数列求和及综合应用 3.doc

第二讲 数列求和及综合应用【基础回扣 步步为营】21【主干构建】【题检回扣】1.（2010天津高考）设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和。记设为数列的最大项，则= 。【解析】 ,当且仅当，即n=4时取等号，所以Tn的最大项为T4，所以=4.2.（2010浙江高考）设为等比数列的前n项和，则(A)-11 (B)-8(C)5(D)11【解析】由得所以，所以.故选A.3. （2010华南师大附中模拟）等差数列的前项和为，；等比数列中，则的值为（ ）A64 B-64 C128 D-128【解析】选B.由，得，由，得.所以，所以，所以，所以.4. （2010山东德州模拟）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 【解析】答案：C由得得,再由得 则,所以,故选C5.（2010聊城模拟）设等比数列 的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = （A） 2 （B） （C） （D）3【解析】设公比为q ,则1q33 q32 于是 . 【答案】B6.（2010济南模拟）数列的通项，其前项和为，则为A BC D答案：A【解析】由于以3 为周期,故故选A.【考向突破 典例精析】热点考向一 可转化为等差或等比数列的求和问题【考情分析】1.可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。2. 该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递推数列等知识综合，在知识交汇点处命题。3. 多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例1】（2010重庆高考）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（）求通项及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.【审题指导】1.第一问利用等差数列的通项公式和前项和公式直接求解即可；2. 第二问利用分组求和转化为等差与等比数列的求和问题，就等到解决.【自主解答】【规律方法】某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：1. 凑配、消项变换如将递推公式通过凑配变成或消常数项转化为2. 倒数变换如将递推公式取倒数得3. 对数变换如将递推公式取对数得；4. 换元变换如将递推公式变换成则转化为的形式。【变式训练】已知定义在R上的函数f（x）的图像关于点对称，对任意的实数x，都有，且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+f（3）+.+f（2011）的值为（ ）A.-2 B.-1 C.0 D.1热点考向二 错位相减法求和【考情分析】1.错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。2. 该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。3. 多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例2】（2010.全国新课标）设数列满足（1） 求数列的通项公式；（2） 令，求数列的前n项和.【审题指导】1.利用叠加法和等比数列的求和公式即可求解；2.利用错位相减法求和.【自主解答】【规律方法】1.几种求通项及求和方法（1） 已知求可用叠加法，即2.已知求可用叠乘法，3.设为等差数列，为等比数列，求数列的前项和可用错位相减法。【变式训练】（2010山东模拟）等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 ， 求数列的前项和.热点考向三 裂项相消法求和【考情分析】1.裂项相消法求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。2.该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。3.多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例3】（2010湖南高考）给出下面的数表序列：其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n3）（不要求证明）；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为，求和： 【审题指导】1.由表1、2、3推出表4，然后归纳得表n；2.由通项拆分为裂项相消求和。【自主解答】【规律方法】裂项相消法求和的几种常见类型（1）（2）（3）（4）（5） 若是公差为的等差数列，则（6）（7） ,【变式训练】（2010山东模拟）已知，点在函数的图象上，其中（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项，并证明热点考向四 与不等式有关的数列问题【考情分析】1.