中考数学专题复习 二次函数课件3.ppt

二次函数复习 二次函数知识点 1 二次函数的定义2 二次函数的图像及性质3 求解析式的三种方法4 a b c及相关符号的确定5 抛物线的平移6 二次函数与一元二次方程的关系7 二次函数的应用题8 二次函数的综合运用 1 二次函数的定义 定义 y ax bx c a b c是常数 a 0 定义要点 a 0 最高次数为2 代数式一定是整式练习 1 y x y 2x 2 x y 100 5x y 3x 2x 5 其中是二次函数的有 个 2 当m 时 函数y m 1 2 1是二次函数 3 若是关于x的二次函数 则a 2 2 2 2 二次函数的图像及性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 由a b和c的符号确定 由a b和c的符号确定 a 0 开口向上 a 0 开口向下 在对称轴的左侧 y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧 y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧 y随着x的增大而减小 知识要点分块 一 谁是控制图像的 幕后高手 1 a决定开口方向 a 0 开口 如图1 a 0 开口 如图2 相同 抛物线的形状 越大 开口越 图1 图2 向上 向下 相同 小 2 a b决定对称轴的位置 b 0 对称轴是 如图1 a b同号 对称轴在y轴的 侧 如图2 a b异号 对称轴在y轴的 侧 如图3 y轴 左 右 即 左同右异 3 c决定抛物线与y轴的交点 c 0 抛物线过 如图1 c 0 抛物线交于y轴的 如图2 c 0 抛物线交于y轴的 如图3 原点 正半轴 负半轴 4 与x轴的交点个数 0 抛物线与x轴只有 个交点 如图1 0 抛物线与x轴有 个交点 如图2 0 抛物线与x轴有 个交点 如图3 一 两 0 即没有交点 例1 1 求抛物线开口方向 对称轴和顶点m的坐标 2 设抛物线与y轴交于c点 与x轴交于a b两点 求c a b的坐标 3 x为何值时 y随的增大而减少 x为何值时 y有最大 小 值 这个最大 小 值是多少 4 x为何值时 y0 已知二次函数 0 1 2 0 3 0 1 0 3 2 y x 由图象可知 当x1时 y 0 当 3 x 1时 y 0 4 例1 已知二次函数 2 顶点式 已知抛物线顶点坐标 h k 通常设抛物线解析式为 求出表达式后化为一般形式 3 交点式 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 通常设解析式为 求出表达式后化为一般形式 1 一般式 已知抛物线上的三点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 3 求抛物线解析式的三种方法 练习 根据下列条件 求二次函数的解析式 1 图象经过 0 0 1 2 2 3 三点 2 图象的顶点 2 3 且经过点 3 1 3 图象经过 0 0 12 0 且最高点的纵坐标是3 四 一些常见二次函数图像的解析式1 如图1 若抛物线的顶点是原点 设2 如图2 若抛物线过原点 设3 如图3 若抛物线的顶点在y轴上 设 4 如图4 若抛物线经过y轴上一点 设5 如图5 若抛物线知道顶点坐标 h k 设 例1 已知二次函数y ax2 bx c的最大值是2 图象顶点在直线y x 1上 并且图象经过点 3 6 求a b c 解 二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2又 抛物线的顶点在直线y x 1上 当y 2时 x 1 顶点坐标为 1 2 设二次函数的解析式为y a x 1 2 2又 图象经过点 3 6 6 a 3 1 2 2 a 2 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 2即 y 2x2 4x 例2 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物 如图所示 大门底部宽ab 4m 顶点c离地面高度为4 4m 现有一辆满载货物的汽车欲通过大门 货物顶部距地面2 8m 装货宽度为2 4米 请判断这辆车能够顺利通过大门 请用三种不同的方法解决 x y 2 4 4 2 4 4 y ax 例2 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物 如图所示 大门底部宽ab 4m 顶点c离地面高度为4 4m 现有一辆满载货物的汽车欲通过大门 货物顶部距地面2 8m 装货宽度为2 4米 请判断这辆车能够顺利通过大门 请用三种不同的方法解决 x y 2 0 0 4 4 y ax c 例2 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物 如图所示 大门底部宽ab 4m 顶点c离地面高度为4 4m 现有一辆满载货物的汽车欲通过大门 货物顶部距地面2 8m 装货宽度为2 4米 请判断这辆车能够顺利通过大门 请用三种不同的方法解决 x y 2 4 4 4 0 y ax bx 4 a b c符号的确定 抛物线y ax2 bx c的符号问题 1 a的符号 由抛物线的开口方向确定 开口向上 a 0 开口向下 a 0 2 c的符号 由抛物线与y轴的交点位置确定 交点在x轴上方 c 0 交点在x轴下方 c 0 经过坐标原点 c 0 3 b的符号 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 