高考数学一轮复习 11.6 离散型随机变量的分布列考点及自测 理 新人教A版.doc

第6讲离散型随机变量的分布列【2014年高考会这样考】1在理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念的基础上，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列2考查两点分布和超几何分布的简单应用. 考点梳理1离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母x，y，等表示(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量(3)分布列设离散型随机变量x可能取得值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi(i1,2，n)的概率为p(xxi)pi，则称表xx1x2xixnpp1p2pipn为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列(4)分布列的两个性质pi0，i1,2，n；p1p2pn_1_.2两点分布如果随机变量x的分布列为x10ppq其中0p1，q1p，则称离散型随机变量x服从参数为p的两点分布3超几何分布列在含有m件次品数的n件产品中，任取n件，其中含有x件次品，则事件xk发生的概率为：p(xk)(k0,1,2，m)，其中mminm，n，且nn，mn，n、m、nn*，则称分布列x01mp为超几何分布列【助学微博】 一类表格离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值 两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于1.三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列 考点自测110件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()a取到产品的件数 b取到正品的概率c取到次品的件数 d取到次品的概率解析a中取到的产品件数是一个常量而不是一个变量；b、d中的概率也是一个定值；而c中取到的次品数可能是0,1,2，是随机变量答案c2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x去描述1次试验的成功次数，则p(x0)等于()a0 b. c. d.解析设x的分布列为x01pp2p即“x0”表示试验失败，“x1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p2p1，得p.答案d3(2013银川模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x是一个随机变量，则p(x4)的值为()a. b. c. d.解析由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故p(x4).答案a4袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为x，则x的所有可能取值个数为()a25 b10 c7 d6解析x的可能取值为123,134,14523，15642,25734,358,459.答案c5(人教a版教材习题改编)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为y，则随机变量y的分布列是_解析y的所有可能值为1,2,3,4p(y1)，p(y2)，p(y3)，p(y4).y的分布列为y1234p答案y1234p 考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】 (2012广东改编)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为，求的分布列及数学期望审题视点 (1)抓住总面积和为1即可算得x的值(2)的可能取值为0,1,2，算出其概率，即可列出的分布列，从而求出的期望解(1)由频率分布直方图知(0.00630.01x0.054)101，解得x0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.0180.006)105012，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.00610503.因此可能取0,1,2三个值p(0)，p(1)，p(2).的分布列为012p故e()012. 求离散型随机变量的分布列的步骤：确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；尽量寻求计算概率时的普遍规律；检查计算结果是否满足分布列的第二条性质【训练1】 (2011北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组乙组分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4416，这两名同学植树总棵数y的取值分别为17,18,19,20,21，p(y17)；p(y18)p(y19)；p(y20)p(y21)则随机变量y的分布列是：y1718192021p(2)由(1)知e(y)19，设这名同学获得钱数为x元，则x10y，则e(x)10e(y)190. 考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】(2012浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量x为取出此3球所得分数之和(1)求x的分布列；(2)求x的数学期望e(x)审题视点 本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确解(1)由题意，得x取3,4,5,6，且p(x3)，p(x4)，p(x5)，p(x6)，所以x的分布列为x3456p(2)由(1)知e(x)3p(x3)4p(x4)5p(x5)6p(x6). 求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列【训练2】 (2012安徽)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是a类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道a类型试题和一道b类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是b类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束，试题库中现共有nm道试题，其中有n道a类型试题和m道b类型试题，以x表示两次调题工作完成后，试题库中a类型试题的数量(1)求xn2的概率；(2)设mn，求x的分布列和均值(数学期望)解以ai表示第i次调题调用到a类型试题，i1,2.(1)p(xn2)p(a1a2).(2)x的可能取值为n，n1，n2.p(xn)p( )，p(xn1)p(a1)p(a2)，p(xn2)p(a1a2)，从而x的分布列是xnn1n2pe(x)n(n1)(n2)n1. 考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列【例3】(2012四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)a和b，系统a和系统b在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望e()审题视点 (1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么1p( )1p，解得p.(2)由题意，p(0)c033，p(1)c2，p(2)c2，p(3)c3.所以，随机变量的概率分布列为0123p故随机变量的数学期望：e()0123. 解决随机变量分布列问题时，首先应先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个取值对应的概率，同时要做到计算准确无误【训练3】 (2013中山期末)某校对新扩建的校园进行绿化，移栽香樟和桂花两种大树各2株，若香樟的成活率为，桂花的成活率为，假设每棵树成活与否是相互独立的(1)求两种树各成活一株的概率；(2)设表示成活的株数，求的分布列及数学期望解(1)记“香樟成活一株”为事件a，“桂花成活一株”为事件b.则事件“两种树各成活一株”即为事件ab.p(a)c，p(b)c，由于事件a与b相互独立，因此，p(ab)p(a)p(b).(2)表示成活的株数，因此可能的取值有0,1,2,3,4.p(0)22；p(1)c2c2；p(2)2222；p(3)c2c2；p(4)22.的分布列为01234p因此，e()012343.1. 