中考数学复习 第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形（试卷部分）课件1.ppt

第四章图形的认识4 3等腰三角形与直角三角形 中考数学 福建专用 1 2018福建 5 4分 如图 等边三角形abc中 ad bc 垂足为d 点e在线段ad上 ebc 45 则 ace等于 a 15 b 30 c 45 d 60 a组2014 2018年福建中考题组 五年中考 答案a由等边三角形abc中 ad bc 垂足为点d 可得 acb 60 且点d是bc的中点 所以ad垂直平分bc 所以ec eb 根据等边对等角 得到 ecb ebc 45 故 ace acb ecb 60 45 15 答案c过a作ae bc于点e ab ac ec be bc 4 ae 3 d是线段bc上的动点 不含端点b c 3 ad 5 ad 3或4 线段ad长为正整数 点d的个数共有3个 3 2014福州 9 4分 如图 在正方形abcd的外侧作等边三角形ade ac be相交于点f 则 bfc为 a 45 b 55 c 60 d 75 答案c由已知得ab ae bae 150 abf 15 bfc abf baf 15 45 60 评析本题考查正方形 等边三角形 等腰三角形的性质 属中等难度题 4 2018福建 13 4分 如图 rt abc中 acb 90 ab 6 d是ab的中点 则cd 答案3 解析依题意可知cd是直角三角形abc斜边上的中线 由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 可得cd ab 3 5 2018福建 15 4分 把两个同样大小的含45 角的三角尺按如图所示的方式放置 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点a 且另三个锐角顶点b c d在同一直线上 若ab 则cd 答案 1 解析由题意知 abc ade均为等腰直角三角形 且ab ac ae ed 由勾股定理得bc ad 2 过a作af bc于f 则fc af 1 在rt afd中 由勾股定理得fd 故cd fd fc 1 6 2016莆田 16 4分 魏朝时期 刘徽利用下图通过 以盈补虚 出入相补 的方法 即 勾自乘为朱方 股自乘为青方 令出入相补 各从其类 证明了勾股定理 若图中bf 1 cf 2 则ae的长为 答案3 解析由已知得四边形abcd是正方形 bf 1 cf 2 ad ab dc bc bf cf 3 在rt abf中 af bc ad efc ead 即 解得ae 3af 3 b组2014 2018年全国中考题组考点一等腰三角形 1 2018河北 8 3分 已知 如图 点p在线段ab外 且pa pb 求证 点p在线段ab的垂直平分线上 在证明该结论时 需添加辅助线 则作法不正确的是 a 作 apb的平分线pc交ab于点cb 过点p作pc ab于点c且ac bcc 取ab中点c 连接pcd 过点p作pc ab 垂足为c 答案b无论作 apb的平分线pc交ab于点c 还是取ab中点c 连接pc或过点p作pc ab 垂足为c 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论 选项a c d的作法正确 故选b 2 2017内蒙古包头 6 3分 若等腰三角形的周长为10cm 其中一边长为2cm 则该等腰三角形的底边长为 a 2cmb 4cmc 6cmd 8cm 答案a当腰长为2cm时 底边长为6cm 但是2 2 4 6 即两边之和小于第三边 不合题意 当底边长为2cm时 腰长为4cm 符合题意 故选a 3 2016湖北武汉 10 3分 平面直角坐标系中 已知a 2 2 b 4 0 若在坐标轴上取点c 使 abc为等腰三角形 则满足条件的点c的个数是 a 5b 6c 7d 8 答案a如图 当ab ac时 以点a为圆心 ab长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 点b除外 即o 0 0 c0 0 4 其中点c0与a b两点共线 不符合题意 当ab bc时 以点b为圆心 ab长为半径作圆 与坐标轴有两个交点 均符合题意 当ac bc时 作ab的垂直平分线 与坐标轴有两个交点 均符合题意 所以满足条件的点c有5个 故选a 4 2015陕西 6 3分 如图 在 abc中 a 36 ab ac bd是 abc的角平分线 若在边ab上截取be bc 连接de 则图中等腰三角形共有 