高考数学二轮专题复习 双曲线提分训练 文 新人教版.doc

双曲线高考试题考点一 用双曲线的定义解决相关问题1.(2012年大纲全国卷,文10)已知f1、f2为双曲线c:x2-y2=2的左、右焦点,点p在c上,|pf1|=2|pf2|,则cosf1pf2=()(a)(b)(c)(d)解析:由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,a=,c=2.又|pf1|-|pf2|=2a,|pf1|=2|pf2|,|pf1|=4,|pf2|=2.又|f1f2|=2c=4,由余弦定理得cosf1pf2=.故选c.答案:c2.(2010年大纲全国卷,理9)已知f1、f2为双曲线c:x2-y2=1的左、右焦点,点p在c上,f1pf2=60,则p到x轴的距离为()(a)(b)(c)(d)解析:由双曲线方程可知,a=1,b=1,c=,|f1f2|=2.由双曲线定义有|pf1|-|pf2|=2a=2,在f1pf2中,由余弦定理有:8=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60联立解得|pf1|pf2|=4,设点p(x,y),则=|pf1|pf2|sin 60=|f1f2|y|,解得|y|=.故选b.答案:b3.(2010年大纲全国卷,文8)已知f1、f2为双曲线c:x2-y2=1的左、右焦点,点p在c上,f1pf2=60,则|pf1|pf2|=()(a)2(b)4(c)6(d)8解析:如图,设|pf1|=m,|pf2|=n.则mn=4.|pf1|pf2|=4.故选b.答案:b4.(2013年辽宁卷,文15)已知f为双曲线c: -=1的左焦点,p,q为c上的点.若pq的长等于虚轴长的2倍,点a(5,0)在线段pq上,则pqf的周长为.解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,则|pq|=16,又因为|pf|-|pa|=6,|qf|-|qa|=6,所以|pf|+|qf|-|pq|=12,|pf|+|qf|=28,则pqf的周长为44.答案:445.(2012年辽宁卷,文15)已知双曲线x2-y2=1,点f1、f2为其两个焦点,点p为双曲线上一点,若pf1pf2,则|pf1|+|pf2|的值为.解析:设p在双曲线右支上,|pf2|=x(x0),则|pf1|=2+x.pf1pf2,(x+2)2+x2=(2c)2=8,即:x2+2x-2=0,解得:x=-1,x+2=+1.|pf1|+|pf2|=2.答案:26.(2010年江西卷,文15)点a(x0,y0)在双曲线-=1的右支上,若点a到右焦点的距离等于2x0,则x0=.解析:由-=1可知,a2=4,b2=32,c2=36,c=6, 右焦点f(6,0),由题意可得解方程组可得x0=或x0=2.点a在双曲线右支上,x02,x0=2.答案:27.(2009年辽宁卷,理16)已知f是双曲线-=1的左焦点,a(1,4),p是双曲线右支上的动点,则|pf|+|pa|的最小值为.解析:由-=1知c2=4+12=16,c=4.左焦点f(-4,0),设双曲线右焦点为f(4,0),点p在双曲线右支上,|pf|-|pf|=2a=4,|pf|=4+|pf|,|pf|+|pa|=4+|pf|+|pa|.由图可知,当a、p、f三点共线时,|pf|+|pa|最小,此时,(|pf|+|pa|)min =4+(|pf|+|pa|)min=4+|af|=4+=4+5=9.答案:9考点二 双曲线标准方程的求法1.(2012年湖南卷,文6)已知双曲线c: -=1的焦距为10,点p(2,1)在c的渐近线上,则c的方程为()(a) -=1(b) -=1(c) -=1(d) -=1解析: -=1的焦距为10,c=5=. 又双曲线渐近线方程为y=x,且p(2,1)在渐近线上,=1,即a=2b.由解得a=2,b=,故选a.答案:a2.(2011年山东卷,理8)已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆c:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,则该双曲线的方程为()(a) -=1(b) -=1(c) -=1(d) -=1解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=x,圆c的标准方程为(x-3)2+y2=4,圆心为c(3,0).又渐近线方程与圆c相切,即直线bx-ay=0与圆c相切,=2,5b2=4a2.又-=1的右焦点f2(,0)为圆心c(3,0),a2+b2=9.由得a2=5,b2=4.双曲线的标准方程为-=1.故选a.答案:a3.(2010年新课标全国卷,理12)已知双曲线e的中心为原点,f(3,0)是e的焦点,过f的直线l与e相交于a、b两点,且ab的中点为n(-12,-15),则e的方程为()(a)-=1(b) -=1(c)-=1(d) -=1解析:kab=1,直线ab的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为f(3,0),c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a0,b0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=2(-12),a2=-4a2+4b2,5a2=4b2.又a2+b2=9,a2=4,b2=5.双曲线e的方程为-=1.故选b.答案:b4.(2012年天津卷,文11)已知双曲线c1: -=1(a0,b0)与双曲线c2: -=1有相同的渐近线,且c1的右焦点为f(,0),则a=,b=.解析:与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=,即-=1.由题意知c=,则4+16=5=,则a2=1,b2=4,又a0,b0.故a=1,b=2.答案:12考点三 双曲线离心率的求法1.