a b同号 对称轴在y轴右侧 a b异号 对称轴是y轴 b 0 4 b2 4ac的符号 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 b2 4ac 0 与x轴有一个交点 b2 4ac 0 与x轴无交点 b2 4ac 0 5 a b c的符号 因为x 1时 y a b c 所以a b c的符号由x 1时 对应的y值决定 当x 1时 y 0 则a b c 0当x 1时 y0 则a b c 0当x 1 y 0 则a b c 0当x 1 y 0 则a b c 0 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c的符号为 a a0 c 0b a0 c0d a 0 b 0 c 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c的符号为 a a 0 b 0 c 0b a0 c 0c a0 b 0 c 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c 的符号为 a a 0 b 0 c 0 0b a0 c0 b 0 c0d a 0 b 0 c 0 0 b a c o o o 练习 熟练掌握a b c 与抛物线图象的关系 上正 下负 左同 右异 c 4 抛物线y ax2 bx c a 0 的图象经过原点和二 三 四象限 判断a b c的符号情况 a0 b0 c0 5 抛物线y ax2 bx c a 0 的图象经过原点 且它的顶点在第三象限 则a b c满足的条件是 a0 b0 c0 6 二次函数y ax2 bx c中 如果a 0 b 0 c 0 那么这个二次函数图象的顶点必在第象限 先根据题目的要求画出函数的草图 再根据图象以及性质确定结果 数形结合的思想 四 7 已知二次函数的图像如图所示 下列结论 a b c 0 a b c 0 abc 0 b 2a其中正确的结论的个数是 a1个b2个c3个d4个 d x 1 1 0 y 要点 寻求思路时 要着重观察抛物线的开口方向 对称轴 顶点的位置 抛物线与x轴 y轴的交点的位置 注意运用数形结合的思想 5 抛物线的平移 左加右减 上加下减 练习 二次函数y 2x2的图象向平移个单位可得到y 2x2 3的图象 二次函数y 2x2的图象向平移个单位可得到y 2 x 3 2的图象 二次函数y 2x2的图象先向平移个单位 再向平移个单位可得到函数y 2 x 1 2 2的图象 下 3 右 3 左 1 上 2 练习 3 由二次函数y x2的图象经过如何平移可以得到函数y x2 5x 6的图象 y x2 5x 6 6二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程根的情况与b 4ac的关系我们知道 代数式b2 4ac对于方程的根起着关键的作用 二次函数y ax bx c的图象和x轴交点的横坐标 便是对应的一元二次方程ax bx c 0的解 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点有三种情况 1 有两个交点 2 有一个交点 3 没有交点 二次函数与一元二次方程 b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0 若抛物线y ax2 bx c与x轴有交点 则 b2 4ac 0 与x轴有两个不同的交点 x1 0 x2 0 有两个不同的解x x1 x x2 b2 4ac 0 与x轴有唯一个交点 有两个相等的解x1 x2 b2 4ac 0 与x轴没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 例 1 如果关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个相等的实数根 则m 此时抛物线y x2 2x m与x轴有 个交点 2 已知抛物线y x2 8x c的顶点在x轴上 则c 1 1 16 3 一元二次方程3x2 x 10 0的两个根是x1 2 x2 5 3 那么二次函数y 3x2 x 10与x轴的交点坐标是 2 0 5 3 0 1 已知抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 请写出满足此条件的抛物线的解析式 解 抛物线y ax2 bx c与抛物线y x2 3x 7的形状相同 a 1或 1又 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 顶点为 1 5 或 1 5 所以其解析式为 1 y x 1 2 5 2 y x 1 2 5 3 y x 1 2 5 4 y x 1 2 5展开成一般式即可 7二次函数的综合运用 2 若a b c 0 a 0 把抛物线y ax2 bx c向下平移4个单位 再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是 2 0 求原抛物线的解析式 分析 1 由a b c 0可知 原抛物线的图象经过 1 0 2 新抛物线向右平移5个单位 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案 y x2 6x 5 练习1 二次函数的图像如图所示 则下列结论 a 0 c 0 b 4ac 0 其中正确的个数是 a 0个b 1个c 2个d 3个 c 2 把抛物线y x 向左平移1个单位 然后向上平移3个单位 则平移后抛物线的解析式为 a b c d d 3 