数列综合问题，特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。2.该类问题常与函数的单调性、基本不等式、导函数等知识交汇，综合命题。3.多以解答题的形式出现，属于高档题目。【例4】（2010天津高考）在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差为。（）若=，证明，成等比数列（）（）若对任意，成等比数列，其公比为。 (i)设1，证明：是等差数列； (ii)若证明（）.【审题指导】1.利用等差数列的定义、叠加法，求，再用等比数列定义证明即可.2.利用等比数列及等差数列的定义证明是等差数列；分奇偶性讨论和式，再放缩法证明目标即可.【自主解答】【规律方法】1. 数列与函数的综合问题：常以基础知识的考查为立足点，以函数关系引入数列中的量、，然后转化为方程，最终归结为等差或等比数列问题.2. 数列是特殊的函数，要多利用函数思想解决数列问题.数列的单调性、最值问题都可以利用把、看作是n的函数求解.3. 数列与不等式的综合问题：这是近几年高考的热点问题，通常是由等差、等比进行复合变形后得到的新数列的求和问题，解答时需要合理变形，常用到放缩法.常见的放缩技巧： ，.4. 数列与数学归纳法的综合问题：通过归纳猜想得到结论，在用数学归纳法证明所得结论.5. 数列与实际问题：建立有关等差、等比数列或递推数列的模型，再利用数列的有关知识解决问题.常见的有利息、产量、降升价、繁殖与增长率或降低率，分期付款、期货贸易等等.6. 数列与三角、解析几何、概率等都可以综合在一起考查，关键是构造数列，而后用数列知识解决即可.【变式训练】（2010江苏高考）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。求数列的通项公式（用表示）；设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立.求证：的最大值为。【答案解析】【例1】【自主解答】（）因为是首项为19，公差为-2的等差数列,所以，.（）由已知，所以， .【例1】【变式训练】由函数的图像成中心对称，得，所以，所以f（x）为偶函数，且以3为周期.则f（-1）=1=f（2）=f（-2）=f（1）=f(4)，f(0)=f(3)=-2,所以f（1）+f（2）+.+f（2011）=f（1）+f(2)+f(3)+f(4)+.+f(2009)+f(2010)+f(2011)(上式中共有670个中括号)=1.故选D.【例2】【自主解答】（）由已知，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。（）由知 从而 -得 即 【例2】【变式训练】因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以,公比为, 所以.（2）当b=2时，, 则 相减,得 =所以.【例3】【自主解答】解：（1）表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1、2、3、4行中的数的平均数分别是4、8、16、32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列。将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的 等比数列。简证如下（对考生不作要求）首先，表的第1行1、3、5、是等比数列，其平均数为；其次，若表的第行是等比数列，则它的第行也是等比数列。由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与第行的数的平均数分别是，。由此可知，表各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列。（2） 表的第1行是1、3、5、，其平均数为由（1）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列（从而它的第行中的数的平均数是），于是，表中最后一行的唯一一个数为。因此【例3】【变式训练】解：（）由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（）由（）知 （*）=由（*）式得（） 又 又， .【例4】【自主解答】（）证明：由题设，可得。所以=2k(k+1)由=0，得,从而， 于是所以成等比数列。（）（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得，所以，当1时，可知1，k从而，即所以是等差数列，公差为1。（ii）证明：，可得，从而=1.由所以,从而因此， 以下分两种情况进行讨论：（1） 当n为偶数时，设n=2m()若m=1,则.若m2，则.所以，从而，(2)当n为奇数时，设n=2m+1（）所以从而综上可知，对任意,有【例4】【变式训练】由题意知：，化简，得：，当时，适合情形。故所求， 即恒成立。又，所以的最大值为.【考题研究 规范提升】易错误区之一 解题方法失误（含找不到突破、用错方法等）【例1】（2010四川高考改编）已知数列的首项，其前项的和为，且，则的取值范围是 【审题指导】利用函数思想及通项与求和的关系，转化为等比数列，即可迎刃而解.【规范解答】解法一：由,得，作差得an22an1.