2001年全国高中数学联赛试题讲解.doc

2001年全国高中数学联赛试题讲解 与前三届相同，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，陕西赛区的平均成绩下降了近60分为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行讲解，供参考一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知a为给定的实数，那么集合320，的子集的个数为（）124不确定讲解：M表示方程320在实数范围内的解集由于140，所以含有2个元素故集合有24个子集，选2命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点以上三个命题中正确的有（）0个1个2个3个讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点因此，本题只有命题1正确，选3在四个函数、中，以为周期、在（0，2）上单调递增的偶函数是（）讲解：可考虑用排除法不是周期函数（可通过作图判断），排除；的最小正周期为2，且在（0，2）上是减函数，排除；在（0，2）上是减函数，排除故应选4如果满足60，12，的恰有一个，那么的取值范围是（）801212 012或8讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除、5若（12）1000的展开式为20002000，则3691998的值为（）33333666399932001讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法取（12）（2），则1，10令1，得310002000；令，得01220002000；令，得020004000得310003（1998）19983999，选6已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）2枝玫瑰价格高3枝康乃馨价格高价格相同 不确定讲解：这是一个大小比较问题可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为元、元，则由题设得6324，4522问题转化为在条件、的约束下，比较2与3的大小有以下两种解法：解法1：为了整体地使用条件、，令63，45，联立解得（53）18，（32）923（1112）924，22，111211241222023，选图1解法2：由不等式、及0、0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）令232，则表示直线：232在轴上的截距显然，当过点（3，2）时，2有最小值为0故230，即23，选说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：已知函数（）满足：4（1）1，1（2）5，那么（3）应满足（）7（3）264（3）151（3）20283（3）353（2）如果由条件、先分别求出、的范围，再由2的范围得结论，容易出错上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文1二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7椭圆1（2）的短轴长等于_讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率和焦参数（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长解法1：由（0）1，得23，（）13，13从而3，故223解法2：由12，21及222，得3从而223说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题8若复数、满足2，3，32（32），则_讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，而且也不繁令2（），3（），则由32（32）及复数相等的充要条件，得6（）32，6（）1，即12（）2）（）2）32，12（）2）（）2）1二式相除，得（）2）32由万能公式，得（）1213，（）513故6（）（）（3013）（7213）说明：本题也可以利用复数的几何意义解9正方体1的棱长为1，则直线与的距离是_讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法图2为了保证所作出的表示距离的线段与和都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内为此，作正方体的对角面，则面，且面设0，在面内作，垂足为，则线段的长为异面直线与的距离在中，等于斜边上高的一半，即610不等式（112）232的解集为_讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得122，或27120，或120从而4，或1227，或0111函数的值域为_讲解：先平方去掉根号由题设得（）32，则（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能达到下界0，所以函数的值域为1，32）2，）说明：（1）参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试图312在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有4种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母、按间隔三块、种植植物的种数，分以下三类（1）若、种同一种植物，有4种种法当、种植后，、可从剩余的三种植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法此时共有4333108种方法（2）若、种二种植物，有2种种法当、种好后，若、种同一种，则有3种方法，、各有2种方法；若、或、种同一种，相同（只是次序不同）此时共有3（322）432种方法（3）若、种三种植物，有种种法这时、各有2种种方法此时共有222192种方法根据加法原理，总共有108432192732种栽种方案说明：本题是一个环形排列问题三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13设为等差数列，为等比数列，且，（）又（）1，试求的首项与公差讲解：这是一个有关等差、等比数列的基本问题数列与的前三项满足2（1，2，3），由此可确定数列的首项与公差的关系；由（）1便可求出和的值设的公差为，由，得0由2，得4222（舍去，否则），或2（）2（2），即2240解得（2）若（2），则（1）1，不符合要求若（2），则（1）由（）1，得（1）1，即（1（1）1解得2由及知0，（2）2214设曲线：（）1（为正常数）与2：2（）在轴上方仅有一个公共点（1）求实数的取值范围（用表示）；（2）为原点，若与轴的负半轴交于点，当012时，试求的面积的最大值（用表示）讲解：（1）可将曲线与的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题由（）1，消去，得2（）220问题转化为方程在区间（，）上有惟一解或两个相等的实根设（）22当0，即（1）2时，由，得01这时方程有等根当（）（）0，即时，方程在区间（，）内有一个根（另一根在区间外）当（）0，即时，2由2，得01这时方程在区间（，）内有惟一解；当（）0，即时，2由2，得故综上所述，当01时，（1）2，或；当1时，（2）（，0），（12）当012时，由（1）知由方程得显然，0，从而要使最大，则应最小易知，当时，（）2从而（）2故（）当（1）2时，从而，故（12）下面比较与（12）的大小（）（12）（14）（31）（1）当013时，（12）；当1312时，（12）故（）（12）（013），（1312）说明：本题考查学生思维的严谨性图415用电阻值分别为、（）的电阻组装成一个如图4的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论讲解：设6个电阻的组件（如图5）的总电阻为当（3，4，5，6），、是、的任意排列时，最小用逐步调整法证明如下：图5（1）当、并联时，所得组件阻值满足1（1）（1）若交换、，不变，且当或变小时，也减小，因此不妨取（2）设三个电阻的组件（如图6）的总电阻为，则（）（）（）显然，越大，则越小，所以为使最小，必须取为所取三个电阻中阻值最小的一个图6图7（3）设四个电阻的组件（如图7）的总电阻为，则1（1）（1）（）（）记，2，则、为定值于是（）（）显然，当最小，且最大时，最小故