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概率论与数理统计复习题1. 设事件,且, , 则概率.解: ;2. 设事件与互不相容, 且, 则概率.解: 3. 设事件与互不相容, 且, 则概率. 1 解: 4. 设随机事件满足: , 则 D A. 互为对立事件 B. 互不相容 C. 一定为不可能事件 D. 不一定为不可能事件 5. 设随机事件互不相容, 且, , 则 C A. B. C. D. 解: 6. 设是两个随机事件, 且, , 则 B A. 互不相容 B. C. D. 解: 7. 设是两个随机事件, 且, , 求概率解: , .8. 设是两个随机事件, 且, , 求概率解: , .9. 设随机事件相互独立, 且, , 则解:10. 设是两个随机事件, 则下列中不正确的是 C A. 相互独立时, B. 时, C. 互不相容时, D. 时, 11. 设随机变量的分布律为, 则常数.(归一性)12. 设随机变量服从参数为的泊松分布, 且, 则 5/2 解:13. 设随机变量的分布律为, 则.解:14. 设随机变量的分布函数为则.解:一般情况下,总有15. 设随机变量, 且, 则的值为 A A. . B. . C. . D. . 解:由正态分布的对称性。下题同。 16. 设随机变量, 则概率的值 D A. 与有关, 但与无关. B. 与无关, 但与有关.C. 与和均有关. D. 与和均无关. 17. 设随机变量, 对于给定的, 数满足. 若, 则等于 B A. . B. . C. . D. . 解:由正态分布的图像及分位点的定义18. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数为 则常数.解:二维均匀分布;或由二维连续型的归一性。19.20.21.22.23. 设随机变量满足, , 则.解:24. 设随机变量, 且, 则.解:25. 已知随机变量服从二项分布, 且, , 则 B A. B. C. D. 解:26. 设随机变量与相互独立, 且, , 则随机变量服从 D A. B. C. D. 解: 有限个相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布;且有 27.28. 对于任意两个随机变量和, 若, 则 B A. B. C. 与相互独立 D. 与不相互独立 解: 例1(全概率公式和贝叶斯公式):某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8,9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1)取到不合格产品的概率;(2)若取到的是不合格品,求它是由甲车间生产的概率。解:设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格。则P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)0.08,P(B| A2)0.09,P(B| A3)0.12。由全概率公式P(B) =P(B| A1) P(A1)+ P(B| A2) P(A2)+ P(B| A3) P(A3) = 0.09由贝叶斯公式:P(A1| B) = 4/9例2:(连续型随机变量的综合题(参数求法区间概率分布函数期望方差)设随机变量X的概率密度函数为求:(1)常数;(2)EX;(3)P1X3;(4)X的分布函数F(x)解:(1)由得到1/2(2)(3)(4)当x0时,当0x2时,当x2时,F(x)=1故练习:已知随机变量X的密度函数为且。求:(1)a , b ;(2)E(x) 解: (1) 一方面,所以.一方面,所以.得方程组 解得.(2) 例:(离散型随机变量和分布函数(参数求法区间概率分布函数期望方差)设X的分布函数F(x)为 , 求:(1)X的分布列;(2)EX2;(3)P1X3;分析:其分布函数的图形是阶梯形,故x是离散型的随机变量 答案: P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.练习:设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 例:二维连续型随机变量的联合概率密度函数为 求:(1)求常数.(2)边缘密度函数;(3)与是否相互独立;(4)PX0,YX解: (1) 由于. 即, 得.(2) (3) 由(2), ,所以与相互独立。(4)练习:设随机变量与相互独立, 在上服从均匀分布, 的概率密度为 求和的联合概率密度. 求.解: 由于在上服从均匀分布, 所以的概率密度为 由于与相互独立, 所以和的联合概率密度为 令. .例: 设二维随机变量的联合分布律为 0 1 2 3123 求(1)数学期望.(2)X、Y的边缘分布律解: .例:设总体X的概率密度为 其中未知参数,是取自总体的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。解:矩估计法:(1);(2)令,反解得,即为的矩估计。极大似然估计法:(1)构造似然函数:(2)取对数:(3)求导并令之等于0:,令可得,则的极大似然估计量为。例:已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水,含碳量平均数,样本方差S 20.0169。若总体方差没有变化,即20.121,问总体均值有无显著变化?(0.05)解:1.原假设H0:4.55; 备择假设H1:4.552.选取检

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