2010水木艾迪高数强化班讲义-10.pdf

谭泽光 1 第 10 讲 曲线积分与曲面积分 第 10 讲 曲线积分与曲面积分 一 考纲要求 一 考纲要求 考试内容考试内容 1 两类曲线积分的概念 性质及计算 两类曲线积分的关系 格林 Green 公式 2 平面曲线积分与路径无关的条件 已知全微分求原函数 3 两类曲面积分的概念 性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯 Gauss 公式 斯托克斯 Stoke 公式 4 散度 旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用 考试要求考试要求 1 理解两类曲线积分的概念 了解两类曲线积分的性质及两类曲线积 分的关系 2 掌握计算两类曲线积分的方法 3 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件 会求全微 分的原函数 4 了解两类曲面积分的概念 性质及两类曲面积分的关系 掌握计算 两类曲面积分的方法 5 用高斯公式 斯托克斯公式计算曲面 曲线积分 6 了解散度与旋度的概念 并会计算 二 内容提要 二 内容提要 1 第一 第二类曲线的定义 背景与性质 1 第一 第二类曲线的定义 背景与性质 第一类曲线积分 设弧段 AB 记作L 是 3 R中的一条逐段光滑 的曲线 函数 zyxf定义在L上 把L任意地分成n个子弧段 1ii P P 2 1ni BPAP n 0 每一段子弧段的弧长分别 为 i l 在每一子弧段上分别任取一点 iiii Q 作 Riemann 和 n i iiii lf 1 记 n lll max 21 如果当0 时 上述 Riemann 和的极限存在 且该极限值与子弧段的分法和点的 谭泽光 2 取法无关 则称该极限为函数 zyxf在曲线 AB L 上的第一 类曲线积分 记作 0 1 lim n iiii ABL i f x y z dlf x y z dlfl zyxf为被积函数 AB L 为积分路径 dl为弧微分 0 dl 第二类曲线积分 向量函数 F x y zX x y z Y x y z Z x y z 定义在空间区域 3 R 中的一条逐段光滑的有向弧段 AB 记作L 上 L的方程为 rr tx ty tz t 把有向弧段 AB从A 到B任意地分成n个子有向弧段 1ii P P 2 1ni BPAP n 0 记 1 iiiiii lP Pxyz 在每一段子有向 弧段上分别任取一点 iiii Q 参数为 i t 作 Riemann 和 1 F n iiii i l 再记 12 max n lll 如果当0 时 上述 Riemann 和的极限存在 且该极限值与子弧段 的分法和点的取法无关 则称该极限为函数F x y z 在有向曲线 AB L 上从A到B的第二类曲线积分 记作 F BB L AL A x y zdlX x y z dxY x y z dyZ x y z dz 0 1 lim n iiiiiiiiiiii i XxYyZz 函数F x y z 为被积函数 有向曲线 AB L 为有向积分路径 dl 为有向弧微分 在空间 dldx dy dz 在平面上 dldx dy 谭泽光 3 2 两类曲线积分之间的关系 2 两类曲线积分之间的关系 L X x y z Y x y z Z x y zdl 0 L X x y z Y x y z Z x y zdl 3 第二类曲线的几种表达式 3 第二类曲线的几种表达式 L X x y z dxY x y z dyZ x y z dz L X x y z Y x y z Z x y zdl 0 L X x y z Y x y z Z x y zdl 4 第一类曲线积分的计算 4 第一类曲线积分的计算 设曲线L的参数方程为 t tzz tyy txx 又设 zyxf在曲线 L上连续 则弧长微分 dttztytxdl 222 第一类曲线积分可按下式计算 dttztytxtztytxfdlzyxf L 222 平面曲线积分计算 弧长微分的三种表式 L yy x 时 dxydl x 2 1 xx t L yy t 时 dttytxdl 22 L 时 ddl 22 5 第二类曲线积分的计算 5 第二类曲线积分的计算 若L的方程为 Trr tx ty tz t 起始点A与终止点B对 应的参数分别为 t与 t 弧微分向量d ldxidy jdz j 向量值函数 F x y zX x y z iY x y z jZ x y z j 谭泽光 4 在区域 L内连续 则第二类曲线积分 AB B LL A F d lX x y z dxY x y z dyZ x y z dz X x ty tz t x tY x ty tz ty t Z x ty tz t z tdt 特别在 X Y 平面上 有以下四种不同的计算模式 B AL dyyxYdxyxX dttytytxYtxtytxX Green 公式可用于平面第二类曲线积分的计算 Stokes 