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第四章 扭 转4.1 概 述工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图4-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用表示（图4-2）。以扭转变形为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。图4-1图4-2本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时也研究开口及闭合薄壁截面轴以及矩形截面等非圆截面轴。作为扭转问题的应用，介绍了圆柱形密圈螺旋弹簧应力及变形的计算。4.2 外力偶矩与扭矩的计算 扭矩图4.2.1 外力偶矩的计算轴扭转时的外力，通常用外力偶矩表示。但工程上许多受扭构件，如传动轴等，往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出轴所传递的功率和转速，这时可用下述方法计算作用于轴上的外力偶矩。设某轴传递的功率为，转速为，单位（每分钟转速），由理论力学可知，该轴的力偶矩为其中，为该轴的角速度若的单位为千瓦，则 若的单位为马力，则 应当指出，外界输入的主动力矩，其方向与轴的转向一致，而阻力矩的方向与轴的转向相反。4.2.2 扭矩和扭矩图作用在轴上的外力偶矩确定之后，即可用截面法研究其内力。现以图4-3所示圆轴为例，假想地将圆轴沿截面分成左、右两部分，保留左部分作为研究对象，图4-3。由于整个轴是平衡的，所以左部分也处于平衡状态，这就要求截面上的内力系必须归结为一个内力偶矩，且由左部分的平衡方程得 图4-3力偶矩称为截面上的扭矩，是左、右两部分在截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。扭矩的符号规定如下：若按右手螺旋法则，把表示为双矢量，当双矢量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负（图4-4）。按照这一符号规定，图4-3中所示扭矩的符号为正。当保留右部分时，图4-3，所得扭矩的大小、符号将与按保留左部分计算结果相同。图4-4若作用于轴上的外力偶多于两个，也与拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，往往用图线来表示各横截面上的扭矩沿轴线变化的情况。图中以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应横截面上的扭矩。这种图线称为扭矩图。图4-3为图4-3所示受扭圆轴的扭矩图。例4-1 传动轴如图4-5所示，主动轮输入功率，从动轮、输出功率分别为，轴的转速为，试画出轴的扭矩图。图4-5解 按公式计算出作用于各轮上的外力偶矩从受力情况看出，轴在、三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在段内，以表示1-1截面上的扭矩，并假设的方向为正向，如图4-5所示。由平衡方程得 等号右边的负号说明，在图4-5中对所假定的方向与1-1截面上的实际扭矩方向相反。在段内，各截面上的扭矩不变，皆为。所以在这一段内扭矩图为一水平线，如图4-5。在段内，由图4-5，得在段内，由图4-5，得根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线变化的情况，用图4-5表示出来，就是扭矩图。从图中看出，最大扭矩发生于段内，且对于同一根轴，若把主动轮安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩是。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显然图4-5所示布局比较合理。图4-64.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切在讨论圆轴扭转的应力和变形之前，为了研究切应力和切应变的规律以及两者之间的关系，先考察薄壁圆筒的扭转。4.3.1 薄壁圆筒扭转时的切应力图4-7图4-7所示为一等厚薄壁圆筒,受扭前在表面上画上等间距的圆周线和纵向线。实验结果表明，扭转变形后由于截面对截面的相对转动，使得圆周线和纵向线所形成的方格的左、右两边发生相对错动，但圆筒轴线及周线的长度都没有变化。