已知函数的图像如图所示 那么关于x的方程的根的情况是 a 无实数根b 有两个相等实数根c 有两个异号实数根d 有两个同号不等实数根4 在同一坐标系中 函数y mx m和y mx 2x 2 m是常数 且m 0 的图像可能是 y y y d d 5 已知函数y ax bx c的图像如图所示 那么函数的表达式为 a y x 2x 3b y x 2x 3c y x 2x 3d y x 2x 36 抛物线y ax bx c的对称轴为x 2且抛物线上点a 3 8 则抛物线上纵坐标为 8的另一点的坐标为 a 1 8 7 如图所示 某中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱 其解析式为y x 4x 2 此水柱的最大高度是 a 2b 4c 6d 8 已知点 均在抛物线y x 1上 下列说法正确的是 a 若 则b 若 则c 若 则d 若 则 c d 例1 如图 直线y x m和抛物线y x bx c都经过点a 1 0 b 3 2 1 求m的值和抛物线的解析式 2 求不等式x bx c x m的解集 直接写出答案 解 1 直线y x m经过点a 1 0 0 1 m m 1 即m的值为 1 抛物线y x bx c经过点a 1 0 b 3 2 解得 二次函数的解析式为y x 3x 2 2 x 3或x 1 思考题 已知二次函数y x bx 1 1 b 1 在b从 1逐渐变化到1的过程中 它所对应的抛物线位置也随之变动 下列关于抛物线移动方向的描述中 正确的是 a 先往左上方移动 再往左下方移动b 先往左下方移动 再往左上方移动c 先往右上方移动 再往右下方移动d 先往右下方移动 再往右上方移动 c 例1 如图 一次函数y kx b的图像与x轴和y轴分别交于点a 8 0 和点b 0 4 线段ab的垂直平分线交与轴于点c 交ab于点d 1 确定直线ab的解析式 2 求过a b c三点的抛物线解析式 3 抛物线对应的二次函数有最大值还有最小值 此时x等于多少 相应的最大值或最小值是多少 解 1 直线y kx b过点a 8 0 b 0 4 解得 直线ab的解析式为 练习2 已知m n是方程x2 6x 5 0的两个实数根 且m n 抛物线y x2 bx c的图像经过点a m 0 b 0 n 1 求这个抛物线的解析式 2 设 1 中抛物线与x轴的另一交点为c 抛物线的顶点为d 试求出点c d的坐标和三角形bcd的面积 练习2 已知m n是方程x2 6x 5 0的两个实数根 且m n 抛物线y x2 bx c的图像经过点a m 0 b 0 n 1 求这个抛物线的解析式 2 设 1 中抛物线与x轴的另一交点为c 抛物线的顶点为d 试求出点c d的坐标和三角形bcd的面积 例2 如图 隧道的截面由抛物线ade和矩形abcd构成 矩形长bc为8米 宽ab为2米 以bc所在的直线为x轴 线段bc的中垂线为y轴 建立平面直角坐标系 y轴是抛物线的对称轴 顶点e到坐标原点的o的距离为6米 1 求抛物线解析式 2 一辆货运卡车高4 5米 宽2 4米 它能通过该隧道吗 3 如果该隧道内设双行道 为了安全起见 在隧道正中间设有0 4米的隔离带 则该辆货运卡车还能通过隧道吗 建立合适的平面直角坐标系 简化函数解析式 是解题的关键 练习 如图所示是抛物线形状的拱桥 已知水位在ab位置时 水面宽米 水位上升3米就达到警戒线cd 这时水面宽米 若洪水到来时 水位以每小时0 25米的速度上升 求过警戒线后几小时淹到拱桥顶 某企业投资100万元引进一条产品加工生产线 若不计维修 保养费用 预计投产后每年可创利33万 该生产线投产后 从第1年到第x年的维修 保养费用累计为y 万元 且y ax2 bx 若第1年的维修 保养费用为2万元 第2年为6万元 1 求y的解析式 2 投产后 这个企业在第几年就能收回投资 解 1 由题意 x 1时 y 2 x 2时 y 6 分别代入y ax2 bx 得a b 2 4a 2b 6 解得 a 1 b 1 y x2 x 2 设g 33x 100 x2 x 则g x2 32x 100 x 16 2 156 由于当1 x 16时 g随x的增大而增大 故当x 4时 即第4年可收回投资 生活应用 3 抛物线 的对称轴是 顶点坐标是 4 请写出一个二次函数解析式 使其图像的对称轴为x 1 并且开口向下 热身练习 1 函数 当m 时 它是二次函数 当x 时 y有最值 此值是 x 1 1 1 大 1 1 1 1 如图 抛物线y ax2 bx c 请判断下列各式的符号 a0 b0 c0 b2 4ac0 x y o 基础演练 变式1 若抛物线的图象如图 则a 变式2 若抛物线的图象如图 则 abc的面积是 小结 a决定开口方向 c决定与y轴交点位置 b2 4ac决定与x轴交点个数 a b结合决定对称轴 1 下列各图中可能是函数与 的图象的是 小结 双图象的问题 寻找自相矛盾的地方 即由一个图象得出字母的取值范围 再去检验这个字母的符号是否适合另一个图象 思维拓展 2 如下表 a b c满足表格中的条件 那么抛物线的解析式是 思维拓展 提示 仔细观察表中的数据 你能从中看出什么 提示 仔细观察表中的数据 你能从中看出什么 3 二次函数图像如图所示 思维拓展 2 根据图像说明 x为何值时 y 0 3 根据图像说明 x为何值时 y 0 1 求它的解析式 2 x 0或x 4 3 4 x 0 求k的值 所示的直角坐标系中 铅球的运行路线近似为抛物 线 求铅球的落点与丁丁的距离 一个1 5m的小朋友跑到离原点6米的地方 如图 他会受到伤害吗 学以致用 求k的值 参考答案 1 5 所以 这个小朋友不会受到伤害 b 2 当扇形花园半径为多少时 花园面积最大 最大面积是多少