清华大学—大学物理—分子动理论小结.pdf

1 气体分子动理论气体分子动理论 小结小结 2 分子动理论基本内容和基本要求分子动理论基本内容和基本要求 1 分子热运动的图象分子热运动的图象 大量 无规大量 无规 分子数目之多分子数目之多 分子运动之剧烈分子运动之剧烈 分子碰撞之频繁分子碰撞之频繁 325 10m个个 n 几个数量级几个数量级 smsm 10 10 222 vv m10s 7 109Z 分子有效直径分子有效直径 m 10 10 d 3 2 三个统计规律三个统计规律 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 麦氏速率分布与玻氏分布麦氏速率分布与玻氏分布 分子的平均自由程分子的平均自由程 平衡态平衡态 物质分子物质分子 平均动能平均动能 分布函数定义及性质分布函数定义及性质 两个因子两个因子 kTkT PK ee 3 两个推导两个推导 理想气体压强公式理想气体压强公式 刚性理气内能公式刚性理气内能公式 t nP 3 2 RT i E 2 4 一一 思考题思考题 89页页 2 3 对一定量的气体来说 当温度不变时 对一定量的气体来说 当温度不变时 气体的压强随体积的减小而增大 当体积不气体的压强随体积的减小而增大 当体积不 变时 压强随温度的升高而增大 从宏观来变时 压强随温度的升高而增大 从宏观来 看 这两种变化同样使压强增大 从微观来看 这两种变化同样使压强增大 从微观来 看它们有何区别 看它们有何区别 5 nkTP nV t nP 3 2 答 利用气体分子动理论的压强公式和理想答 利用气体分子动理论的压强公式和理想 气体状态方程气体状态方程 1 1 当 当T不变时 由不变时 由 知 知 增加了碰壁的分子数增加了碰壁的分子数 从而引起压强的增大从而引起压强的增大 由由 6 2 当当V不变时 不变时 由由 t T t nP 3 2 知 知 增加了每个分子碰壁的强度增加了每个分子碰壁的强度 从而使压强 从而使压强 增大增大 7 思考题思考题 2 10 试指出下列各式所表示的物理意义试指出下列各式所表示的物理意义 kT 2 1 kT 2 3 RT i 2 RT i 2 8 kT 2 1 温度为温度为T的平衡态下 物质的平衡态下 物质分子分子每个每个自由自由 度度的的平均动能平均动能 温度为温度为T的平衡态下 的平衡态下 1 1摩尔摩尔刚性理想气体刚性理想气体分分 子的子的内能内能 温度为温度为T的平衡态下 的平衡态下 摩尔摩尔刚性理想气体刚性理想气体分分 子的子的内能内能 温度为温度为T的平衡态下 分子的平均平动动能的平衡态下 分子的平均平动动能 或单原子分子的平均动能或单原子分子的平均动能 kT 2 3 RT i 2 RT i 2 9 思考题思考题2 11 一个分子的平均平动动能一个分子的平均平动动能 应如何理解 应如何理解 对于一个分子 能否根据此式计算它的动能 对于一个分子 能否根据此式计算它的动能 kT t 2 3 答 答 是大量分子运动的平动动能的统计平均的结果是大量分子运动的平动动能的统计平均的结果 对于一个具体的分子对于一个具体的分子 每一瞬时每一瞬时的运动动能的运动动能 可以从零到无限大可以从零到无限大 10 思考题思考题2 13 如果盛有气体的容器相对某个坐标系匀速运动 如果盛有气体的容器相对某个坐标系匀速运动 容器内的分子速度相对坐标系也增大了 温度也容器内的分子速度相对坐标系也增大了 温度也 因此升高吗 因此升高吗 答 答 否否 温度是分子温度是分子热热 乱乱 运动的统计平均运动的统计平均 换句话说 温度的测量与参考系无关换句话说 温度的测量与参考系无关 11 思考题思考题2 142 14 在相同温度下氢气和氧气的速率分布是否一在相同温度下氢气和氧气的速率分布是否一 样 试在同一张图上定性画出两种气体各自样 试在同一张图上定性画出两种气体各自 的麦氏速率分布曲线 的麦氏速率分布曲线 答 不同答 不同 o v vf 1p v 2p v 2 m 1 m f o 1 2 氢气氢气 氧气氧气 根据最概然速率得到根据最概然速率得到 RT p 2 12 思考题思考题2 15 最概然速率和平均速率的物理意义各最概然速率和平均速率的物理意义各 是什么 有人认为最概然速率就是速率分布中的是什么 有人认为最概然速率就是速率分布中的 最大速率 对不对 最大速率 对不对 答 最概然速率答 最概然速率 在平衡态下 分子速率在最概在平衡态下 分子速率在最概 然速率附近的然速率附近的分子数分子数最多 