a 2个b 3个c 4个d 5个 答案d依题意可知 题图中的 abc aed bdc bde adb为等腰三角形 则共有5个等腰三角形 故选d 5 2018吉林 11 3分 如图 在平面直角坐标系中 a 4 0 b 0 3 以点a为圆心 ab长为半径画弧 交x轴的负半轴于点c 则点c坐标为 答案 1 0 解析 a 4 0 b 0 3 ab 5 ac ab oc ac ao ab ao 5 4 1 c 1 0 6 2018天津 17 3分 如图 在边长为4的等边 abc中 d e分别为ab bc的中点 ef ac于点f g为ef的中点 连接dg 则dg的长为 答案 解析连接de 在等边 abc中 d e分别是ab bc的中点 de ac de ec ac 2 deb c 60 ef ac efc 90 fec 30 ef deg 180 60 30 90 g是ef的中点 eg 在rt deg中 dg 疑难突破本题主要依据等边三角形的性质 勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段dg的长 dg与图中的线段无直接的关系 所以应根据条件连接de 构造直角三角形 运用勾股定理求出dg的长 思路分析连接de 根据题意可得de ac 又ef ac 可得到 fec的度数 判断出 deg是直角三角形 再根据勾股定理即可求解dg的长 7 2018辽宁沈阳 16 3分 如图 abc是等边三角形 ab 点d是边bc上一点 点h是线段ad上一点 连接bh ch 当 bhd 60 ahc 90 时 dh 答案 解析延长ad至点e 使得he bh 连接be ce bhd 60 bhe是等边三角形 bh be he beh 60 abc是等边三角形 ab bc abc 60 abh cbe abh cbe bec bha 120 hec 60 ch ad che 90 设bh x x 0 则he x ch x 过点b作bg he于g 则bg x eg bgd chd 90 又 bdg cdh bdg cdh bc cd 又dh gh he 由勾股定理得 dh2 ch2 cd2 即 x 2 解得x 1 dh 疑难突破此类题型中 可根据等边三角形 60 这些条件 通过补全小等边三角形 构造全等三角形 从而实现线段的转化 8 2016湖南长沙 17 3分 如图 abc中 ac 8 bc 5 ab的垂直平分线de交ab于点d 交边ac于点e 则 bce的周长为 答案13 解析 de垂直平分ab ae be bce的周长为be ce bc ae ce bc ac bc 8 5 13 评析本题考查了线段垂直平分线的性质定理 即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 9 2014内蒙古呼和浩特 13 3分 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 则该等腰三角形的底角的度数为 答案63 或27 解析在三角形abc中 设ab ac bd ac于d 若三角形是锐角三角形 则 a 90 36 54 此时 底角 180 54 2 63 若三角形是钝角三角形 则 bac 36 90 126 此时 底角 180 126 2 27 综上 该等腰三角形底角的度数是63 或27 评析本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理 属容易题 10 2017北京 19 5分 如图 在 abc中 ab ac a 36 bd平分 abc交ac于点d 求证 ad bc 证明 ab ac a 36 abc c 72 bd平分 abc abd 36 abd a ad bd bdc a abd 72 bdc c bd bc ad bc 11 2016宁夏 21 6分 在等边 abc中 点d e分别在边bc ac上 若cd 2 过点d作de ab 过点e作ef de 交bc的延长线于点f 求ef的长 解析 abc为等边三角形 a b acb 60 de ab edf b 60 dec a 60 cde为等边三角形 de cd 2 4分 ef de def 90 在rt def中 ef de tan60 2 6分 12 2015重庆 25 12分 如图1 在 abc中 acb 90 bac 60 点e是 bac角平分线上一点 过点e作ae的垂线 过点a作ab的垂线 两垂线交于点d 连接db 点f是bd的中点 dh ac 垂足为h 连接ef hf 