于是可设想，薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面只是绕圆筒轴线发生相对转动。因此，圆筒横截面和包含轴的纵向截面上都没有正应力，横截面上各点只有切应力，且切应力的方向必与圆周相切。圆筒两端截面之间相对转动的角度，称为相对扭转角，用俯表示，图4-7，而圆筒表面上每个格子的直角都改变了相同的角度，图4-7、4-7，这种直角的改变量，称为切应变。由相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等的现象，并根据材料是均匀连续的假设，可以推知，沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等，同时，由于筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力不变，图4-7。这样，横截面上内力系组成与外加扭转力偶矩相平衡的内力系。由截面以左的部分圆筒的平衡方程，得 这里是圆筒的平均半径。式是基于前面的假设而得到的近似公式，可以证明，当时，该公式足够精确，其误差不超过5%。4.3.2 切应力互等定律用相邻的两个横截面和相邻的两个纵向平面，从薄壁圆筒中取出一个单元体，它在三个方向的尺寸分别为、和，将其放大为图4-7。单元体的左右两侧面是薄壁圆筒横截面的一部分，所以在这两个侧面上，没有正应力，只有切应力。这两个面上的切应力皆由式计算，数值相等，但方向相反，其力偶矩为。因为单元体是平衡的，由知，它的上、下两个侧面上存在大小相等、方向相反的切应力，于是又组成力偶矩为的力偶与上述力偶平衡。这样，由单元体的平衡条件，得由此求得 式表明，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。4.3.3 切应变、剪切虎克定律在上述单元体的上下左右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种情况称为纯剪切。纯剪切常用图4-8所示的平面图形表示。薄壁圆筒扭转时，筒壁各处都处于纯剪切。图4-8在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图4-7，原来相互垂直的两个棱边的夹角，改变了一个微量，这就是切应变。由图4-7可以看出，若为薄壁圆筒两端截面的相对转角，为圆筒的长度，则切应变应为 式中为薄壁圆筒的平均半径。利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，扭转角与扭转力偶矩成正比。由式和式可以看出, 与只相差一个比例常数，而与也只差一个比例常数。所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比（图4-9）。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成 式中为比例常数，称为材料的切变模量。因为没有量纲，所以的量纲与的量纲相同，常用单位是。钢的值约为80。图4-9在讨论拉伸和压缩时，曾引进材料的两个弹性常数：弹性模量和泊松比。现在又引进一个新的弹性常数：切变模量。对各向同性材料，可以证明，三个弹性常数、之间存在下列关系 可见，三个弹性常数中只要知道任意两个，另一个就可确定，即三个弹性常数中只有两个是独立的。4.4 圆轴扭转时的应力现在讨论横截面为圆形的直杆受扭时的应力。这要综合研究几何、物理和静力等三方面的关系。4.4.1 变形几何关系为了观察圆轴的扭转变形，与薄壁圆筒受扭一样，在圆轴表面上做圆周线和纵向线（在图4-10中，变形前的纵向线由虚线表示）。在扭转力偶矩作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象。即：各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周线间的距离不变。在小变形的情况下，纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格，变形后错动成菱形。图4-10根据观察到的现象，做下述基本假设：圆轴扭转变形前原为平面的截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设，扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。以平面假设为基础导出的应力和变形计算公式，符合试验结果，且与弹性力学一致，这都足以说明假设是正确的。