公式可用于空间第二类曲线积分的计算 6 Green 公式 平面曲线积分与路径无关问题 6 Green 公式 平面曲线积分与路径无关问题 Green 公式Green 公式 设D为平面上的有界闭区域 记D 为D的有向边界 其正方向的定义为 沿D 的正方向走 D区域在其左边 向量值函数 F x yX x y iY x y j 是 1 C类函数 d ldxidy j 则 DDD YX F dlXdxYdydxdy xx 平面曲线积分与路径无关问题 平面曲线积分与路径无关问题 AB L XdxYdy LD 曲线积分与路迳无关 0 C CD XdxYdy 1 单值原函数 x y 2 单值势函数 x y dXdxYdy X iY j xy XY 可积性条件 XY yx XX xy T YY xx JJ D 单连通D 单连通 谭泽光 5 原函数 全微分与全微分方程 原函数 全微分与全微分方程 若存在函数 yxu使得dyyxYdxyxXdu 函数 yxu称为微分式dyyxYdxyxX 的原函数 微分式dyyxYdxyxX 存在原函数 则微分 dyyxYdxyxX 是原函数的全微分 若dyyxYdxyxX 为全微分 微分方程 0 dyyxYdxyxX称为全微分方程 其解为Cyxu yxu称为微分式dyyxYdxyxX 的一个原函数 7 第二类曲线积分的四种计算方法 7 第二类曲线积分的四种计算方法 第一 定义法 化成定积分 第二 化成第一类曲线积分 0 BB L AL A F x yd lFdl 第三 Green 法 化成二重积分 第四 原函数法 求全微分 三 三 典型例题典型例题 1 曲线积分计算 曲线积分计算 例1 例1 设L为曲线 22 2xyx 则 L dlx2 解 1 解 1 1 cos 02 sin xt Lt yt 22 dldxdydt 2 L x dl 2 0 1 costdt 2 0 2sin 2 t dt 0 2 2sin4 2udu 解 2 解 2 2 2 02L yxxx 2 1 2 dx dlydx xx 谭泽光 6 2 L x dl 12 22 LL x dlx dl 22 00 2224 2 2 dxdx x xxx 例2 例2 求 L ydl L ydx 其中L是正方形 0 aayx 解 1 解 1 设 0 0 0 0 aDaCaBaA 222 12dldxdyydxdx ABBCCDDA L ydlydlydlydlydl 00 2 2 aa xadxxadx 00 2 20 aa xadxxadx L ydx ABBCCDDA L ydxydxydxydxydx 0 0 a a xa dxxa dx 0 0 a a xa dxxa dx 00 aa xa dxxa dx 00 aa xa dxxa dx 2 0 420 a xa dxa 解2 解2 L关于x轴对称 f xyf x y 由第一型曲线积分关于 对称的性质 可知 0 L ydl L ydx 12 aa aa y x dxyx dx 12 aa aa y x dxyx dx 12 aa aa y x dxyx dx 2 1 2 2 a a y x dxa 利用 Green 公式 L ydx 2 0 12 D dxdya 例3 例3 设L为椭圆1 3 1 4 1 22 yx 其周长为a 谭泽光 7 求 L dlyxxy 432 22 解 解 解法一 解法一 2cos 0 2 3sin x L y 22 22 4sin3cosdldxdyd 22 234 L xyxydl 2 22 0 2 3sincos124sin3cosd 2 22 0 124sin3cos12da 解法二 解法二 由L的方程 1243 22 yx LLL xydladlxydlyxxy212 212 432 22 由对称性 02 L xydl 故adlyxxy L 12 432 22 例4 例4 求 L dlyx L cos sin xr yr 2cos ar 双纽线的右半支 4 4 解 解 22 dlxyd 22 cos2 a rrdd 由对称性 0 L ldy 所以 4 4 cossin cos2 LL a xy dlxdlrd 22 4 4 cossin 2ada 0 20 40 60 81 0 3 0 2 0 1 0 1 0 2 0 3 谭泽光 8 注 对称性的应用 例5 例5 L为 2222 Rzyx 与0 zyx的交线 求 2 L z dl 解 1 解 1 由对称性 2222 0 xyzR L xyz 0 0 xdxydyzdz dxdydz ydyzdzxdx dydzdx zxxy dydx dzdx yzyz 22 222 1 zxxy dldxdydzdx yzyz 22 2 1 22 xyxy dx xyxy 22 353 2 2 xxyy dx xy 2222 LL z dlRxydl 222 22 222 2 335 2 2 xyxy R xyxy Rxydx xy 222 22 2 322 2 22 xyxy R RxyR xydx xy 222 22 2 3222 