1 如图1 若点h是ac的中点 ac 2 求ab bd的长 2 如图1 求证 hf ef 3 如图2 连接cf ce 猜想 cef是不是等边三角形 若是 请证明 若不是 请说明理由 图1 图2 解析 1 点h是ac的中点 ac 2 ah ac 1分 acb 90 bac 60 abc 30 ab 2ac 4 2分 da ab dh ac dab dha 90 dah 30 ad 2 3分 在rt adb中 dab 90 bd2 ad2 ab2 bd 2 4分 2 证明 连接af 如图 f是bd的中点 dab 90 af df fda fad 5分 de ae dea 90 dha 90 dah 30 dh ad ae平分 bac cae bac 30 dae 60 ade 30 ae ad ae dh 6分 fda fad hda ead 60 fda hda fad ead fdh fae 7分 fdh fae sas fh fe 8分 3 cef是等边三角形 9分 理由如下 取ab的中点g 连接fg cg 如图 f是bd的中点 fg da fg da fga 180 dag 90 又 ae ad ae fg 在rt abc中 acb 90 点g为ab的中点 cg ag 又 cab 60 gac为等边三角形 10分 ac cg acg agc 60 fgc 30 fgc eac fgc eac sas 11分 cf ce ace gcf ecf ecg gcf ecg ace acg 60 cef是等边三角形 12分 答案a由题意得 abc与 a b c 全等且均为等腰直角三角形 ac bc 3 ab 3 ab 3 在 ab c中 易知 cab 90 ab c是直角三角形 b c 3 答案b pab pbc pbc abp 90 pab abp 90 p 90 设ab的中点为o 则p在以ab为直径的圆上 当点o p c三点共线时 线段cp最短 ob ab 3 bc 4 oc 5 又op ab 3 线段cp长的最小值为5 3 2 故选b 3 2018云南 6 3分 在 abc中 ab ac 5 若bc边上的高等于3 则bc边的长为 答案1或9 解析分两种情况讨论 bc边上的高在 abc内时 如图 过a作ad bc于点d 在rt abd中 ab ad 3 bd 5 在rt acd中 ac 5 ad 3 cd 4 bc bd cd 9 bc边上的高位于 abc外时 如图 同 可求得bd 5 cd 4 bc 1 综上 bc的长为1或9 思路分析根据题意画图 要考虑全面 利用勾股定理解直角三角形即可 易错警示本题容易只考虑bc边上的高在 abc内的情况而导致漏解 4 2018河南 15 3分 如图 man 90 点c在边am上 ac 4 点b为边an上一动点 连接bc a bc与 abc关于bc所在直线对称 点d e分别为ac bc的中点 连接de并延长交a b所在直线于点f 连接a e 当 a ef为直角三角形时 ab的长为 答案4或4 解析 1 当点a 在直线de下方时 如图1 ca f 90 ea f ca f a ef为钝角三角形 不符合 2 当点a 在直线de上方时 如图2 当 a fe 90 时 de ab eda 90 a b ac 由对称知四边形aba c为正方形 ab ac 4 当点a 在直线de上方时 如图3 当 a ef 90 时 a e ac 所以 a ec ace a ce a c a e a e ec a ce为等边三角形 acb a cb 60 在rt acb中 ab ac tan60 4 当点a 在直线de上方时 ea f ca b 不可能为90 综上所述 当 a ef为直角三角形时 ab的长为4或4 图1图2 图3 思路分析由题意知 点b为边an上的动点 a点的对称点a 可以在直线de的下方或上方 分类讨论 当点a 在de的下方时 a ef不可能为直角三角形 当点a 在直线de上方时 a ef或 a fe为90 时分别计算ab的长 显然 ea f 90 可以排除 方法总结解对称 折叠 型问题 当对称轴过定点时 一般要找出对称中的定长线段 以定点为圆心 定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法 再根据题目中所要求的条件 结合全等 相似或勾股定理等计算得出结果 5 2015江西南昌 14 3分 如图 在 abc中 ab bc 4 ao bo p是射线co上的一个动点 aoc 60 则当 pab为直角三角形时 ap的长为 答案2或2或2 解析由题意知 