在图4-10中，表示圆轴两端截面的相对转角，称为扭转角。扭转角用弧度来度量。用相邻的横截面和从轴中取出长为的微段，并放大为图4-10。若截面和的相对转角为，则根据平面假设，横截面像刚性平面一样，相对于绕轴线旋转了一个角度，半径转到了。于是，表面方格的边相对于边发生了微小的错动，错动的距离是因而引起原为直角的角度发生改变，改变量为 这就是圆截面边缘上点的切应变。显然，发生在垂直于半径的平面内。根据变形后横截面仍为平面，半径仍为直线的假设，用相同的方法，并参考图4-10，可以求得距圆心为处的切应变为 与式中的一样，也发生在与垂直与半径的平面内。在、两式中，是扭转角沿轴的变化率。对一个给定的截面来说，它是常量。故式表明，横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离成正比。4.4.2 物理关系以表示横截面上距圆心为处的切应力，由剪切虎克定律知， 以式代入上式， 这表明，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成正比。因为发生在垂直于半径的平面内，所以也与半径垂直，如再注意到切应力互等定理，则在纵向截面和横截面上，沿半径切应力的分布如图4-11所示。图4-11因为公式中的尚未求出，所以仍不能用它计算切应力，这就要用静力关系来解决。4.4.3 静力关系图4-12于横截面内，按极坐标取微面积（图4-12）。上的微内力，对圆心的力矩为。积分得横截面上内力系对圆心的力矩为。可见，这里求出的内力系对圆心的力矩就是截面上的扭矩，即 以式代入式，并注意到在给定的截面上，为常量，于是有 以表示上式中的积分，即 称为横截面对圆心点的极惯性矩。这样，式便可写成 从公式和中消去，得 由以上公式，可以算出横截面上距圆心为的任意点的切应力。在圆截面边缘上，为最大值，得最大切应力为 引用记号 称为抗扭截面系数，便可把公式写成 以上诸式是以平面假设为基础导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的，所以这些公式只适用于等直圆杆。对圆截面沿轴线变化缓慢的小锥度锥形杆，也可近似地用这些公式计算。此外，导出以上诸式时使用了虎克定律，因而只适用于低于剪切比例极限的情况。导出公式和时，引进了截面极惯性矩和抗扭截面系数，现在就来计算这两个量。在实心轴的情况下（图4-12），以代入式 式中为圆截面的直径。再由式求出 在空心圆轴的情况下（图4-13），由于截面的空心部分没有内力，所以式和式的定积分也不应包括空心部分，于是图4-13 式中和分别为空心圆截面的外径和内径，为外半径，。例4-2 一钢制阶梯状圆轴如图4-14所示，已知，试计算其最大切应力。图4-14解 (1)作扭矩图用截面法求出及段横截面上的扭矩分别为扭矩图如图4-14所示。（2）求最大切应力由图4-14，可见最大扭矩发生在段，但段横截面直径大，因此，为求最大切应力需分别计算段及段横截面上最大切应力，并进行比较。可见，最大切应力发生在段轴的外表面上，其值为。4.5 圆轴扭转时的变形扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。由公式，得表示相距为的两个横截面之间的相对扭转角，图4-10。沿轴线积分，即可求得距离为的两个横截面之间的相对扭转角为 若在两截面之间的值不变，且轴为等直杆，则式中为常量。例如只在等直圆轴的两端作用扭转力偶时，就是这种情况。这时式转化为 上式表明，越大，则扭转角越小，故称为圆轴的抗扭刚度。有时，轴在各段内的并不相同，例如例4-1中的情况；或者各段内不同，例如阶梯轴。这就应该分段计算各段的扭转角，然后按代数相加，得两端截面的相对扭转角为 轴类零件除应满足强度要求外，一般还不应有过大的扭转变形。例如，若车床丝杆扭转角过大，会影响车刀进给，降低加工精度；发动机的凸轮轴扭转角过大，会影响气阀开关时间；镗床的主轴或磨床的传动轴如扭转角过大，将引起扭转振动，影响工件的精度和光洁度，所以，要限制某些轴的扭转变形。由公式表示的扭转角与轴的长度有关，为消除长度的影响，用对的变化率来表示扭转变形的程度。今后用表示变化率，由公式得出 的变化率是相距为1单位长度的两截面的相对扭转角，称为单位长度扭转角，单位为。若在轴长为的范围内为常量，且圆轴的截面不变，则为常量，由式和式得 最后，讨论一下空心轴的问题。根据分析可知：若把轴心附近的材料移向边缘，得到空心轴，它可在保持重量不变的情况下，取得较大的，亦即取得较大的刚度。