或说百分比最大 最多 或说百分比最大 平均速率平均速率 在平衡态下 分子速率的在平衡态下 分子速率的统计平均值统计平均值 理论上分子速率的最大值是理论上分子速率的最大值是无穷大无穷大 显然最概然速率不是速率分布中的最大速率显然最概然速率不是速率分布中的最大速率 13 思考题思考题2 18 一定质量的气体 保持容积不变一定质量的气体 保持容积不变 当温度增加时分子运动得更剧烈 因而平均碰当温度增加时分子运动得更剧烈 因而平均碰 撞次数增多 平均自由程是否也因此而减少 撞次数增多 平均自由程是否也因此而减少 为什么 为什么 nd 2 2 1 答 不减少答 不减少 由平均自由程公式由平均自由程公式 得 当体积不变时 分子数密度得 当体积不变时 分子数密度n也不变 所也不变 所 以平均自由程也不变以平均自由程也不变 14 二二 试说明下列各式的物理含义试说明下列各式的物理含义 2 1 2 1 d d f f dNf r f d 2 4 2 2 2 32 kT m e kT m 1 2 3 4 15 区间内的平均速率区间内的平均速率 21 分子速率在分子速率在 区间内的分子数区间内的分子数 d 2 1 2 1 d d f f 1 dNf 2 16 区间单位空间间隔 区间单位空间间隔 区间单位速度间隔区间单位速度间隔 的分子数占总分子数的百分比的分子数占总分子数的百分比 位置在位置在 速率在速率在 d d rrr 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 r f3 d 2 4 2 2 2 32 kT m e kT m 4 回答说是速率分布函数行吗回答说是速率分布函数行吗 17 三三 含有含有N个粒子的系统 个粒子的系统 其速率分布函数如图所示 其速率分布函数如图所示 图中图中K是一待定常数 是一待定常数 1 写出该系统速率分布函数的表达式 写出该系统速率分布函数的表达式 2 求速率在 求速率在v0到到2v0区间的分子数 区间的分子数 3 由速率分布函数计算系统的速率平均值 由速率分布函数计算系统的速率平均值 您能利用图示进行简便的计算吗 您能利用图示进行简便的计算吗 000 32o K f 18 解 解 1 由图知 粒子速率分布函数是 由图知 粒子速率分布函数是 00 0 00 0 0 323 2 0 K K f Kf K f 由归一性质由归一性质 0 3 0 2 1 1d 0 Kf 000 32o K f 19 简便算法 简便算法 利用曲线下梯形面积为利用曲线下梯形面积为1 1 得到 得到 0 2 1 K 00 0 00 0 0 323 2 0 K K f Kf K f 将将K值代入前式 值代入前式 得分布函数为得分布函数为 20 2 由 由 ddNfN 有有 2 dd 0 22 0 0 0 0 N NKNKNfN 简便算法 简便算法 由图可算出 该范围的曲线下面积占总面积由图可算出 该范围的曲线下面积占总面积 的的1 2 所以该范围内的粒子数占总数的 所以该范围内的粒子数占总数的1 2 21 3 平均值计算如下 平均值计算如下 0 3 20 3 2 2 0 2 2 00 2 0 2 3 0 2 3 d 2 3 d 2 2 d d 2 d 0 0 0 0 0 0 00 f 简便算法 简便算法 由面积的对称性 得到同样结果由面积的对称性 得到同样结果 22 四四 设某气体的速率分布函数设某气体的速率分布函数 0 0 2 vv v a vf 0 0 vv 求 求 3 速率在 速率在 2 0 0 v 之间分子的平均速率之间分子的平均速率 v 解 解 1 常量 常量 a 和和 v0 的关系的关系 v 2 平均速率 平均速率 1d 0 vvf 3 0 00 2 3 1 dd 0 vvvvv v aaf 1 归一化条件 归一化条件 3 0 3 v a vf vv0 0 为为 23 N Nf 0 d 2 设总分子数为 设总分子数为N 0 0 2 d a 3 2 0 2 0 0 0 d d f N Nf 则则 不对不对 上式分母上的上式分母上的N应为应为 2 0 0 d Nf 2 0 2 0 0 0 d d f f 3 23 4 24 0 0 a a 0 8 3 0 d f 4 0 4 a 0 4 0 3 0 4 3 3 4 1 24 已知分子质量为已知分子质量为m 设设r 0处分子数密度为处分子数密度为n0 五五 一装有气体的容器以角速度一装有气体的容器以角速度 绕竖直轴绕竖直轴 