满足条件的点p有三个位置 如图 apb 90 因为oa ob 2 所以op oa 2 又因为 aoc 60 所以 poa为等边三角形 所以ap 2 如图 apb 90 因为oa ob 2 所以op oa ob 2 又 aoc bop 60 所以 obp为等边三角形 所以 obp 60 所以 oap 30 所以ap ab cos oap 4 2 如图 abp 90 因为 bop aoc 60 所以bp ob tan60 2 在rt abp中 ap 2 综上所述 ap的长为2或2或2 评析本题是以等腰三角形中的动点为背景的分类讨论型问题 考查了含特殊角的直角三角形的边角关系 勾股定理等知识 本题易漏掉某种情况 属易错题 5 2014湖北武汉 16 3分 如图 在四边形abcd中 ad 4 cd 3 abc acb adc 45 则bd的长为 答案 解析作ad ad 且使ad ad 连接cd dd 如图 由已知条件可得 bac cad dad cad 即 bad cad 在 bad与 cad 中 bad cad sas bd cd 又 dad 90 在rt dad 中 由勾股定理得dd 4 易知 d da adc 90 在rt cdd 中 由勾股定理得cd bd cd 评析本题考查了等腰直角三角形的性质 勾股定理 全等三角形的判定与性质 属难题 6 2017北京 28 7分 在等腰直角 abc中 acb 90 p是线段bc上一动点 与点b c不重合 连接ap 延长bc至点q 使得cq cp 过点q作qh ap于点h 延长交ab于点m 1 若 pac 求 amq的大小 用含 的式子表示 2 用等式表示线段mb与pq之间的数量关系 并证明 解题关键解决本题第 2 问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形 从而找出边与边之间的数量关系 7 2016内蒙古呼和浩特 21 7分 已知 如图 acb和 ecd都是等腰直角三角形 acb ecd 90 d为ab边上一点 1 求证 ace bcd 2 求证 2cd2 ad2 db2 证明 1 acb和 ecd都是等腰直角三角形 cd ce ac bc ecd acb 90 ecd acd acb acd 即 eca dcb 1分 在 ace与 bcd中 3分 ace bcd 4分 2 ace bcd ae bd 5分 eac bac 45 ead 90 在rt ead中 ed2 ad2 ae2 ed2 ad2 bd2 6分 又ed2 ec2 cd2 2cd2 2cd2 ad2 db2 7分 c组教师专用题组考点一等腰三角形 1 2018湖北黄冈 4 3分 如图 在 abc中 直线de是ac的垂直平分线 且分别交bc ac于点d和e b 60 c 25 则 bad为 a 50 b 70 c 75 d 80 答案b因为直线de是ac的垂直平分线 所以ad dc 所以 dac c 25 所以 adc 180 25 25 130 因为 adc b bad 所以 bad adc b 130 60 70 故选b 2 2017湖北武汉 10 3分 如图 在rt abc中 c 90 以 abc的一边为边画等腰三角形 使得它的第三个顶点在 abc的其他边上 则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 a 4b 5c 6d 7 答案d 如图1 以b为圆心 bc长为半径画弧 交ab于点d 则 bcd就是等腰三角形 如图2 以a为圆心 ac长为半径画弧 交ab于点e 则 ace就是等腰三角形 如图3 以c为圆心 bc长为半径画弧 交ab于m 交ac于点f 则 bcm bcf是等腰三角形 如图4 作ac的垂直平分线交ab于点h 则 ach就是等腰三角形 如图5 作ab的垂直平分线交ac于点g 则 agb就是等腰三角形 如图6 作bc的垂直平分线交ab于i 则 bci就是等腰三角形 故选d 3 2015广西南宁 7 3分 如图 在 abc中 ab ad dc b 70 则 c的度数为 a 35 b 40 c 45 d 50 答案a ab ad adb b 70 ad dc c dac adb是 adc的外角 c adb 35 故选a 4 2015江苏苏州 7 3分 如图 在 abc中 ab ac d为bc中点 bad 35 则 c的度数为 a 35 b 45 c 55 d 60 答案c ab ac d为bc中点 cad bad 35 ad dc 在 adc中 c 90 dac 55 故选c 5 