高考数学一轮必备 5.3《平面向量的数量积》考情分析学案(1).doc

5.3平面向量的数量积考情分析主要考查数量积的运算，几何定义模与夹角。垂直问题，各种题型都有。基础知识1两个非零向量夹角的概念:已知非零向量与，作，则aob（）叫与的夹角.2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq叫与的数量积，记作，即有= |cosq，（）.并规定与任何向量的数量积为0. 3“投影”的概念：作图c 定义：|cosq 叫做向量在方向上的投影.4向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积.5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，1 = 0 2 当与同向时， = |；当与反向时， = -|. 特别的 = |2或3 cosq = ； 4| |6.平面向量数量积的运算律1)交换律： = 2)数乘结合律：()=() = ()3)分配律：( +) = + 7.平面内两点间的距离公式： （1）设，则或.（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)9.向量垂直的判定：设，则10.两向量夹角的余弦（）： cosq =1.两个向量垂直的充要条件：abx1x2y1y20.2. (1)若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若ab。3.(1)若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形abc中，与的夹角应为120，而不是60.巩固提高1已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角为()a. b. c. d.解析设a与b的夹角为，则cos .又0，.答案c2若a，b，c为任意向量，mr，则下列等式不一定成立的是()a(ab)ca(bc) b(ab)cacbccm(ab)mamb d(ab)ca(bc)答案d3若向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b)()a4 b3 c2 d0解析由ab及ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.答案d4已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()a9 b4 c0 d4解析ab(1x,4)由a(ab)，得1x80.x9.答案a5(2011江西)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_解析由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得ab2，cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案题型一求两平面向量的数量积【例1】已知正六边形abcdef的边长为1，则()的值为()a. b. c. d. 答案：d解析：由题图知，与的夹角为120.()cos12012.【变式1】 如图，在菱形abcd中，若ac4，则_.解析，故().而，.所以ca28.答案8题型二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】 在abc中，(，1)，(1，)，则cosb()a. b. c. d. 0答案：a解析：在abc中，(，1)，(1，)，|2，|2，(，1)，cosb，选a.【变式2】 已知a与b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角解设a与ab的夹角为，由|a|b|得|a|2|b|2.又由|b|2|ab|2|a|22ab|b|2.ab|a|2，而|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.cos .0180，30，即a与ab的夹角为30.题型三平面向量的数量积与垂直问题【例3】在abc中，c90，且acbc3，点m满足2，则等于()a. 2b. 3c. 4d. 6答案：b解析：解法1：如图，以c为原点，ca、cb为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则a(3,0)，b(0,3)，设m(x0，y0)，2，(2,1)(0,3)3，故选b.解法2：2，()|2()933()3.【变式3】 已知平面内a，b，c三点在同一条直线上，(2，m)，(n,1)，(5，1)，且，求实数m，n的值解由于a，b，c三点在同一条直线上，则，(7，1m)，(n2,1m)，7(1m)(1m)(n2)0，即mnn5m90，又，2nm0.联立，解得或重难点突破【例4】abc的面积是30，内角a，b，c所对边长分别为a，b，c，cos a.(1)求；(2)若cb1，求a的值 解析 由cos a，得sin a .(2分)又bcsin a30，bc156.(4分)(1)bccos a156144(8分)(2)a2b2c22bccos a(cb)22bc(1cos a)1215625，又a0(10分)a5.(12分)巩固提高1. 已知向量a和b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|ab|()a. b. 2c. d. 4答案：a解析：|ab|2(ab)2|a|2|b|22ab13，故|ab|.2已知a，b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是()a.b.c.d.答案：b解析：(a2b)a，(a2b)aa22ab0，即a22ab.(b2a)b，(b2a)bb22ab0，即b22ab.a2b22ab.cosa，b.又a，b0，a，b.3.已知两个非零向量a与b，定义|ab|a|b|sin，其中为a与b的夹角若a(3,4)，b(0,2)，则|ab|的值为()a. 8b. 6c. 8d. 6答案：d解析：|a|5，|b|2，ab30428，所以cos，又因为0，所以sin.故根据定义可知|ab|a|b|sin526，故选d.4. 已知向量a(2,1)，b(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是_答案：(2，)(，)解析：cos0，则有2m0，m2，又a与b共线时，2m10，m，此时不合题意，m的范围(2，)(，)5.已知向量a，b满足|2ab|，且ab，则|2ab|_.答案：解析