广东省河源市高三数学下学期第二次调研试卷 理（含解析）.doc

广东省河源市2015届高三下学 期第二次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）设i为虚数单位，则复数i2015等于（）a1b1cidi2（5分）平面向量=（1，2），=（2，x），若，则x等于（）a4b4c1d23（5分）下列四个函数中，在闭区间上单调递增的函数是（）ay=x2by=2xcy=log2xdy=sin2x4（5分）如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）a8+b8+4c16+d16+45（5分）若实数x，y满足约束条件，则2x+y的取值范围是（）abcd6（5分）如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入a3，a2，a1，a0的值依次是1，3，3，1，则输出v的值为（）a2b2c8d87（5分）从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取5个，组成五位数，则不同的五位数共有（）a50个b60个c100个d120个8（5分）设x是直角坐标平面上的任意点集，定义x*=（1y，x1）|（x，y）x若x*=x，则称点集x“关于运算*对称”给定点集a=（x，y）|x2+y2=1，b=（x，y）|y=x1，c=（x，y）|x1|+|y|=1，其中“关于运算*对称”的点集个数为（）a0b1c2d3二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）不等式|x1|+|x2|5的解集为10（5分）已知随机变量x服从正态分布n（1，2），若p（0x1）=0.3，则p（x2）=11（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于12（5分）设等差数列an的前n项和为sn，已知s3=15，s9=153，则s6=13（5分）已知abc的内角a、b、c所对的边为a、b、c，则“abc2”是“c”的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线c：（t为参数）相交于a、b两点，则|ab|=【几何证明选讲选做题】15如图，ab、ac是o的两条切线，切点分别为b、c若bac=60，bc=6，则o的半径为三、解答题：本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）设函数f（x）=cos（2x+）（其中0，xr）已知（1）求函数f（x）的解析式；（2）若角满足，且0，求角的值17（12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：申请意向年龄摇号竞价（人数）合计电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁）501005020030至50岁（含50岁）5015030050050岁以上10015050300合计2004004001000（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望18（14分）如图，已知三棱锥oabc的三条侧棱oa，ob，oc两两垂直，abc为等边三角形，m为abc内部一点，点p在om的延长线上，且pa=pb（1）证明：oa=ob；（2）证明：平面pab平面poc；（3）若，求二面角poab的余弦值19（14分）设数列an的前n项和为sn，满足sn=an+1n2n+34，nn*，且a1，s2，2a3+4成等比数列（1）求a1、a2、a3的值（2）设bn=，nn*，求数列bn的通项公式（3）证明：对一切正整数n，有+120（14分）已知平面上的动点p与点n（0，1）连线的斜率为k1，线段pn的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2=（m1），动点p的轨迹为c（1）求曲线c的方程；（2）是否存在同时满足一下条件的圆：以曲线c的弦ab为直径；过点n；直径|ab|=|nb|若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由21（14分）已知函数，对任意的x（0，+），满足，其中a，b为常数（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，5），求a的值；（2）已知0a1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围广东省河源市2015届高三下学期第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）设i为虚数单位，则复数i2015等于（）a1b1cidi考点：虚数单位i及其性质 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的周期性及其运算法则即可得出解答：解：i4=1，复数i2015=（i4）503i3=i，故选：d点评：本题考查了复数的周期性及其运算法则，属于基础题2（5分）平面向量=（1，2），=（2，x），若，则x等于（）a4b4c1d2考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量 