 当c e f三点一线且c f与ab垂直时ce ef最小 c 0 1 c 2 1 由 2 可知 当x 2时 即ce ef的最小值为 9 2016 滨州 24 14分 如图 已知抛物线y x2 x 2与x轴交于a b两点 与y轴交于点c 1 求点a b c的坐标 2 点e是此抛物线上的点 点f是其对称轴上的点 求以a b e f为顶点的平行四边形的面积 3 此抛物线的对称轴上是否存在点m 使得 acm是等腰三角形 若存在 请求出点m的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 令y 0 得 x2 x 2 0 x2 2x 8 0 解得x 4或2 点a坐标 2 0 点b坐标 4 0 令x 0 得y 2 点c坐标 0 2 则顶点坐标是 1 当ab是对角线时 e一定是顶点 坐标是 1 则点f的坐标是 1 此时 ab 2 4 6 ef 2 则平行四边形aebf的面积是当ab是平行四边形的一边时 f一定在x轴下方 且ef ab 则e和f的纵坐标相等 设点f的坐标是 1 m 当点e在对称轴的右侧时 ab 6 则点e的坐标是 1 6 m 即 5 m 把 5 m 代入y 得m 则点e的坐标是 5 则平行四边形abef的面积是6 同理 当ab是平行四边形的一边 e在对称轴的左侧时 点e坐标 7 平行四边形abef的面积是6 综上 平行四边形的面积是 3 存在 理由如下 点a的坐标是 2 0 点c的坐标是 0 2 oa oc 2 即 oac是等腰直角三角形 ac 2 当c是顶角顶点时 如图 作cd 对称轴l于点d 则点d的坐标是 1 2 cd 1 设点m的坐标是 1 m 则cm ac 即12 m 2 2 2 2 解得m 2 则点m1的坐标是 1 2 点m2的坐标是 1 2 当a是顶角顶点时 点a到对称轴l的距离是3 2 则此时m不存在 当m3为顶点时 直线ac解析式为y x 2 线段ac的垂直平分线为y x 点m3坐标为 1 1 综上所述 点m坐标为 1 1 或 1 2 或 1 2 10 2014 滨州 23 9分 已知二次函数y x2 4x 3 1 用配方法求其图象的顶点c的坐标 并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况 2 求函数图象与x轴的交点a b的坐标 及 abc的面积 解 1 y x2 4x 3 x2 4x 4 4 3 x 2 2 1 顶点c的坐标为 2 1 当x 2时 y随x的增大而减小 当x 2时 y随x的增大而增大 2 解方程x2 4x 3 0 得x1 3 x2 1 点a的坐标为 1 0 点b的坐标为 3 0 如图 过点c作cd ab 垂足为点d ab 2 cd 1 s abc ab cd 2 1 1 11 2012 滨州 24 10分 如图 在平面直角坐标系中 抛物线y ax2 bx c经过a 2 4 o 0 0 b 2 0 三点 1 求抛物线y ax2 bx c的解析式