高考数学一轮必备 12.6《离散型随机变量的均值与方差》考情分析学案(1).doc

12.6离散型随机变量的均值与方差考情分析本节是高考必考内容，可以在选择填空中考查正态分布（主要考查正态曲线特点、性质的应用，属容易题）还可以在解答题中与排列组合、互斥事件的概率、独立事件的概率、条件概率，分布列、期望、方差等知识综合考查（属中档题）基础知识1、 离散型随机变量的均值与方差：一般的，若随机变量x的分布列为xp（1） 均值：为随机变量x的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2） 方差：为随机变量x的方差，它刻画了随机变量x与其均值e(x)的平均偏离度，其算术平方根为随机变量x的标准差2、 均值与方差的性质：（1）（2）（a,b为常数）3、 两点分布与二项分布的均值与方差：（1）若x服从两点分布，则（2）若，则注意事项1.在记忆d(axb)a2d(x)时要注意：d(axb)ad(x)b，d(axb)ad(x)2. (1)若x服从两点分布，则e(x)p，d(x)p(1p)； (2)xb(n，p)，则e(x)np，d(x)np(1p)；(3)若x服从超几何分布，则e(x)n.3.(1)e(c)c(c为常数)(2)e(axb)ae(x)b(a、b为常数)(3)e(x1x2)ex1ex2(4)如果x1，x2相互独立，则e(x1x2)e(x1)e(x2)(5)d(x)e(x2)(e(x)2(6)d(axb)a2d(x)题型一离散型随机变量的均值和方差【例1】已知袋中装有6个白球、2个黑球，从中任取3个球，则取到白球个数的期望e()()a. 2b. c. d. 答案：d解析：取到的白球个数可能的取值为1,2,3.所以p(1)；p(2)；p(3).因此取到白球个数的期望e()23.【变式1】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望e()解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件a，则p(a).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.(2)可能取的值有0,2,4,6,8.p(0)；p(2)；p(4)；p(6)；p(8).甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列为02468p所以e()02468.题型二均值与方差性质的应用【例2】设随机变量x具有分布p(xk)，k1,2,3,4,5，求e(x2)2，d(2x1)，.解e(x)123453.e(x2)12232425211.d(x)(13)2(23)2(33)2(43)2(53)2(41014)2.e(x2)2e(x24x4)e(x2)4e(x)41112427.d(2x1)4d(x)8，.【变式2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，x表示所取球的标号(1)求x的分布列、期望和方差；(2)若axb，e()1，d()11，试求a，b的值解(1)x的分布列为x01234pe(x)012341.5.d(x)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由d()a2d(x)，得a22.7511，即a2.又e()ae(x)b，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求题型三均值与方差的实际应用【例3】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数x依次为1,2，8，其中x5为标准a，x3为标准b.已知甲厂执行标准a生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准b生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示：x15678p0.4ab0.1且x1的数学期望e(x1)6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数x2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数x2的数学期望(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比”；(2)“性价比”大的产品更具可购买性解(1)因为e(x1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2.又由x1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：x2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数x2的概率分布列如下：x2345678p0.30.20.20.10.10.1所以e(x2)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性【变式3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1)(1)如果把10万元投资甲项目，用x表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求x的概率分布及e(x)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围解(1)依题意，x的可能取值为1,0，1，x的分布列为x101pe(x).(2)设y表示10万元投资乙项目的收益，则y的分布列为：y22pe(y)2242，依题意要求42，1.重难点突破【例4】甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的概率为，乙机投弹一次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率；(2)记目标被命中的次数为随机变量，求的分布列和数学期望 解析 设ak表示甲机命中目标k次，k0,1,2，bl表示乙机命中目标l次，l0,1,2，则ak，bl独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有p(ak)ck2k，p(bl)cl2l.据此算得p(a0)，p(a1)，p(a2).p(b0)，p(b1)，p(b2).(1)所求概率为1p(a0b0a0b1a1b0)11.(2)的所有可能值为0,1,2,3,4，且p(0)p(a0b0)p(a0)p(b0)，p(1)p(a0b1)p(a1b0)，p(2)p(a0b2)p(a1b1)p(a2b0)，p(3)p(a1b2)p(a2b1)，p(4)p(a2b2).综上知，的分布列如下：01234p从而的期望为e()01234.巩固提高1.设是服从二项分布b(n，p)的随机变量，又e()15，d()，则n与p的值为()a60，b60，c50，d50，答案：b解析：由b(n，p)，有e()np15，d()np(1p)，p，n60.2.设随机变量xn(1,52)，且p(x0)p(xa2)，则实数a的值为()a. 4b. 6c. 8d. 10答案：a解析：由正态分布的性质可知p(x0)p(x2)，a22，a4，选a.3.在正态分布n(0，)中，数值落在(，1)(1，)内的概率为()a. 0.097b. 0.046c. 0.03d. 0.0026答案：d解析：0，p(x1)1p(1x1)1p(3x3)10.99740.0026.4.某校约有1000人参加摸底考试，其数学考试成绩n(90，a2)(a0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()a. 200b. 300c. 400d. 600答案：a解析：由题知，p(x110)(1)，则成绩不低于110分的学生人数约为