2018四川成都 11 4分 等腰三角形的一个底角为50 则它的顶角的度数为 答案80 解析 等腰三角形的两底角相等 180 50 2 80 顶角为80 6 2016北京 16 3分 下面是 经过已知直线外一点作这条直线的垂线 的尺规作图过程 已知 直线l和l外一点p 求作 直线l的垂线 使它经过点p 作法 如图 1 在直线l上任取两点a b 2 分别以点a b为圆心 ap bp长为半径作弧 两弧相交于点q 3 作直线pq 所以直线pq就是所求作的垂线 请回答 该作图的依据是 答案三边分别相等的两个三角形全等 全等三角形的对应角相等 等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合 两点确定一条直线 解析连接pa qa pb qb 由题意可知pa qa pb qb 又ab ab pab qab 三边分别相等的两个三角形全等 pab qab 全等三角形的对应角相等 由两点确定一条直线作直线pq pa qa ab pq 等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合 7 2015北京 16 3分 阅读下面材料 在数学课上 老师提出如下问题 尺规作图 作一条线段的垂直平分线 已知 线段ab 求作 线段ab的垂直平分线 小芸的作法如下 如图 1 分别以点a和点b为圆心 大于ab的长为半径作弧 两弧相交于c d两点 2 作直线cd 所以直线cd就是所求作的垂直平分线 老师说 小芸的作法正确 请回答 小芸的作图依据是 答案到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 两点确定一条直线 解析由小芸的作法可知 ac bc ad bd 所以由 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 可知点c d在线段ab的垂直平分线上 再由 两点确定一条直线 可知直线cd就是所求作的垂直平分线 8 2014山西 16 3分 如图 在 abc中 bac 30 ab ac ad是bc边上的中线 ace bac ce交ab于点e 交ad于点f 若bc 2 则ef的长为 答案 1 ace bac ace cad af cf ace bac 15 dcg 45 acb 75 fcg 75 15 45 15 bad fcg 又 afe cfg af cf afe cfg asa ef fg ab ac ad为bc边上的中线 cd bc 1 dcf 75 15 60 df dc 又 dg dc 1 ef fg df dg 1 9 2015广东广州 15 3分 如图 abc中 de是bc的垂直平分线 de交ac于点e 连接be 若be 9 bc 12 则cosc 答案 解析因为de是bc的垂直平分线 所以ce be 9 cd bd 6 在rt cde中 cosc 10 2017内蒙古呼和浩特 18 6分 如图 等腰三角形abc中 bd ce分别是两腰上的中线 1 求证 bd ce 2 设bd与ce相交于点o 点m n分别为线段bo和co的中点 当 abc的重心到顶点a的距离与底边长相等时 判断四边形demn的形状 无需说明理由 解析 1 证明 ab ac是等腰 abc的两腰 ab ac bd ce是中线 ad ac ae ab ad ae 又 a a abd ace bd ce 2 四边形demn为正方形 提示 由mn de分别是 obc abc的中位线可得四边形demn是平行四边形 由 1 知bd ce 故可证oe od 从而四边形demn是矩形 再由 abc的重心到顶点a的距离与底边长相等可知四边形demn为正方形 11 2016安徽 23 14分 如图1 a b分别在射线om on上 且 mon为钝角 现以线段oa ob为斜边向 mon的外侧作等腰直角三角形 分别是 oap obq 点c d e分别是oa ob ab的中点 1 求证 pce edq 2 延长pc qd交于点r 如图2 若 mon 150 求证 abr为等边三角形 如图3 若 arb peq 求 mon的大小和的值 解析 1 证明 点c d e分别是oa ob ab的中点 de oc ce od 四边形odec为平行四边形 oce ode 又 oap obq都是等腰直角三角形 pco qdo 90 pce pco oce qdo ode edq 又 pc ao co ed ce od ob dq pce edq 5分 2 证明 如图 连接or pr与qr分别为线段oa与ob的中垂线 