专题：计算题；平面向量及应用分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可解答：解：平面向量=（1，2），=（2，x），且，1x（2）（2）=0，解得x=4故选：a点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目3（5分）下列四个函数中，在闭区间上单调递增的函数是（）ay=x2by=2xcy=log2xdy=sin2x考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：根据y=x2，y=2x，y=log2x，y=sin2x性质判断即可解答：解：y=x2在单调递减，故a不正确；y=2x在闭区间上单调递增，故b正确；y=log2x在无意义，故c不正确；y=sin2x在单调递减，故d不正确；故选；b点评：本题考查了基本函数的单调性的判断，对于指数，对数，幂函数性质掌握好，属于容易题4（5分）如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（）a8+b8+4c16+d16+4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，结合图中数据求出它的体积即可解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，且下部长方体的长、宽、高分别为4、2、2，上部圆柱体的底面圆半径为1，高为1；该几何体的体积（容积）为v=v长方体+v圆柱体=422+121=16+故选：c点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目5（5分）若实数x，y满足约束条件，则2x+y的取值范围是（）abcd考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点a（0，1）时，直线的截距最小，此时z最小，为z=0+1=1，当直线y=2x+z经过点c时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，即c（2，1），此时z=22+1=5，即1z5，故选：c点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法6（5分）如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入a3，a2，a1，a0的值依次是1，3，3，1，则输出v的值为（）a2b2c8d8考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=1时，不满足条件i0，退出循环，输出v的值为8解答：解：模拟执行程序框图，可得x=3，v=0，i=3满足条件i0，a3=1，v=1，i=2满足条件i0，a2=3，v=0，i=1满足条件i0，a1=3，v=3，i=0满足条件i0，a0=1，v=8，i=1不满足条件i0，退出循环，输出v的值为8故选：d点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的v，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查7（5分）从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取5个，组成五位数，则不同的五位数共有（）a50个b60个c100个d120个考点：排列、组合及简单计数问题 专题：应用题；排列组合分析：分类去1、2、3，利用排列知识，即可得出结论解答：解：分类去1、2、3，可得2，2，3，3，3，有=10个；1，2，3，3，3，有=20个；1，2，2，3，3，有=30个，故共有10+20+30=60个故选：b点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础8（5分）设x是直角坐标平面上的任意点集，定义x*=（1y，x1）|（x，y）x若x*=x，则称点集x“关于运算*对称”给定点集a=（x，y）|x2+y2=1，b=（x，y）|y=x1，c=（x，y）|x1|+|y|=1，其中“关于运算*对称”的点集个数为（）a0b1c2d3考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题；阅读型；集合分析：令1y=x，x1=y，则y=1x，x=1+y，从而由a，b，c分别求出a*，b*，c*，从而依次判断即可解答：解：令1y=x，x1=y，则y=1x，x=1+y，a=（x，y）|x2+y2=1，a*=（x，y）|（1+y）2+（1x）2=1，故aa*；b=（x，y）|y=x1，b*=（x，y）|1x=1+y1，即y=1x，故bb*；c=（x，y）|x1|+|y|=1，c*=（x，y）|1+y1|+|1x|=1，即|y|+|1x|=1，故c=c*；故选：b点评：本题考查了集合的化简与应用，同时考查了学生对新定义的接受与转化能力，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）不等式|x1|+|x2|5的解集为考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：对x分x1，1x2与x2范围的讨论，去掉原不等式左端的绝对值符号，从而易解不等式|x1|+|x2|5的解集解答：解：当x1时，|x1|+|x2|5x+1+2x5，解得：1x1；当1x2时，|x1|+|x2|5x1+2x=15恒成立，1x2；当x2时，|x1|+|x2|5x1+x2=2x35，解得：2x4综上所述，不等式|x1|+|x2|5的解集为故答案为：点评：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题10（5分）已知随机变量x服从正态分布n（1，2），若p（0x1）=0.3，则p（x2）=0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：随机变量服从正态分布n（1，2），得到曲线关于x=1称，根据曲线的对称性得到p（x2）=p（x0）=0.5p（0x1），根据概率的性质得到结果解答：解：随机变量服从正态分布n（1，2），曲线关于x=1对称，p（x2）=p（x0）=0.5p（0x1）=0.2故答案为：0.2点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题11（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线y2=4x，可得准线方程为x=1双曲线（a0，b0）可得两条渐近线方程分别为y=x利用渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，可得=1，即可得出双曲线的离心率解答：解：由抛物线y2=4x，可得准线方程为x=1由双曲线（a0，b0）可得两条渐近线方程分别为y=xx=1时，y=，渐近线与抛物线y2=4x的准线围成的三角形面积为1，=1，=1双曲线的离心率为e=