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导数的应用知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.【例1】（B类）（2011朝阳期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为. （）求函数的解析式； （）求函数的单调区间.【解析】（）由的图象经过，知， 所以.所以. 由在处的切线方程是，知，即，. 所以 即 解得. 故所求的解析式是. （）因为， 令，即，解得 ，. 当或时， 当时， 故在内是增函数，在内是减函数，在内是增函数. 【例2】的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直. （）求实数的值；（）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解析】（）的图象经过点 ， 由已知条件知 即 解得：（）由（）知，令则或 函数在区间上单调递增 或 即或练习3.已知函数 ，当 时，讨论函数 的单调性.【解析】，（1）当时，若为增函数；为减函数；为增函数（2）当时，为增函数；为减函数；为增函数 知识点二: 导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义域，求导数 .(2)求方程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值. （2）求出端点函数值. （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.【例】设是函数的两个极值点.（1）试确定常数a和b的值；（2）试判断是函数的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）由已知得： （2）变化时.的变化情况如表：（0，1）1（1，2）20+0极小值极大值故在处，函数取极小值；在处，函数取得极大值.【课堂练习】设，求的单调区间和最小值；【解】由题设知，令0得=1，当（0，1）时，0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间.当（1，+）时，0，是增函数，故（1，+）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为【课堂练习】【例11】（C类）( 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由.【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值.【解析】A B C x 解法一:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.【课堂练习】10某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值.【解析】（I）设容器的容积为V，由题意知故由于 因此所以建造费用因此 （II）由（I）得由于 当令 所以 （1）当时，所以是函数y的极小值点，也是最小值点. （2）当即时，当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当时，建造费用最小时当时，建造费用最小时巩固练习基础训练（A类）1.曲线在点处的切线方程为 （ ） 【答案】 D 【解析】 ，切线方程为，即.2. 曲线在点（-1，-1）处的切线方程为 （ ）（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 (C) y=-2x-3 (D)y=-2x-2【答案】A 【解析】，所以，故切线方程为3.若曲线在点处的切线方程是，则 （ ）（A） (B) (C) (D) 【答案】A【解析】本题考查了导数的几何意义即求曲线上一点处的切线斜率. ， ，在切线， 4函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是 【答案】【解析】由可得,答案:.5.若函数在处取极值，则 【答案】3【解析】，f(1)0 a36.设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.7.设函数，求函数的单调区间与极值.【解析】从而当x变化时，变化情况如下表：8设函数,（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于【解析】（），依题意有，故从而的定义域为，当时，；当时，；当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别式（）若，即，在的定义域内，故的极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而在的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为9设函数，其中证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值【解析】因为，所以的定义域为当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减所以当，函数没有极值点当时，令，得（舍去），当时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为综上所述，当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为10.设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（）求函数f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立.【解析】(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增.（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点.（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点.（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得.提高训练（B类）1 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （） 【答案】D【解析】曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为所以：2.设函数则 （ ）A在区间内均有零点. B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点. 【答案】D【解析】由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D.3. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意该函数的定义域，由.因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点.解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点.当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是.解法2 （分离变量法）上述问题也可等价于方程在内有解，显然可得4.已知定义在正实数集上的函数，其中.设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同.（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值.【解析】（1）设与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）则有（2）设与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）即有令，则，于是当，即时，；当，即时，故在的最大值为，故的最大值为5.（山东济南2011届高三二模数学（文）已知函数的减区间是试求m、n的值；求过点且与曲线相切的切线方程；过点A（1，t）是否存在与曲线相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】 由题意知：的解集为， 所以，-2和2为方程的根， 由韦达定理知 ，即m=1，n=0 ， 当A为切点时，切线的斜率 ，切线为，即； 当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，切线方程为，即 因为过点A（1，-11）， 或，而为A点，即另一个切点为， ，切线方程为 ，即 所以，过点的切线为或 存在满足条件的三条切线 设点是曲线的切点，则在P点处的切线的方程为 即因为其过点A（1，t），所以， 由于有三条切线，所以方程应有3个实根， 设，只要使曲线有3个零点即可设 =0， 分别为的极值点，当时，在和 上单增，当时，在上单减，所以，为极大值点，为极小值点.所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，解得. 6.已知函数图像上的点处的切线方程为（1）若函数在时有极值，求的表达式（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围【解析】， 因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即，又得.（1）函数在时有极值，所以，解得，所以（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，则得，所以实数的取值范围为7设函数，已知和为的极值点（）求和的值；（）讨论的单调性；（）设，试比较与的大小【解析】（）因为，又和为的极值点，所以，因此 解方程组得，（）因为，所以，令，解得，因为 当时，；当时，所以 在和上是单调递增的；在和上是单调递减的（）由（）可知，故，令，则令，得，因为时，所以在上单调递减故时，；因为时，所以在上单调递增故时，所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有8.已知函数（）如果，求的单调区间；()若在单调增加，在单调减少，证明6. 【解析】（）当时，故 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 9.设函数，曲线在点处的切线方程为.（）求的解析式：（）证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.解析：（），于是解得 或因为，所以 （II）证明：已知函数都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.而函数.可知，函数的图像按向量a=平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形.（III）证明：在曲线上任一点.由知，过此点的切线方程为.令得，切线与直线交点为.令得，切线与直线交点为.直线与直线的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为.所以, 所围三角形的面积为定值2.综合迁移（C类）1已知函数其中为常数.（I）当时，求函数的极值；（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有【解析】（）解：由已知得函数的定义域为，当时，所以（1）当时，由得，此时当时，单调递减；当时，单调递增（2）当时，恒成立，所以无极值综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为当时，无极值（）当时，当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明令 ，则 ，当时，故在上单调递增，因此 当时，即成立故 当时，有即 2.已知函数,，其中R（）讨论的单调性；（）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；【解析】（）的定义域为，且， 当时，在上单调递增； 当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增 （），的定义域为 因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以 3设 （1）若，求过点（2，）的直线方程； （2）若在其定义域内为单调增函数，求的取值范围.【解析】（1）由得 过点（2，）的直线方程为，即 （2）由令在其定义域（0，+）上单调递增.只需恒成立由上恒成立，综上k的取值范围为4.(山东省淄博一中2012届高三上学期阶段检测（一）数学（文）试题19)已知函数，xR（其中m为常数）（I）当m=4时，求函数的极值点和极值；（II）若函数在区间（0，+）上有两个极值点，求实数m的取值范围.【解析】函数的定义域为R（）当m4时，f（x） x3x210x，x27x10，令 ， 解得或令 ， 解得,列表0-0所以函数的极大值点是，极大值是；函数的极小值点是，极小值是.（）x2（m3）xm6,要使函数在（0，）有两个极值点,则，解得m3.5.（山东省潍坊市三县2012届高三10月联合考试数学（文）试题22. ）已知函数()若,令函数,求函数在上的极大值、极小值；()若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.【解析】()，所以由得或所以函数在处取得极小值；在处取得极大值() 因为的对称轴为（1）若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；（2）若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；综上，实数的取值范围为6已知函数是上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意不等式恒成立.【解析】（1）由奇函数定义，有. 即 因此， 由条件为的极值，必有 故 ,解得 因此 当时，故在单调区间上是增函数.当时，故在单调区间上是减函数.当时，故在单调区间上是增函数.所以，在处取得极大值，极大值为 （2）由(1)知，是减函数，且在上的最大值为最小值为所以，对任意恒有7 （2011烟台一月调研）已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数的值.（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解析】（1）的图象经过点，则由条件即解得（2），令得或函数在区间上单调递增，则或即或8(2011丰台期末)已知函数（）若曲线在点处的切