(2013年重庆卷,文10)设双曲线c的中心为点o,若有且只有一对相交于点o,所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使=,其中a1,b1和a2,b2分别是这对直线与双曲线c的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()(a) (b) (c) (d) 解析:设双曲线的焦点在x轴上,则双曲线的一条渐近线的斜率k=,由题意知满足k,所以3, 1+4,即2,又双曲线的离心率为e=,所以0,b0)的两个焦点,若f1、f2、p(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()(a) (b)2 (c) (d)3解析:由=,令b=,则c=2,a=1,e=2.故选b.答案:b6.(2013年陕西卷,文11)双曲线-=1的离心率为 .解析:由a2=16,b2=9,得c2=a2+b2=25.离心率e=.答案:7.(2013年湖南卷,文14)设f1,f2是双曲线c, -=1(a0,b0)的两个焦点.若在c上存在一点p,使pf1pf2,且pf1f2=30,则c的离心率为.解析:设点p在双曲线右支上,由题意,在rtf1pf2中,|f1f2|=2c,pf1f2=30,得|pf2|=c,|pf1|=c,根据双曲线的定义:|pf1|-|pf2|=2a,( -1)c=2a,e=+1.答案: +18.(2012年重庆卷,文14)设p为直线y=x与双曲线-=1(a0,b0)左支的交点,f1是左焦点,pf1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.解析:由消去y,得x=a.又pf1x轴,a=c,e=.答案:9.(2009年湖南卷,文13)过双曲线c: -=1(a0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为a、b.若aob=120(o是坐标原点),则双曲线c的离心率为.解析:如图,由题知oaaf,obbf且aob=120,aof=60.又oa=a,of=c,=cos 60=,=2.答案:2考点四 与渐近线有关问题的解法1.(2013年新课标全国卷,文4)已知双曲线c: -=1(a0,b0)的离心率为,则c的渐近线方程为()(a)y=x(b)y=x(c)y=x(d)y=x解析:离心率e=,所以=.又双曲线c: -=1的渐近线方程为y=x=x.故选c.答案:c2.(2013年福建卷,文4)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()(a) (b) (c)1 (d)解析:双曲线x2-y2=1的渐近线方程为xy=0,双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(1,0),顶点到渐近线的距离为.故选b.答案:b3.(2011年湖南卷,文6)设双曲线-=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为()(a)4(b)3(c)2(d)1解析:由渐近线方程3x2y=0,得y=x,又由双曲线-=1得渐近线方程y=x,a=2.故选c.答案:c4.(2009年天津卷,文4)设双曲线-=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()(a)y=x(b)y=2x (c)y=x (d)y=x解析:由题意知2b=2,2c=2,b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,渐近线方程为y=x=x=x.故选c.答案:c5.(2009年全国卷,文8)双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r0)相切,则r=()(a)(b)2 (c)3 (d)6解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=x,则圆心(3,0)到y+x=0的距离为r,r=.故选a.答案:a6.(2013年江苏卷,3)双曲线-=1的两条渐近线的方程为.解析:令-=0,解得y=x.答案:y=x7.(2011年北京卷,文10)已知双曲线x2-=1(b0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=.解析:由x2-=1知a=1,又一条渐近线的方程为y=x=2x,b=2.答案:28.(2010年北京卷,文13)已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,c=4.e=2,a=2,b2=12,b=2.焦点在x轴上,焦点坐标为(4,0),渐近线方程为y=x,即y=x,化为一般式为xy=0.答案:(4,0)xy=0考点五 双曲线几何性质的简单应用1.(2013年湖北卷,文2)已知00,b0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为. (1)求双曲线c的方程;(2)如图,p是双曲线c上一点,a、b两点在双曲线c的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若=,.求aob的面积的取值范围.解:(1)由题意知,双曲线c的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,=,即=.由得双曲线c的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线c的两条渐近线方程为y=2x,设a(m,2m),b(-n,2n),m0,n0.由=得p点坐标为,将p点坐标代入-x2=1,化简得mn=.设aob=2,tan(-)2.tan =,sin 2=.又|oa|=m,|ob|=n,saob=|oa|ob|sin 2=2mn=+1,记s()= +1,.则s()= .由s()=0得=1.又s(1)=2,s=,s(2)= ,当=1时,aob的面积取得最小值2,当=时,aob的面积取得最大值.aob面积的取值范围是.