ar or br arc orc ord brd 在四边形ocrd中 ocr odr 90 mon 150 crd 30 arb aro bro 2 cro 2 ord 2 crd 60 abr为等边三角形 9分 12 2015北京 20 5分 如图 在 abc中 ab ac ad是bc边上的中线 be ac于点e 求证 cbe bad 证明 ab ac ad是bc边上的中线 ad bc bad cad be ac bec adc 90 cbe 90 c cad 90 c cbe cad cbe bad 13 2014浙江宁波 25 12分 课本的作业题中有这样一道题 把一张顶角为36 的等腰三角形纸片剪两刀 分成3张小纸片 使每张小纸片都是等腰三角形 你能办到吗 请画示意图说明剪法 我们有多种剪法 图1是其中的一种方法 定义 如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形 我们把这叫做这个三角形的三分线 1 请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45 的等腰三角形的三分线 并标注每个等腰三角形顶角的度数 若两种方法分得的三角形成3对全等三角形 则视为同一种 2 abc中 b 30 ad和de是 abc的三分线 点d在bc边上 点e在ac边上 且ad bd de ce 设 c x 试画出示意图 并求出x所有可能的值 3 如图3 abc中 ac 2 bc 3 c 2 b 请画出 abc的三分线 并求出三分线的长 解析 1 画图如下 任画其中两个即可 2 如图 当ad ae时 2x x 30 30 x 20 当ad de时 30 30 2x x 180 x 40 当ae de时 不存在 不写不扣分 c的度数是20 或40 结论不写不扣分 3 如图 cd ae就是所求的三分线 设 b 那么 dcb dca eac ade aed 2 设ae ad a bd cd y aec bdc a y 2 3 又 acd abc 2 a a y 2 解得a y 即三分线长分别是和 评析本题考查了学生的理解能力及动手 创新能力 知识方面重点考查三角形内角 外角间的关系及等腰三角形知识 是一道综合性比较强的题目 考点二直角三角形 1 2018陕西 6 3分 如图 在 abc中 ac 8 abc 60 c 45 ad bc 垂足为d abc的平分线交ad于点e 则ae的长为 a 2b 3c d 答案d ac 8 c 45 ad bc ad acsin45 4 过点e作ef ab于点f be是 abc的平分线 de ef abc 60 ad bc bae 30 在rt aef中 ef ae 又 ad 4 de ef ae ad 故选d 思路分析首先利用ac的长及 c的正弦求出ad的长 进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定de和ae的数量关系 最后求出ae的长 2 2018黑龙江齐齐哈尔 16 3分 四边形abcd中 bd是对角线 abc 90 tan abd ab 20 bc 10 ad 13 则线段cd 答案或17 解析如图1 作ae 直线bd于点e cf 直线bd于点f 图1 abd dbc 90 bcf dbc 90 abd bcf tan abd tan bcf 在rt aeb中 设ae 3x be 4x 则 3x 2 4x 2 202 解得x 4 ae 12 be 16 在rt bcf中 设bf 3y cf 4y 则 3y 2 4y 2 102 解得y 2 bf 6 cf 8 在rt ade中 de 5 bd be de 11 fd bd bf 5 在rt dcf中 cd 如图2 同理 be 16 ed 5 bf 6 cf 8 bd be ed 21 fd bd bf 15 图2 在rt dcf中 cd 17 综上所述 线段cd的长为或17 解题关键考虑问题要全面 正确画出图形 通过作垂线 构造直角三角形 然后利用勾股定理求出线段bd fd的长度是关键 3 2017内蒙古包头 12 3分 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab 垂足为d af平分 cab 交cd于点e 交cb于点f 若ac 3 ab 5 则ce的长为 a b c d 答案a过f作fg ab于点g af平分 cab acb 90 fc fg 易证 acf agf ac ag 5 6 90 b 6 90 