故答案为：点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于基础题12（5分）设等差数列an的前n项和为sn，已知s3=15，s9=153，则s6=66考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：直接由已知结合s3，s6s3，s9s6仍为等差数列列式求得s6的值解答：解：在等差数列an中，由s3，s6s3，s9s6仍为等差数列，得2（s615）=15+（153s6），解得：s6=66故答案为：66点评：本题考查了等差数列的性质，是基础的计算题13（5分）已知abc的内角a、b、c所对的边为a、b、c，则“abc2”是“c”的充分非必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：解三角形；不等式的解法及应用；简易逻辑分析：由充分必要条件的定义和三角形的余弦定理，结合基本不等式，即可得到结论解答：解：由abc2可得a2+b22ab2c2，即有cosc=1，由c为三角形的内角，则有0c；由c，则cosc，由余弦定理可得，（ab）2c2ab，即为c2ab（ab）2，则推不出c2ab0，即有“abc2”是“c”的充分非必要条件故答案为：充分非必要点评：本题考查解三角形的余弦定理，同时考查充分必要条件的判断，属于基础题【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线c：（t为参数）相交于a、b两点，则|ab|=考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线c的参数方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求出结果解答：解：把直线l：（s为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 x+y3=0把曲线c：（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 y=（x3）2把直线方程和曲线c的方程联立方程组解得 ，或故|ab|=，故答案为：点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线和曲线的交点坐标，两点间的距离公式，属于中档题【几何证明选讲选做题】15如图，ab、ac是o的两条切线，切点分别为b、c若bac=60，bc=6，则o的半径为2考点：弦切角 专题：立体几何分析：直接利用切线长定理解得：bd=3，aob=60，进一步利用勾股定理求出od的长，最后求出半径的长解答：解：连接ob，oa交bc于点d，ab、ac是o的两条切线，切点分别为b、c且bac=60，bc=6，则：abo=90，aob=60，且bd=3，设：od=x，则：bo=2x，利用勾股定理得：x2+9=4x2解得：x=所以：圆的半径为2故答案为：2点评：本题考查的知识要点：勾股定理的应用，切线长定理的应用，及相关的运算问题三、解答题：本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）设函数f（x）=cos（2x+）（其中0，xr）已知（1）求函数f（x）的解析式；（2）若角满足，且0，求角的值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）根据函数f（x）的解析式以及f（0）的值，求出的值即可；（2）根据，列出方程，结合的取值范围，求出的值解答：解：（1）函数f（x）=cos（2x+），xr，f（0）=cos=；又0，=，f（x）=cos（2x+）；（2）角满足，sin（+）=cos（2+），cos（+）=cos（2+），即（+）=2+2k，或（+）=2k（2+），kz；又0，=点评：本题考查了三角函数求值问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目17（12分）深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：申请意向年龄摇号竞价（人数）合计电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁）501005020030至50岁（含50岁）5015030050050岁以上10015050300合计2004004001000（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）求出每个人被抽到的概率为p=，按比例求解得出各种意向人数；（2）运用：选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，根据古典概率求解即可（3）在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p=，判断出此问为二项分b（4，），运用几何分布求解即可解答：解：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，从30至50岁的有500人，每个人被抽到的概率为p=，根据题意得出：电动小汽车，摇号的有50=1，非电动小汽车，摇号的有150=3，竞价的有300=6，（2）设电动小汽车，摇号的为a1，非电动小汽车，摇号的为b1，b2，b3；竞价的为：c1，c2，c3，c4，c5，c6，选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，其中恰有2人有竞价申请意向的概率为：p=（3）根据题意得出：样本总人数1000人电动小汽车，摇号的有200人，非电动小汽车，摇号的有400人，竞价的有400，总共有1000人，用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p=，服从二项分布b（4，），摇号申请电动小汽车意向的人数记为=0，1，2，3，4p（=0）=（）0（）4=p（=1）=（）3=p（=2）=（）2（）2=p（=3）=（）3（）=p（=4）=（）4（）0=分布列为： 0 1 2 3 4 