因此，若保持不变，则空心轴比实心轴可少用材料，重量也就较轻。所以，飞机、轮船、汽车的某些轴常采用空心轴，以减轻重量。车床主轴采用空心轴既提高了强度和刚度，又便于加工长工件。当然，如将直径较小的长轴加工成空心轴，则因工艺复杂，反而增加成本，并不经济，例如车床的光杆一般采用实心轴。此外，空心轴体积较大，在机器中要占用较大空间，而且如轴壁太薄，还会因扭转而不能保持稳定性。例4-3 两端固定的圆轴，在处受外力偶矩作用，如图4-15所示。试求两固定端处的支反力偶矩，并绘轴的扭矩图。图4-15解 解除、两端的约束，代以支反力偶矩及。轴只能列出一个独立的平衡方程，而未知的支反力偶矩有两个，因此是一次静不定问题。静力关系 由，得 几何关系 因为两端均为固定端，所以截面相对截面的扭转角，即 物理关系， 将式代入式，得补充方程 联立求解式、式得，扭矩图如图4-15所示。4.6 圆轴扭转时的强度和刚度计算4.6.1 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时横截面上的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 式称为圆轴扭转时的强度条件。对于等截面圆轴，从轴的受力情况或由扭矩图可以确定最大扭矩，最大切应力发生于所在截面的边缘上。因而强度条件可改写为 对变截面杆，如阶梯轴、圆锥形杆等，不是常量，并不一定发生在扭矩为极值的截面上，这要综合考虑扭矩和抗扭截面系数两者的变化情况来确定。在静载荷情况下，扭转许用切应力与许用拉应力之间有如下关系：钢 铸铁 轴类零件由于考虑到动载荷等原因，所取许用切应力一般比静载荷的许用切应力还要低。 例4-4 由无缝钢管制成的汽车传动轴（图4-16），外径，壁厚，材料为。使用时的最大扭矩为。如材料的许用切应力，试校核轴的强度。图4-16解 由轴的几何尺寸计算其抗扭截面系数轴的最大切应力为所以轴满足强度条件。 例4-5 如把例4-4中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同。试确定其直径，并比较空心轴和实心轴的重量。解 因为要求与例4-4中的空心轴强度相同，故实心轴的最大切应力也应为，若设实心轴的直径为，则实心圆轴横截面面积为空心圆轴横截面面积为在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。而可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%，其减轻重量节约材料的效果是非常明显的。这是因为横截面上的切应力沿半径按线性规律分布，圆心附近的应力很小，材料没有充分发挥作用。若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大和，从而提高了轴的强度。4.6.2 圆轴扭转时的刚度条件用表示单位长度扭转角，有为保证轴的刚度，通常规定单位长度扭转角的最大值不得超过许用单位长度扭转角，即 式称为圆轴扭转时的刚度条件。式中的单位为。工程中，的单位习惯上用给出。为此将式改写为 的数值可由有关手册查出。下面给出几个参考数据：精密机器的轴 一般传动轴 精度要求不高的轴 例4-6 图4-17为某组合机床主轴箱内第4轴的示意图。轴上有、三个齿轮，动力由5轴经齿轮输送到4轴，再由齿轮和带动1、2和3轴。1和2轴同时钻孔，共消耗功率；3轴扩孔，消耗功率。若4轴的转速为，材料为，。取，试设计轴的直径。图4-17解 为了分析4轴的受力情况，先由公式计算作用于齿轮和上外力偶矩和同为阻抗力偶矩，故转向相同。若5轴经齿轮传给4轴的主动力偶矩为，则的转向应该与阻抗力偶矩的转向相反，图4-17。于是由平衡方程，得根据作用于4轴上的、的数值，做扭矩图如图4-17所示。从扭矩图看出，在齿轮和之间，轴的任一横截面上的扭矩皆为最大值，且由强度条件得其次，由刚度条件得根据以上计算，为了同时满足强度和刚度要求，选定轴的直径。可见，刚度条件是4轴的控制因素。由于刚度是大多数机床的主要矛盾，所以用刚度作为控制因素的轴是相当普遍的。例4-7 设有、两个凸缘的圆轴如图4-18所示。在扭转力偶矩作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除，图4-18。设轴和筒的抗扭刚度分别为和，试求轴内和筒内的扭矩。解 由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭转力偶矩解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复，这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩和。