5 b 3 1 5 4 2 b 1 2 3 4 ce cf ac 3 ab 5 bc 4 在rt bfg中 设cf x x 0 则fg x bf 4 x bg ab ag 5 3 2 由bf2 fg2 bg2 得 4 x 2 x2 22 解得x ce cf 选a 4 2015北京 6 3分 如图 公路ac bc互相垂直 公路ab的中点m与点c被湖隔开 若测得am的长为1 2km 则m c两点间的距离为 a 0 5kmb 0 6kmc 0 9kmd 1 2km 答案d ac bc m是ab的中点 mc ab am 1 2ke2m 故选d 5 2017山西 15 3分 一副三角板按如图方式摆放 得到 abd和 bcd 其中 adb bcd 90 a 60 cbd 45 e为ab的中点 过点e作ef cd于点f 若ad 4cm 则ef的长为cm 答案 解析如图 连接de 过点e作em bd于点m 设ef交bd于点n ad 4cm a 60 ab 8cm db 4cm 点e为ab的中点 em bd de ab 4cm em ad 2cm 由等腰直角三角形的性质可知 enm fnd 45 在rt enm中 en em 2cm mn em 2cm dn dm mn db mn 2 2 cm 在rt dfn中 fn dn cm ef en fn 2 cm 一题多解过点a作ag cd的延长线于点g cdb cbd 45 adb 90 adg 45 ag 2cm abd 30 bd ad 4cm cbd 45 bc 2cm ag cg ef cg cb cg ag ef bc e是ab的中点 点f为cg的中点 ef ag bc 2 2 cm 6 2016宁夏 14 3分 如图 rt aob中 aob 90 oa在x轴上 ob在y轴上 点a b的坐标分别为 0 0 1 把rt aob沿着ab对折得到 ao b 则点o 的坐标为 答案 解析如图 作o c oa 垂足为c 在rt aob中 oa ob 1 aob 90 tan bao bao 30 由题意可得ao ao o ab oab 30 o ao 60 在rt o ac中 ac ao cos60 o c ao sin60 oc ao ac o 7 2016黑龙江哈尔滨 17 3分 在等腰直角三角形abc中 acb 90 ac 3 点p为边bc的三等分点 连接ap 则ap的长为 答案或 解析当cp 1时 根据勾股定理得ap 当cp 2时 根据勾股定理得ap 故ap的长为或 8 2015上海 18 4分 已知在 abc中 ab ac 8 bac 30 将 abc绕点a旋转 使点b落在原 abc的点c处 此时点c落在点d处 延长线段ad 交原 abc的边bc的延长线于点e 那么线段de的长等于 答案4 4 解析如图 作bf ae交ae于点f 在rt abf中 baf 60 ab 8 可得af 4 bf 4 所以df ad af 8 4 4 易证 bfe是等腰直角三角形 所以ef bf 4 所以de ef df 4 4 评析本题考查解含特殊角的直角三角形 画出图形 通过作出适当的辅助线 把一般的三角形化为直角三角形是关键 属于中等难度题 9 2016广东 21 7分 如图 rt abc中 b 30 acb 90 cd ab交ab于d 以cd为较短的直角边向 cdb的同侧作rt dec 满足 e 30 dce 90 再用同样的方法作rt fgc fcg 90 继续用同样的方法作rt hic hci 90 若ac a 求ci的长 解析 rt abc中 b 30 acb 90 a 60 1分 cd ab adc 90 acd 30 2分 ac a rt adc中 ad ac cd ad a 4分 同理可得 rt dfc中 df cd a cf df a 5分 rt fhc中 fh cf a ch fh a 6分 rt chi中 ci ch a 7分 评析本题考查直角三角形的基本性质与运算 解析 1 证明 在 abc中 abc 90 m为ac的中点 bm ac n为cd的中点 mn ad ac ad bm mn 2 bad 60 ac平分 bad bac cad 30 由bm am 可得 bmc 2 bac 60 由mn ad 可得 cmn cad 30 bmn bmc cmn 90 ac ad 2 bm mn 1 在rt bmn中 bn 又 s五边形acbed a2 b2 c2 证明连接bd 过点b作de边上的高bf 则bf b a s五边形acbed s acb s abe s ade ab b2 ab 又 