在水平面内在水平面内均匀旋转均匀旋转 求 求 气体分子数密度沿气体分子数密度沿 径向分布的规律径向分布的规律 r 0 解 解 以容器为参考系 以容器为参考系 力力 m 2r 作用 作用分子的离心势能为 分子的离心势能为 kTrmkT enenrn P 2 0 0 22 则气体分子受惯性离心则气体分子受惯性离心 22 0 2 P 2 1 d rmrrmr r 设 设 P 0 0 分子数密度分子数密度 则由玻耳兹曼分布 则由玻耳兹曼分布 25 六六 作布朗运动的微观系统可看作是在浮力作布朗运动的微观系统可看作是在浮力 mg 0 0 和重力场的作用下达到平衡态的巨和重力场的作用下达到平衡态的巨 分子系统 设分子系统 设m为粒子的质量 为粒子的质量 为粒子的密度 为粒子的密度 0 0为粒子在其中漂浮的流体的密度 并令为粒子在其中漂浮的流体的密度 并令 z 0 0处势能为处势能为0 0 粒子数密度为 粒子数密度为 n0 0 求 在求 在 z为任意值处的粒子数密度为任意值处的粒子数密度 n 26 解 先由保守力与相应势能的关系 求出势能表解 先由保守力与相应势能的关系 求出势能表 达式 然后代人玻耳兹曼分布式得出结果达式 然后代人玻耳兹曼分布式得出结果 zmg zmgmgzf zz P 1 d d 0 0 0 0 z kT mg enn 1 0 0 27 七七 水蒸汽分解成同温度的氢气和氧气 内能增加水蒸汽分解成同温度的氢气和氧气 内能增加 了百分之几 不计振动自由度 了百分之几 不计振动自由度 222 2 1 OHOH 1摩尔水蒸汽内能 摩尔水蒸汽内能 1摩尔氢气内能 摩尔氢气内能 0 5摩尔氧气内能 摩尔氧气内能 增加的百分比 增加的百分比 RT RT RT 25 4 1 2 6 4 3 2 5 2 1 2 5 2 6 解 水蒸汽分解方程式 解 水蒸汽分解方程式 28 八八 简述范德瓦耳斯方程导出的基本思路 从该例 您能简述范德瓦耳斯方程导出的基本思路 从该例 您能 说点什么体会吗 说点什么体会吗 解答 解答 首先明确理想气体的模型及由该模型得出的理想首先明确理想气体的模型及由该模型得出的理想 气体状态方程中各量的物理意义 气体状态方程中各量的物理意义 模型 质点 忽略大小 即忽略分子之间存在斥模型 质点 忽略大小 即忽略分子之间存在斥 力 力 f 0 一般情况下 忽略分子之间存在引力 一般情况下 忽略分子之间存在引力 由于这样的模型 所以状态方程中的分子活动的空间就用由于这样的模型 所以状态方程中的分子活动的空间就用 容器的容积代替 而用理想气体计算出的压强值比实际气容器的容积代替 而用理想气体计算出的压强值比实际气 体的压强值大 体的压强值大 真实气体情况下 考虑了分子之间的斥力 也就真实气体情况下 考虑了分子之间的斥力 也就 是考虑分子有一定的大小 从而对理想气体状态方程中的是考虑分子有一定的大小 从而对理想气体状态方程中的 分子活动空间进行修正 考虑引力后 对理想气体状态方分子活动空间进行修正 考虑引力后 对理想气体状态方 程中的压强进行修正 程中的压强进行修正 29 所以 范德瓦耳斯方程中引进的所以 范德瓦耳斯方程中引进的a b b两个因子分两个因子分 别反映了分子之间存在的引力和斥力别反映了分子之间存在的引力和斥力 从此分析过程可以看出 正确的物理思想在解从此分析过程可以看出 正确的物理思想在解 决理论问题中的重要性 决理论问题中的重要性 30 九九 说明 刚性理想气体内能公式 说明 刚性理想气体内能公式 的推导思路的推导思路RT i E 2 解 从能均分原理出发解 从能均分原理出发 一个分子的平均动能一个分子的平均动能 一个分子的平均能量一个分子的平均能量 内能的定义内能的定义 理想气理想气 体内能体内能 刚性理想气体内能 刚性理想气体内能 十十 从微观意义上说明真空的概念从微观意义上说明真空的概念 解 微观上认为 当分子平均自由程用容器的解 微观上认为 当分子平均自由程用容器的 线度代替时 就是真空 或说分子平均自由程线度代替时 就是真空 或说分子平均自由程 与压强无关与压强无关 31 课后练习课后练习 金属自由电子模型指出 金属中的价电金属自由电子模型指出 金属中的价电 子是无相互作用的自由电子 在子是无相互作用的自由电子 在T 0K时 自由电时 自由电 子的速度可表示为在速度空间中的一个子的速度可表示为在速度空间中的一个费米球 费米球 球的半径是球的半径是vF 称为费米速率 称为费米速率 与金属种类有关与金属种类有关 即 电子速率状态处于费米球外