假想把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩，平衡方程是 仅由式不能解出两个扭矩，所以这是一个静不定问题，应再寻求一个补充方程。图4-18焊接前轴在作用下扭转角为 这就是图4-18所示的凸缘的水平直径相对于转过的角度。在筒与轴相焊接并解除后，因受筒的阻抗，轴的上述变形不能完全恢复，最后协调的位置为。这时圆轴余留的扭转角为，而圆筒的扭转角为。显然 利用虎克定律，由式得 从式、式可以解出4.7 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算圆柱形螺旋弹簧是工程中常见的零件，车辆中的缓冲减振弹簧，控制内燃机气门启闭的弹簧，以及许多弹簧秤中的弹簧等，常常都做成圆柱形螺旋弹簧的形式。图4-19为圆柱形螺旋弹簧示意图。图4-19中，表示弹簧丝直径，表示弹簧圈直径，即簧丝轴线的投影直径；为螺旋升角，为节距。当升角很小，例如时，可以不计升角的影响，这样的圆柱形螺旋弹簧称为圆柱形密圈螺旋弹簧。此外，当簧丝直径远小于簧圈直径时，还可以略去簧丝曲率的影响，近似地用直杆公式计算。4.7.1 应力计算作用于弹簧上的力是通过簧丝传递的，对于圆柱形密圈螺旋弹簧可以认为，簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内，即压力与簧丝横截面在同一平面内。用横截面将簧丝假想地截开，保留下面部分，图4-19，簧丝的横截面上作用有通过截面形心的剪力及扭矩，由平衡条件，得图4-19假设剪力引起的切应力在簧丝横截面上均匀分布，图4-19，则由扭矩引起的切应力，若不计簧圈曲率的影响，仍可按等直圆轴的切应力公式进行计算，图4-19，其最大值为在簧丝横截面上，任意点处的总应力是剪切和扭转两种切应力的矢量和。危险点发生在和方向相同的簧丝内侧点处，图4-19、，其总应力值为当，例如时，与1相比可以忽略，这时相当于只考虑簧丝的扭转，上式化为 如果并非很小，即簧丝曲率较大时，自然会引起较大误差。此外，认为剪切引起的切应力均匀分布于截面上，也是一个假定计算。在考虑了簧丝曲率和并非均匀分布等两个因素后，求得计算最大切应力的修正公式如下 式中:；。称为弹簧指数，为对公式的修正系数，称为曲度系数。根据上式算出的值列于表4-1。从表4-1可见，越小，则越大。当时，。这说明如仍按式计算应力，其误差将高达40%。簧丝的强度条件为 式中的是按公式或式计算的，是材料的许用切应力。弹簧材料一般是弹簧钢，其许用切应力的数值颇高。4.7.2 变形计算圆柱形螺旋弹簧的变形计算，指的是计算在轴向压力（或拉力）作用下，弹簧在轴线方向所产生的总缩短量（或伸长量），参看图4-20。对于圆柱形密圈螺旋弹簧来说，可以只考虑扭矩对弹簧变形的影响，而不计剪力对弹簧变形的影响。图4-20为了研究弹簧的变形，假想地截取一弧长为的微段簧丝，如图4-20所示。当弹簧受力压缩（或拉伸）后，由前面分析知道，该微段簧丝的两端主要承受扭矩的作用，如图4-20所示。设该段簧丝的轴线为，弹簧半径。由与扭转变形，两个端面将发生相对转动，截面对于截面扭转了一个相对角度，于是簧圈半径相对于也转过了同样的角。这样，点下移至点。就是因该微段的变形而引起整个弹簧的轴向位移，用表示。在小变形下，其值为因为很小，所以 因而 由式可以求得代入式，得 因此，整个弹簧的缩短（或伸长）为因为簧丝的总长度，其中代表弹簧的有效圈数，所以 式即为弹簧的轴向变形计算公式，式中为材料的切变模量。引用记号 式可改写成 越大则越小，所以代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。从式可以看出，与成反比，如希望弹簧有较好的减振和缓冲作用，即要求有较大的变形时，应使簧丝直径尽可能小一些。但由式可见，相应的的数值也相应增大，这就要求弹簧材料有较高的。此外，由式，增加圈数或加大簧圈直径也可以增大变形。例4-8 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径，簧丝直径，有效圈数。材料的，。弹簧工作时总压缩变形（包括预压变形）为，试校核弹簧的强度。解 由公式求出弹簧所受压力为由及求出 由表4-1查出弹簧的曲度系数，故由式得弹簧满足强度要求。4.8 非圆截面杆的扭转以前各节讨论了圆形截面杆的扭转，但有些受扭杆件的横截面并非圆形。