s五边形acbed s acb s abd s bde ab c2 a b a ab b2 ab ab c2 a b a a2 b2 c2 评析本题主要考查勾股定理的证明 表示出五边形面积是解题关键 三年模拟 答案b由作图可知mn是ac的垂直平分线 da dc ae ec 故a正确 ade cde dcb 故c正确 da dc a dca 故d正确 故选b 答案b根据勾股定理的逆定理知 abc是直角三角形 a正确 f是bc的中点 所以af是 abc的中线 而不是中位线 b错误 点e f分别是ab bc的中点 所以ef是 abc的中位线 c正确 ab 5 bc 3 ac 4 点e f分别是ab bc的中点 be ab 2 5 bf bc 1 5 ef ac 2 bef的周长为6 d正确 二 填空题 每小题3分 共9分 3 2018莆田质检 14 如图 abc中 ab 3 ac 4 点f在ac上 ae平分 bac ae bf于点e 若点d为bc的中点 则de的长为 答案 解析由ae平分 bac ae bf可证得 abe afe be ef af ab 3 ac 4 cf 点d为bc的中点 de为 bcf的中位线 de cf 4 2017厦门质检 14 如图 在rt acb中 c 90 bc 4 def是等腰直角三角形 def 90 a e分别是de ac的中点 点f在ab边上 则ab 答案2 解析 def是等腰直角三角形 def 90 c 90 ef bc 又bc 4 e为ac中点 ef bc 2 ab 2af de ef 2 a为de中点 ae 1 由勾股定理得af 故ab 2af 2 5 2016龙岩质检 15 如图 abc是等边三角形 bd平分 abc 点e在bc的延长线上 且ce 1 e 30 则bc 答案2 解析 abc是等边三角形 abc acb 60 ba bc bd平分 abc dbc e 30 bd ac bdc 90 bc 2dc acb e cde cde e 30 cd ce 1 bc 2cd 2 三 解答题 共40分 6 2018漳州质检 18 如图 在 abc中 a 80 b 40 1 求作线段bc的垂直平分线de 垂足为e 交ab于点d 要求 尺规作图 保留作图痕迹 不写作法 2 在 1 的条件下 连接cd 求证 ac cd 解析 1 如图 直线de即为所求 2 证法一 de垂直平分bc bd cd 1 b 40 2 b 1 80 a 80 2 a ac cd 证法二 de垂直平分bc bd cd 1 b 40 a 80 acb 180 a b 60 acd 60 40 20 2 180 a acd 80 a ac cd 7 2018泉州质检 19 如图 在锐角 abc中 ab 2cm ac 3cm 1 尺规作图 作bc边的垂直平分线分别交ac bc于点d e 保留作图痕迹 不要求写作法 2 在 1 的条件下 连接bd 求 abd的周长 8 2017福州质检 18 求证 等腰三角形的底边中点到两腰距离相等 9 2017泉州质检 19 如图 在四边形abcd中 ab ad 3 dc 4 a 60 d 150 试求bc的长度 解析如图 连接db ab ad a 60 abd是等边三角形 bd ad 3 adb 60 又 adc 150 cdb adc adb 150 60 90 dc 4 bc 5 10 2017福州质检 20 如图 在rt abc中 c 90 bc 1 ac 2 以点b为圆心 bc长为半径画弧交ab于点d 以点a为圆心 ad长为半径画弧 交ac于点e 保留作图痕迹 并求的值 解析如图所示 在rt abc中 bc 1 ac 2 ab 由作图知bd bc ae ad bc 1 ae ad 1 答案c如图 将ce绕点c沿顺时针方向旋转90 点e旋转到点e 的位置 连接ae de 则ce ce e ce 90 acb 90 ac bc cab b 45 e ce acb e ce ace acb ace 即 e ca ecb e ca ecb e ac b 45 ae be 4 e ad e ac cab 90 de 5 dce 45 e cd e ce dce 90 45 45 e cd dce 又 e c ec dc dc e cd ecd ed e d 5 ab ad ed be 3 5 4 12 ac2 bc2 ab2 2bc2 ab2 bc 6 故选c 2 2017宁德质检 10 如图 在 abc中 ab ac 点d e分别在边bc和ac上 若ad ae 则下列结论错误的是 a adb acb cad