又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1w_w w. k#s5_u.c o*m故an是以为首项，以2为公比的等比数列.所以Sna12a122a12n1a1(2n1)a1.则.这是关于n的增函数，所以的取值范围为.解法二：由得,所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列.所以，所以，下同解法一规范解答之一 数列解答题的解答技巧【例2】（2010安徽高考）设数列，中的每一项都不为0.证明：为等差数列的充分必要条件是： 对任何都有.证明：先证必要性.设数列为等差数列，它的公差为.若，则所述结论显然成立.1分若，则，.5分所以对任何都有.6分再证充分性.证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切都成立.首先，在等式 两端同乘，即得，所以，成等差数列，记公差为，则.7分假设，当时，观察如下二等式 将代入，得，在该式两端同乘，得，将代入其中，整理后，得.11分由数学归纳法原理知，对一切都有，所以是公差为的等差数列.12分证法2：(直接证法)依题意有 -得 .8分在上式两端同乘，得 同理可得 .10分 -得，即，.11分所以为等差数列.12分【误区分析】1.不知道从何处入手，这是因为不会利用关系.2.不知道以n+1替代n，这是不会利用函数思想.3.忽略验证n=1时的情况，而直接由an22an1下结论说an是等比数列，这是不符合等比数列定义的.4.不会应用待定系数法求通项公式.【跟踪训练】（2010安徽高考）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是A、B、C、D、【解析】解法一：选取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。解法二：， , ,则也成等比数列，所以，整理得.故选D.解法三：,所以代入A,B,C,验证都错误.故选D.【失分提示】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比及项数n表示代入验证得结论.若采用解法三，虽然本题得了满分，但占用了较多的解题时间，存在隐含丢分。【跟踪训练】（2010威海模拟）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有.【解析】（I）当时， 又数列是首项为，公比为的等比数列， 3分（II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知当n为偶数时，设 当n为奇数时，设对于一切的正整数n，都有 ，不存在正整数，使得成立。 8分（III）由得 又， 所以当时，当时， 14分【专题演练模拟考场】考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难等差数列、等比数列的求和公式1，37，9等差数列、等比数列的综合应用 2，5，64，8，1011，12一、选择题1. （2010全国新课标高考）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（A）（B）（C）（D）【解析】选D. 根据算法结构，可知这是求和故选D.2.（2010山东模拟）设是等差数列的前项和，若（ ）（）1 （)-1 (）2 （）解析：由于是等差数列的前项和，所以，所以，故选A.【解析】选A.3.（2010长沙模拟）等比数列中，则的前4项和为（ ）（）81 （)120 (）168 （）192解析：由知 所以，所以.所以选B.4.（2010临沂模拟改编）已知函数的图像在点处的切线与直线平行，若数列的前n项和为，则的值为（ ） (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.,，所以.，所以，故选D.4.（2010安徽模拟）是等差数列的前项和,的值为（ ）A54B45C36D27【解析】选A.由已知可得，得所以即，所以选A.5.（文）(2010江西模拟)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：C【解析】由得得,再由得则,所以.故选C.5.（理）（2010安徽高考）已知为等差数列，+=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 解析：由+=105得即，由=99得即 ，由得，选B.6.（文）（2010广东模拟）记等差数列的前项和为，若，则（ ）A16B24C36D48【解析】选D.由等差数列，所以，解得，所以.6.（理）(2010山东实验模拟)已知是等比数列，则=（A）16（） （B）16（） （C）（）（D）（）【解析】，得，所以，所以是以8为首项，以1/4为公比的等比数列，所以.故选C.二、填空题7.（2010浙江模拟）设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列答案： k【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，成等比数列8. （2010山东模拟）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。