例如农业机械中有时采用方轴作为传动轴，又如曲轴的曲柄承受扭转，其横截面是矩形的。取一横截面为矩形的杆，在其侧面上画上纵向线和横向周界线，图4-21，扭转变形后发现横向周界线已变为空间曲线，图4-21。这表明变形后杆的横截面已不再保持为平面，这种现象称为翘曲。所以，平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。图4-21非圆截面杆件的扭转可分为自由扭转和约束扭转。等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的情况，属于自由扭转。这种情况下杆件各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，故横截面上没有正应力而只有切应力。图4-22即表示工字钢的自由扭转。若由于约束条件和受力条件的限制，造成杆件各横截面的翘曲程度不同，这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变，于是横截面上除切应力外还有正应力，这种情况称为约束扭转。图4-22即为工字钢约束扭转的示意图。图4-22像工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转时横截面上的正应力往往是相当大的。但一些实体杆件，如截面为矩形或椭圆形的杆件，因约束扭转而引起的正应力很小，与自由扭转并无太大差别。图4-23可以证明，杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。因为，边缘各点的切应力如不与边界相切，总可分解为边界切线方向的分量和法线方向的分量，图4-23。根据切应力互等定理，应与杆件自由表面上的切应力相等。但在自由表面上不可能有切应力，即。这样，在边缘各点上，就只可能有沿边界切线方向的切应力。在横截面的凸角处，图4-24，如果有切应力，当然可以把它分解成分别沿边和边法线的分量和，按照上面的证明，和皆应等于零，故截面凸角处的切应力等于零。图4-24矩形截面杆扭转时的应力及变形分析，已超出了材料力学的课程范围，这里不加推导地直接引用弹性力学的主要结果。图4-25表示用弹性力学方法求得的矩形截面杆自由扭转时横截面上切应力的分布情况。最大切应力发生在矩形的长边中点处，短边中点的切应力为，、和扭转角的计算公式为 式中，也称为抗扭截面系数，则称为截面的相当极惯性矩，而仍称为杆的抗扭刚度。这里的和除了在量纲上与圆截面的和相同外，在几何意义上截然不同。图4-25矩形截面的和与截面尺寸的关系如下式中，、是与横截面的高度和宽度的比值有关的系数，可由表4-2查得。由图4-25可见，横截面边缘各点的切应力与边缘线相切，四个角点处的切应力皆为零。这一结果用切应力互等定理很容易得到证明，建议读者自行证明之。图4-26当时，截面将成为狭长矩形，从表4-2可见，这时。用表示狭长矩形短边的长度，式、式可转化为 式及式为狭长矩形截面杆受扭转时横截面上最大切应力及扭转角的计算公式。图4-26给出了狭长矩形边缘线上切应力的分布情况，由图可见，狭长矩形长边上的切应力变化已趋于平缓，除两端外，大部分点的切应力均与相等。例4-9 矩形截面直杆受纯扭转如图4-27所示。已知杆长，横截面高度，宽度，所受扭矩，材料的切变模量，试求横截面上最大切应力及截面边缘线上短边中点的切应力和扭转角。图4-27解 截面的高宽比为由表4-2查得 ，长边中点的切应力按式计算由式得短边中点的切应力为按式求得扭转角为4.9 闭合和开口薄壁截面杆的扭转为减轻重量，在工程结构中，特别是在航空与航天结构中，广泛采用薄壁杆件，图4-28。薄壁杆件横截面的壁厚平分线，称为截面中心线。截面中心线为封闭曲线的薄壁杆，称为闭合薄壁杆，如图4-28；截面中心线为封闭曲线的薄壁杆，称为开口薄壁杆，如图4-28。本节来讨论一下闭合和开口薄壁杆自由扭转时的应力。图4-284.9.1 闭合薄壁杆的扭转设一横截面为任意形状的、变厚度的闭合薄壁截面等直杆，在两自由端承受一队扭转外力偶作用，如图4-29。由于杆横截面上的内力为扭矩，因此，其横截面上将只有切应力，又因为是闭合薄壁截面，故可假设扭转切应力沿壁厚均匀分布。此外，如果杆表面无轴向剪切载荷，则横截面边缘各点处的切应力都与截面边界相切。因此，对于闭合薄壁杆的扭转切应力可作如下假定：横截面上各点处的扭转切应力，沿壁厚均匀分布，其方向则与截面边界或截面中心线相切。根据以上假设，并利用静力学条件，即可确定薄壁杆件自由扭转时横截面上切应力沿截面中心线的变化规律。图4-29首先，用相距的两个截面以及垂直于截面中心线的两个纵向截面，从薄壁杆中切取一单元体，图4-29。