高考数学一轮必备 8.6《空间向量及其运算》考情分析学案(1).doc

8.6空间向量及其运算考情分析1考查空间向量的线性运算及其数量积2利用向量的数量积判断向量的关系与垂直3考查空间向量基本定理及其意义基础知识1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(4)共面向量：平行于同一个平面的向量2空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：ab；ab；a(r)(2)运算律：(1)加法交换律：abba.(3)加法结合律：(ab)ca(bc) (4)数乘分配律：(ab)ab.3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作a，b，则aob叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4基本定理(1)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc.注意事项1.用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题2.(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：abab；空间任意两个向量，共线的充要条件是存在，r使ab.若，不共线，则p，a，b三点共线的充要条件是且1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”3.空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习学生要特别注意共面向量的概念而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习题型一空间向量的线性运算【例1】已知正方体abcda1b1c1d1中，点e为上底面a1c1的中心，若xy，则x、y的值分别为()a. x1，y1b. x1，yc. x，yd. x，y1答案：c解析：如图，(aa)【变式1】 如右图，已知m、n分别为四面体abcd的面bcd与面acd的重心，且g为am上一点，且gmga13.设a，b，c，试用a，b，c表示，.解a(abc)abc，()abc.题型二共线共面定理的应用【例2】如右图，已知平行六面体abcdabcd，e、f、g、h分别是棱ad、dc、cc和ab的中点，求证e、f、g、h四点共面证明取a、b、c，则2ba2a()ba(baca)bc，h与b、c共面即e、f、g、h四点共面 证明e、f、g、h四点共线，只须证明即可，即证、三个向量共面此种方法也是证明直线与平面平行的方法【变式2】 如图在三棱柱abca1b1c1中，d为bc边上的中点，试证a1b平面ac1d.证明设a，c，b，则 ac， ab，bac，2，ab平面ac1d，因此a1b平面ac1d.题型三空间向量数量积的应用【例3】如图，在四面体sabc中，若sabc，sbac，试证scab.证明取a，b，c，由已知sabc，sbac，即得c(ba)0，则scab. 利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已知求证c(ba)0【变式3】 已知如右图所示，平行六面体abcda1b1c1d1的底面abcd是菱形，且c1cdc1cbbcd60.(1)求证：c1cbd；(2)当的值是多少时，能使a1c平面c1bd？请给出证明(1)证明取a，b，c，由已知|a|b|，且a，bb，cc，a60，ab，c(ab)cacb|c|a|c|b|0，即c1cbd.(2)若a1c平面c1bd，则a1cc1d，abc，ac.0，即(abc)(ac)0.整理得：3a2|a|c|2c20，(3|a|2|c|)(|a|c|)0，|a|c|0，即|a|c|.即当1时，a1c平面c1bd.重难点突破【例4】如图，四棱锥sabcd中，abcd，bccd，侧面sab为等边三角形abbc2，cdsd1.(1)证明：sd平面sab；(2)求ab与平面sbc所成的角的正弦值 解析 以c为坐标原点，射线cd为x正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设d(1,0,0)，则a(2,2,0)、b(0,2,0)又设s(x，y，z)，则x0，y0，z0. (1)证明a(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由|得，故x1.由|1得y2z21，又由|2得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故y，z.于是s，0，0，故dsas，dsbs，又asbss，所以sd平面sab.(2)解设平面sbc的法向量a(m，n，p)，则a，a，a0，a0.又，(0,2,0)，故取p2得a(，0,2)又(2,0,0)，cos，a.故ab与平面sbc所成角的正弦值为.巩固提高1. 已知(2,4,5)， (3，x，y)，若，则()a. x6，y15b. x3，yc. x3，y15d. x6，y答案：d解析：，x6，y，选d项2.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()a. 30b. 60c. 120d. 150答案：a解析：设l与所成的角为，cosm，n，sin|cosm，n|.又直线与平面所成角满足090，30.3.已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于a，点e、f分别是bc、ad的中点，则的值为()a. a2b. a2c. a2d. a2答案：c解析：a()()(a2cos60a2cos60)a2.故选c.4. 已知平面内有一个点m(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点p中，在平面内的是()a. p(2,3,3)b. p(2,0,1)c. p(4,4,0)d. p(3，3,4)答案：a解析：由于n(6，3,6)是平面的法向量，所以它应该