答案：【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，即，由线性规划的知识可知的最大值为4.9(2010辽宁高考)已知数列满足则的最小值为_.答案：解析：运用叠加法，得所以.构造函数则由解得所以在内是减函数，在内是增函数，并且所以的最小值是.【思维拓展】数列求和的方法.（1） 叠加法：来源于推导等差数列的通项公式，适用于. ，其中可求和.（2） 叠乘法：来源于推导等比数列的通项公式，适用于. （3） 分组求和法：把数列拆分为等差或等比数列，分别求和，再把结果相加即可.（4） 错位相减法：来源于推导等比数列的求和公式，适用于一个等差数列与一个等比数列的相对应相乘所得新数列的求和.（5） 倒序相加法：来源于推导等差数列的求和公式，适用于到首末两项距离相等的两项的和都相等的数列求和.（6） 裂项相消法：来源于等差数列的通项公式的推导过程，适用于与等差数列有关的的倒数表达式的求和.（7） 公式法：如果能判断是等差数列或是等比数列，就可以直接应用求和公式.另外还有下面常用的求和公式： 三、解答题10.（文）（2010福建高考）数列a n中，a1 =1/3，前n项和S n 满足S n+1 S n =（1 / 3）n + 1 (n)N*.（I）求数列an的通项公式a n 以及前n项和S n（II）若S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列，求实数t的值.【解析】 解：()由S n+1 S n =（）n + 1得 (nN *)；又，故(nN *)从而(nN *).()由()可得，.从而由S 1，t（S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得：，解得t=2. 10.（理）（2010重庆高考）在数列中，=1，其中实数。（I） 求的通项公式；（II） 若对一切有，求c的取值范围。（I）解法一：下用数学归纳法证明，当时，等式成立；假设当时，等式成立， 【解析】解法二：由得恒成立。下分三种情况讨论。（1） 当时，代入验证可知只有满足要求。（2） 当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，不符合题意，此时无解。（3） 当时，抛物线开口向上，其对称轴必在的左边。因此，在上是增函数。所以要使解得综合综合以上三种情况，的取值范围为。11.（2010安徽高考）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.()证明：为等比数列；（）设，求数列的前项和. 【解析】（1） 将直线的倾斜角记为，则有设的圆心角为，则由题意可知得；同理，从而，将代入，解得。故为公比的等比数列。（2） 由于，故，从而记，则有，。-得12.（2010江西高考）证明以下命题：（1） 对任一正整数a,都存在整数b,c(bc)，使得成等差数列。（2） 存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为为正整数且成等差数列。【解析】（1）易知成等差数列，则也成等差数列，所以对任意正整数，都存在正整数，使得成等差数列。（2） 若成等差数列，则有即.选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式。由于因此令易验证满足,因此成等差数列，当时，有，且，因此以为边长可以构成三角形，将此三角形记为。其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：据比例性质有：所以，由此可得，与假设矛盾，即任两个三角形与互不相似。所以存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列.高考资源*网【备选套卷每日一练】1.（2010天津模拟）若等差数列的前5项和，且，则（A）12 （B）13（C）14 （D）15答案：B解析：由等差数列的前n项和公式，和通项公式得，解得，所以.2.（2010四川模拟）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )（） （）（） （）解析：设等比数列的公比为 ，则函数的值域为，所以的取值范围是，故选D.3.（2010山东模拟）已知是等差数列，则过点的直线的斜率是 A4 B C D解析：，解得，所以.故选A.4 (2010山东模拟）数列中，；数列中，。在直角坐标平面内，已知点列 则向量的坐标为（） （）（） （）【解析】由已知是等差数列，是等比数列，所以向量，所以故选A.5. 在数列中，若，则称为“等差比数列”。下列是对“等差比数列”的判断：不可能为0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是（） （）（） （）【解析】正确，如果k=0，则，即 为常数列，分母为零，矛盾，故不可能为0；错误，常数数列是等差数列，但不是等差比数列，故选D.6. 当为正整数时，函数表示的最大奇因数，如设则（） （）（） （）【解析】选 归纳得出：所以，7.