设中心线上点处的壁厚为，切应力为，点处的壁厚为，切应力为，则根据切应力互等定理可知，纵向截面与上的切应力也分别等于与。由单元体的轴向平衡方程，得在以上分析中，和点是任意选取的，可见 乘积称为剪流，代表截面中心线单位长度上的剪力。由此可见，当闭合薄壁杆扭转时，截面中心线上各点处的剪流数值相同。为找出横截面上的切应力与扭矩之间的关系，沿壁厚中线取出长为的一段，图4-29。在微面积上，作用有微剪力，它对横截面内任一点的力矩为式中，为矩心到中心线切线的垂直距离。显然，如果横截面上扭矩为，则由图4-29可知，是图中阴影小线三角形面积的2倍，因此，积分数值上等于截面中心线所围面积的2倍，图4-29。于是，由上式可得 这就是闭合薄壁截面等直杆在自由扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式。式中的扭矩可用截面法从外力偶矩求得。由式可知，壁厚最薄处横截面上的切应力必为最大，于是，从公式可求得杆横截面上的最大切应力为 式中，为薄壁截面的最小壁厚。 例4-10 一环形截面杆和一正方的箱形截面杆，图4-30、，两杆的材料相同，长度、壁厚和横截面面积均相同。若作用在两杆杆端的扭转力偶也相同，试求两杆切应力的比值。图4-30解 由公式可见，这类截面的切应力与壁厚中线所围成的面积有关。现将环形和箱形截面的面积分别用和表示，它们的壁厚中线围成的面积分别用和表示。为了找到与的关系，先从与相等这一条件找出与之间的关系，图4-30、因为，所以从而有 再将和均用表示由此得 从公式可得环形截面与箱形截面上的切应力、之比为 这里利用了两杆的扭矩和壁厚分别相等的条件及式所示的关系。4.9.2 开口薄壁杆的扭转对某些开口薄壁截面杆，例如各种轧制型钢，其截面可以看成是由若干狭长的矩形所组成的组合截面，如图4-31。根据杆在扭转时横截面的变形情况，可为这种组合截面杆在自由扭转时的应力和变形做出如下假设：杆扭转后，横截面周线虽然在杆表面上变成曲线，但在其变形前的平面上的投影形图4-31状仍保持不变，亦即就横截面的投影来说，它在杆扭转时将做刚性转动。当开口薄壁杆沿杆长每隔一定距离有加劲板时，上述假设基本上和实际变形情况符合。由此假设得知，在杆扭转后，组合截面的各组成部分所转动的单位长度扭转角度与整个截面的单位长度扭转角相同，于是，有变形相容条件 式中，代表组合截面中每一组成部分的单位长度扭转角。由公式，可得补充方程 式中，和分别代表组合截面中每一组成部分的相当极惯性矩和其上的扭矩，而和则分别代表整个组合截面的上述有关值。再由合力矩和分力矩的静力关系，可得 联立式和，消去、后，即得整个截面的相当极惯性矩为 对于开口薄壁截面，当其每一组成部分的狭长矩形宽度与高度之比很小时，系数，于是式可改写为 为了求得整个截面上的最大切应力，须先研究其每一组成部分上的最大切应力。由公式，得利用式，可得 由式可见，组合截面上的最大切应力将发生在厚度为的那个组成部分的长边处，其值为 式中，为组合截面的所有组成部分中厚度的最大值。在计算用型钢制成的等直杆的扭转变形时，由于实际型钢截面的翼缘部分是变厚度的，且在联结处有过渡圆角，这就增加了杆的刚度，故应对表达式作如下修正，并将修正后的改写为 式中，为修正系数，可以通过查取相关手册获得，下面给出几个参考数据。角钢截面 槽钢截面 形钢截面 工字钢截面 例4-11 一钢制环形截面薄壁杆件沿纵向切开一缝，其横截面如图4-32所示。杆在两端受一对矩为的扭转力偶作用。已知环形的平均直径，壁厚；钢的剪切模量。试计算杆横截面上最大切应力。若此杆无纵向切缝，再作应力计算，并比较两种情况下的结果。图4-32解 先计算杆有纵向切缝的情况。此时杆已成为一开口环形薄壁截面杆。在计算其横截面上最大切应力以及横截面的时，可将它展开为一狭长矩形截面来处理。由截面法可知根据式可得对于没有纵向切缝的情况，其横截面为环形截面，图4-32。此时可由式计算其切应力与前面的结果比较可知，环形截面杆若沿其纵向有一切缝，则应力的数值将大大增加。在本例中，切应力因有纵向切缝增大了300倍。两种情况下切应力沿壁厚的变化规律和指向也各不相同，分别表示于图4-32、中。由此例可见，环形截面杆受扭时，一旦出现纵向贯穿壁厚的裂纹，杆就丧失了其原有的承载能力而导致骤然的破坏。习 题 4-1 试作图示各杆的扭矩图（图中数字的单位均为，的单位为）。题4-1图 4-2 空心圆轴外径，内径，扭矩，。试做出横截面上的切应力分布图，并求出最大切应力和单位长度扭角。 4-3 实心圆轴的直径，扭矩，。试求处的切应力和切应变，并求最大切应力