pe（）=0+1+2+3+4=点评：本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力18（14分）如图，已知三棱锥oabc的三条侧棱oa，ob，oc两两垂直，abc为等边三角形，m为abc内部一点，点p在om的延长线上，且pa=pb（1）证明：oa=ob；（2）证明：平面pab平面poc；（3）若，求二面角poab的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）利用勾股定理即可；（2）根据题意，通过线面垂直的判定定理及性质定理即可；（3）以oa、ob、oc所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求值即为平面poa的一个法向量与平面oab的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可解答：证明：（1）证明：oa，ob，oc两两垂直，oa2+oc2=ac2，ob2+oc2=bc2，又abc为等边三角形，ac=bc，oa2+oc2=ob2+oc2，oa=ob；（2）证明：oa，ob，oc两两垂直，ocoa，ocob，oaob=o，oa、ob平面oab，oc平面oab，而ab平面oab，aboc，取ab中点d，连结od、pd，由（1）知，oa=ob，abod，由已知pa=pb，abpd，abod，abpd，odpd=d，od、pd平面pod，ab平面pod，而po平面pod，abpo，aboc，abpo，ocpo=o，oc、po平面poc，ab平面poc，又ab平面pab，平面pab平面poc；（3）如图，以oa、ob、oc所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，由（1）同理可证oa=ob=oc，设oa=ob=oc=1，则a（1，0，0），b（0，1，0），c（0，0，0），=（1，0，0），=（1，1，0），设p（x，y，z），其中x0，y0，z0，=（x，y，z），=（x1，y，z），由（2）知，且，解得x=y=1，z=2，即=（1，1，2），设平面poa的法向量为=（x，y，z），又，取z=1，得=（0，2，1），由（2）知，平面oab的一个法向量为=（0，0，1），记二面角poab的平面角为，由图可知为锐角，=，二面角poab的余弦值为点评：本题考查二面角，空间中面与面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题19（14分）设数列an的前n项和为sn，满足sn=an+1n2n+34，nn*，且a1，s2，2a3+4成等比数列（1）求a1、a2、a3的值（2）设bn=，nn*，求数列bn的通项公式（3）证明：对一切正整数n，有+1考点：数列的求和；数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）通过sn=an+1n2n+34，可得s2、s1的值，进而可用a2分别表示出a1、a3，利用a1，s2，2a3+4成等比数列，计算即得结论；（2）通过snsn+1并整理可得bn+1bn=2（n+1），nn*，利用累加法即得结论；（3）通过bn=可得=，分离分母并项相加即可解答：（1）解：sn=an+1n2n+34，nn*，s2=a3222+34=a3264，s1=a1=a2121+34=a2244，a1=a220，a2=s2s1=（a3264）（a2244）=a3a226+24，即a3=2a2+48，又a1，s2，2a3+4成等比数列，（a3264）2=a1（2a3+4），即（2a2+48264）2=（a220），解得a2=24，a1=a220=2420=4，a3=2a2+48=224+48=96；（2）解：sn=an+1n2n+34，sn+1=an+2（n+1）2n+44，两式相减，得an+1=化简得2an+1=an+22（n+2）2n+2，即=2（n+2），nn*，又，=6，=12，=2（n+1），nn*，即bn+1bn=2（n+1），nn*，bnbn1=2n，bn1bn2=2（n1），b3b2=23，b2b1=22，累加得，bn+1b1=2（n+1）+2n+2（n1）+23+22=2=n2+3n，bn+1=n2+3n+2=（n+1）（n+2），b1=2=1（1+1），bn=n（n+1），nn*；（3）证明：bn=n（n+1），nn*，an=n（n+1）2n，=（）=，+=+=11点评：本题考查求数列的通项、及数列和的取值范围，对表达式的灵活变形及利用累加法、并项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题20（14分）已知平面上的动点p与点n（0，1）连线的斜率为k1，线段pn的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2=（m1），动点p的轨迹为c（1）求曲线c的方程；（2）是否存在同时满足一下条件的圆：以曲线c的弦ab为直径；过点n；直径|ab|=|nb|若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设p（x，y），记pn的中点为m，所以m（ ，），求出斜率，利用k1k2=（m1），可得曲线c的方程；（2）若存在以曲线c的弦ab为直径的圆过点n，则有nanb，所以直线na、nb的斜率都存在且不为0，设出方程与曲线联立，求出|na|，|nb|，利用|ab|=|nb|，确定k，m的关系，分类讨论求m的取值范围解答：解：（1）设p（x，y），记pn的中点为m，所以m（，）由题意k1=（x0），k2=（x0），由k1k2=可得：=（x0），化简整理可得：+y2=1（x0），曲线c的方程为+y2=1（x0）（2）由题意n（0，1），若存在以曲线c的弦ab为直径的圆过点n，则有nanb，所以直线na、nb的斜率都存在且不为0，设直线na的斜率为k（不妨设k0），所以直线na的方程为y=kx+1，直线nb的方程为y=x+1，将直线na和曲线c的方程联立，得 ，消y整理可得（1+m2k2）x2+2m2kx=0，解得xa=，所以|na|=|，以替换k，可得|nb|=|=，又因为|ab|=|nb|，即有|na|=|nb|，所以|=，所以k3+m2k=1+m2k2，即（k1）=0，（1）当m=时，（k1）=（k1）3=0，解得k=1；（2）当 1m时，方程k2+（1m2）k+1=0有=（1m2）240，所以方程（