（2010辽宁模拟）等差数列的前项和为，且则 【解析】Snna1n(n1)d w.w.w.k.s.5.u.c.o.m S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】8. （2010高考）等比数列的公比为，前项的积为，并且满足给出下列结论，是中最大的，使得成立的最大的自然数是4018其中正确结论的序号为（将你认为正确的全部填上） 【解析】所以，正确；正确；不是中最大的，不正确；正确答：9. 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 第一列第二列第三列第一行123第二行246第三行369【解析】第一列的数成等差数列，所以第n行的第一个数为n，又第n行的数成等差数列，公差为n，所以第n行第n+1列的数是答案：.10. （2010湖北高考）已知数列满足: , , ；数列满足： =（n1）.()求数列，的通项公式;()证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.解：（1）由题意可知，令又则数列是首项为，公比为的等比数列，即故（2） （用反证法证明）假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只可能有成立。两边同乘，化简得由于，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾，故数列中任意三项不可能为等差数列。【阶段评估仿真模拟】1 选择题1. 如果是的等差中项，是的正的等比中项，那么与之间的关系是（） （) (） （）不具备上述三种关系解析：由均值不等式，两边都乘以，得即，所以选A.2. 已知等差数列的公差为2，成等比数列，（ ）（）-4 （)-6 (）-8 （）-10解析：设，则，所以选B.3. （2010.江西高考）等比数列中，=4，函数，则A B. C. D. 4. 下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行成等比数列，且每一行的公比相等，记第行，第行的数为等于（ ）（） （) (） （）1解析：由于每一列成等差数列，所以，由于从第三行起，每一行成等比数列，且每一行的公比相等，所以.所以.所以选B.5. 设一个等差数列的首项为，第二项为，则这个数列有一项为0的充要条件是（ ）（） 是正整数 （) 是正整数 (） 是正整数（）是正整数解析：,所以选D.6.（2010安徽高考）设数列的前n项和，则的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64答案：A解析：.7.（2010烟台模拟）如果等比数列的首项为正数，公比大于1，那么数列（ ）（）是递增的等比数列 （) 是递减的等比数列 (）是递增的等差数列 （）是递减的等差数列解析：由于，因为公比大于1，所以，所以是递减的等差数列.故选D.8.（2010合肥模拟）在内角为A,B,C,等差数列的第三项为-4，第七项为4，公差为，等比数列的第三项为，第六项为9，公比为，则这个三角形是（ ）（）钝角三角形 )锐角三角形 (）等腰直角三角形 ）非等腰直角三角形解析：由等差数列的性质得，即，所以=2，所以A为锐角.由等比数列的性质得，所以，所以B为锐角.所以,所以,所以为锐角三角形.故选B.9. （2010陕西模拟） 在各项均不为零的等差数列中， 若（ ）（）-2 （) 0 (）1 （）2解析：由，得，所以.故选A.10. （2010广州模拟）已知为偶函数，且当时， （ ）（）2011 （)-2011 (）2 （） 解析：由知的图像关于直线对称，又为偶函数，所以是周期为4的函数，所以.故选D.11.(2010济南模拟)已知数列中，.则等于（ ） A B. C. D.解析：，数列是周期数列，选A.12.（2010山东实验模拟）定义数列：，则在复平面内所对应的点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：由等比数列的定义知道，是等比数列， 所以对应的点在第一象限.故选A.2 填空题13. （2010安徽皖南模拟）数列的前项之和为 解析：这个数列的通项为所以这个数列的前项和为.答案：14.（2010青岛模拟）三个不同的实数成等差数列，且成等比数列， 则 解析：因为成等差数列，所以，因为成等比数列，所以，设，则，解得.所以4：1：（-2）.答案：4：1：（-2）.15.（2010广州模拟）定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积。已知数列是等积数列，且，公积为5，则这个数列的前项和的计算公式为 135715131191719212331292725解析：这个数列为2，2.5，2，2.5，.，所以16. （2010东北师大模拟）将正奇数按如下规律填在5列的数表中：则2011排在该表的第 行，第 列。（行是从上往下数，列是从左往右数。）解析：观察表格，奇数行从左到右，偶数行往下空一个，再由右到左。因为2011是从1开始的第个奇数，.所以2011在第252行，第3列.答案：252,33 解答题17.（2010.天津模拟）数列满足：（1） 记，求证：是等比数列；（2） 求数列的通项公式；（3） 令，求数列的前项和.解析：（1）其中，所以两式相减得 所以所以.18.（2010湖南模拟）已知正项数列满足(1) 求正项数列的通项公式；(2) 求和.解析：（1）取倒数 .所以.19.（2010广东高考）已知数列中，（1) 若数列为等差数列，求实数的值；（2) 求数列的