模拟试题考点一 用双曲线的定义解决相关问题1.(2013浙江杭州一模)设双曲线-=1的左、右焦点分别为f1,f2,过f1的直线l交双曲线左支于a、b两点,则|bf2|+|af2|的最小值为()(a) (b)11(c)12(d)16解析:由-=1知a2=4,b2=3,c2=7,c=,f1(-,0),f2(,0),又点a、b在双曲线左支上,|af2|-|af1|=4,|bf2|-|bf1|=4,|af2|=4+|af1|,|bf2|=4+|bf1|,|af2|+|bf2|=8+|af1|+|bf1|.要求|af2|+|bf2|的最小值,只要求|af1|+|bf1|的最小值,而|af1|+|bf1|最小为2=3.(|af2|+|bf2|)min=8+3=11.故选b.答案:b2.(2013北京市东城区高三12月综合练习)已知f1、f2为双曲线c: -y2=1的左、右焦点,点p在c上,f1pf2=60,则p到x轴的距离为()(a) (b) (c) (d)解析:由双曲线的方程可知a=2,b=1,c=,在f1pf2中,根据余弦定理可得(2c)2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60,即4c2=(|pf1|-|pf2|)2+|pf1|pf2|,所以4c2=4a2+|pf1|pf2|,所以|pf1|pf2|=4c2-4a2=20-16=4,所以f1pf2的面积为s=|pf1|pf2|sin 60=4=,设f1pf2边f1f2上的高为h,则s=2chh=,所以高h=,即点p到x轴的距离为.故选b.答案:b考点二 双曲线标准方程的求法1.(2013福建厦门高三上质检)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为,实轴长为4,则双曲线的方程为.解析:由2a=4得a=2,由e=,得c=3,b2=c2-a2=5,又双曲线焦点在x轴上,双曲线标准方程为-=1.答案: -=12.(2013江苏南通高三第一次调研)已知双曲线-=1的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为.解析:圆x2+y2-10x=0的圆心坐标为(5,0),c=5,又e=,a=,b2=c2-a2=20,双曲线标准方程为-=1.答案: - =1考点三 双曲线离心率的求法1.(2013北京市海淀区北师特学校高三第四次月考)已知双曲线-=1(a0,b0),过其右焦点f且垂直于实轴的直线与双曲线交于m,n两点,o为坐标原点.若omon,则双曲线的离心率为()(a)(b)(c)(d)解析:由题意知三角形omn为等腰直角三角形,所以|mf|=|of|=c,所以点m(c,c),当x=c时, -=1,得|y|=,所以由|y|=c得b2=ac,即c2-a2=ac,c2-ac-a2=0,所以e2-e-1=0,解得离心率e=.故选d.答案:d2.(2013云南省昆明三中高三适应性月考)已知f是双曲线c: -=1(a0,b0)的左焦点,b1b2是双曲线的虚轴,m是ob1的中点,过f、m的直线与双曲线c的一个交点为a,且=2,则双曲线c离心率是.解析:由题意可知f(-c,0),不妨取m,设a(x,y),则由=2得=2,解得x=,y=b,即a,因为点a在双曲线上,所以-=1,即-=1,所以=,即=,即e2=,所以e=.答案:考点四 双曲线渐近线方程的求法1.(2013河南郑州一模)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()(a)y=x(b)y=x(c)y=2x (d)y=x解析:由e=得e2=1+=3,=2,=,双曲线渐近线方程为y=x,即y=x.故选a.答案:a2.(2013合肥二模)双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为,渐近线方程为.解析:由题意,2a=4,a=2,由e=3,c=6,b2=c2-a2=32,双曲线标准方程为-=1.渐近线方程为y=2x.答案: -=1y=2x考点五 双曲线几何性质的简单应用1.(2013青岛二模)双曲线的中心在坐标原点o,a、c分别是双曲线虚轴的上、下顶点,b是双曲线的左顶点,f是双曲线的左焦点,直线ab与fc相交于点d,若双曲线的离心率为2,则bdf的余弦值是()(a)(b) (c)(d)解析:设双曲线方程-=1(a0,b0),则a(0,b),c(0,-b),b(-a,0),f(-c,0),由e=2得c=2a,b=a, 直线ab方程为y=x+a,直线fc方程为y=-x-a.法一由得d(-a,-a).|df|=a,|db|=a,又|bf|=a.在bdf中,由余弦定理得cosbdf=.故选c.法二tanfbd=,tandfb=,tanbdf=tan180-(fbd+dfb)=-tan(fbd+dfb)=-=3.cosbdf=.故选c.答案:c2.(2013山东烟台一模)若点p是以a(-,0),b(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=10的一个交点,则|pa|+|pb|的值为()(a)2(b)4(c)4(d)6解析:如图,点a、b在圆x2+y2=10上,p为一个交点,papb,|pa|2+|pb|2=(2c)2=40,又|pa|-|pb|=2a=2,联立解得|pa|=4,|pb|=2.|pa|+|pb|=6.故选d.答案:d考点六 直线与双曲线位置关系的判定及应用(2013西安市质量检测)已知双曲线-=1(bn*)的左、右两个焦点为f1、f2,p是双曲线上的一点,且满足|pf1|pf2|=|f1f2|2,|pf2|0)的焦点与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过右顶点,与该抛物线交于a、b两点,求弦长|ab|.解:(1)根据题意a2=4,a=2,又a2+b2=c2,|pf1|-|pf2|=2a=4,|pf1|pf2|=|f1f2|2=4c2,|pf2|4,得|pf2|2+4|pf2|-4c2=0在区间(0,4)上有解,所以c28