规范解答16求解离散型随机变量分布列的答题技巧 【命题研究】 通过对近三年高考试题分析可以看出，本部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差的计算，以及概率统计在实际问题中的应用，题型以解答题为主预测2014年高考仍会坚持以实际问题为背景，结合常见的概率事件，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，一般属中等难度题目【真题探究】 (本小题满分13分)(2012天津)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用x，y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记|xy|，求随机变量的分布列与数学期望 e()教你审题 (1)本题是一个古典概型，根据上述规则可分别求出每个人参加甲游戏和乙游戏的概率，然后再利用二项分布的概率公式求解(2)4个人中参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数含“3人参加甲游戏”和“4人全部参加甲游戏”两个互斥事件，利用二项分布和互斥事件的概率公式可求解(3)分析出的所有可能取值，求出各值对应的概率，建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望规范解答 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件ai(i0,1,2,3,4)，则p(ai)ci4i.(2分)(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率p(a2)c22.(4分)(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件b，则ba3a4，(5分)由于a3与a4互斥，故p(b)p(a3)p(a4)c3c4.(7分)所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(8分)(3)的所有可能取值为0,2,4，由于a1与a3互斥，a0与a4互斥，故p(0)p(a2)，p(2)p(a1)p(a3)，p(4)p(a0)p(a4).(10分)所以的分布列是024p(12分)随机变量的数学期望e()024.(13分)阅卷老师手记 掌握离散型随机变量的分布列，需注意(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量x所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量x的值的事件发生的概率看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误(3)公式运用正确和计算准确是不失分的关键 概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为：第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；第二步：利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；第三步：画出随机变量的分布列；第四步：明确规范表述结论【试一试】 (2012江西)如图，从a1(1,0,0)，a2(2,0,0)，b1(0,1,0)，b2(0,2,0)，c1(0,0,1)，c2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点o两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量v(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积v0)(1)求v0的概率；(2)求v的分布列及数学期望e(v)解(1)从6个点中随机选取3个点总共有c20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有cc12(种)，因此v0的概率为p(v0).(2)v的所有可能取值为0，因此v的分布列为v0p由v的分布列可得e(v)0. a级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1如果x是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是().x取每个可能值的概率是非负实数.x取所有可能值的概率之和为1.x取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和.x在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和解析由离散型随机变量的性质，得pi0，i1,2，n，且i1.答案2已知随机变量x的分布列为p(xi)(i1,2,3)，则p(x2)等于()a. b. c. d.解析1，a3，p(x2).答案c3若随机变量x的概率分布列为xx1x2pp1p2且p1p2，则p1等于()a. b. c. d.解析由p1p21且p22p1可解得p1.答案b4已知随机变量x的分布列为：p(xk)，k1,2，则p(2x4)等于()a. b. c. d.解析p(2x4)p(x3)p(x4).答案a二、填空题(每小题5分，共10分)5(2012上海虹口3月模拟)已知某一随机变量的概率分布列如下，且e()6.3，则a_.4a9p0.50.1b解析由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4.e()40.5a0.190.46.3.a7.答案76(2013泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为_解析的所有可能值为0,1,2.p(0)，p(1)，p(2).012p答案012p三、解答题(共25分)7(12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值x元的概率分布列解(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率p.(2)依题意可知，x的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且p(x0)，p(x10)，p(x20)，p(x50)，p(x60).所以x的分布列为：x010205060p8. (13分)(2012江苏)设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0 ；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率p(0)；(2)求的分布列，并求其数学期望e()解(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8c对相交棱，因此p(0).(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故p()，于是p(1)1p(0)p()1，所以随机变量的分布列是01p因此e()1. b级能力突破(时间：30分钟满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1(2013长沙二模)若离散型随机变量x的分布列为：x01p9c2c38c则常数c的值为()a.或 b. c. d1解析c.答案c2一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了x次球，则p(x12)等于()ac102 bc92cc92 dc102解析“x12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此p(x12)c92c102.答案d二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013郑州调研)设随机变量x的概率分布列为x1234pm则p(|x3|1)_.解析由m1，解得m，p(|x3|1)p(x2)p(x4).答案4甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)若x是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则x的所有可能取值是_解析x1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；x0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错；x1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对；x2时，甲抢到2题均答对；x3时，甲抢到3题均答对答案1,0,