22 xyxy R RxyR dx xy 解 2 解 2 由对称性 LLL dlzdlydlx 222 故 32222 3 2 3 1 Rdlzyxdlx LL 注 轮换对称性的应用 例6 例6 求 L xdy 其中 L是上半单位圆周 由 1 0 到 1 0 解 这是一个第二类曲线积分 解法一 解法一 上半单位圆周的参数方程为 0 sin cos ttytx 2 cos 0 2 tdtxdy L 解法二 解法二 上半单位圆周 11 1 2 xxy 谭泽光 9 2 1 1 1 12 2 1 1 2 dx x x xxdxdy L 例例7 22 C ydxxdy xy 其中C 1 222 r Cxyr 正向 2 22 1 22 1 xy C ab 正向 解 解 1 22 r C ydxxdy xy 2 1 c ydxxdy r 2222 1 1 12 xyr d r 2 1 22 C ydxxdy xy 1 2222 rr CCC ydxxdyydxxdy xyxy 22 02 r DC ydxxdy d xy 2 1 c ydxxdy r 2 120 积分 22 c ydxxdy xy 的值为 22 4 c ydxxdy xy 的值为 其中1 22 yxC 逆时针方向 解 解 令 22 4 yx y yxP 22 4 yx x yxQ 则当 22 0 xy 时 222 222 48 4 Qxyx xxy 222 222 4 2 4 Pxyy yxy 故 22 222 4 4 QyxP xxyy 22 0 xy 令曲线 为14 22 yx 逆时针方向 由格林公式可知 22 22 2222 1 41 0 44 c xy xy ydxdyydxxdyQP d xyxyxy 所以 2222 44 c ydxdyydxxdy y dxxdy xyxy 谭泽光 10 22 41 1 221 2 xy dxdy 注 1 1 第 120 题考察格林公式的应用 因为在 0 0 处 P x y Q x y无 定义 因此不能直接在曲线C上应用格林公式 只能补充一条曲线与C 一起围成一个不包含原点的区域后才能用上格林公式 为了方便计算 补充曲线14 22 yx 逆时针方向 本题很有代表性 请读者注意总 结此类问题的处理方法 2 若曲线本身是封闭的 直接用 Green 公式 若曲线不封闭 可以 用辅助曲线使其封闭化 例例8 116 已知 2 xay dxydy xy 为某函数的全微分 则a 解 已知存在 u x y 使 2 uxa y xxy 2 uy yxy 22 243 2 2 uxaya xyxay xyaxa y x yyxyxyxy 2 243 2 2 uyy xyy y xxxyxyxy 0 xy 时 2 3 2 uaxa y y xxy 与 2 3 2 uy y xxy 均连续 所以 22 33 2 2 uaxa yyu y xxyxyy x 故2a 注 2 yx ydydxayx 为某函数的全微分即存在函数 原函数 yxu使得 2 yx ydydxayx du 例例9 127 计算 sin cos xx L Ieymyy dxeymx dy sin 1 cos xa tt L yat t0 0 a 方向为t增加的方向 谭泽光 11 解 sin x X x yeymyy cos x Y x yeymx 设 axL 1 y从a2到0 2 L x从 a到0 则由格式公式有 12 LL IXdxYdyXdxYdy D QP dxdy xy 其中D为由 21 LLL包围的区域 0 a DD QP dxdydxdyydx xy 2 0 3 sin 1 cos 1 cos 2 x xa ttatat dta 1 L P x y dxQ x y dy 0 2 2 cos 2sin2 aa a eymadya mea 2 0 sin00 0 x La P x y dxQ x y dyedx 故 22 3 sin22 2 a Iaeaa m 注 1 1 本题主要考察格林公式和第二类曲线积分的计算 2 2 题中 21 LLL 正好是区域D的边界负向 所以用格林公式时 12 L LL D QP P x y dxQ x y dydxdy xy 3 3 第二类曲线积分化为定积分计算时 注意下限是起点对应的参数 上限是终点对应的参数 这与第一类曲线积分的计算不同 例10 例10 求 L xx dyexdxye 1 其中L为沿椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 的上半周由 0 aA到 0 aB 解 解 添加辅助直线BA 由 Green 公式 谭泽光 12 abdxdyeedyexdxye D xx BAL xx 2 1 1 而 adyexdxye BA xx 2 1 故 aabdyexdxye L xx 2 2 1 例11 例11 已知积分 L dy x xf dxxxyx sin 与路径无关 xf可微 且0 2 f 1 求 xf 2 求函数 yxuu 使得 dy x xf dxxxyxdu sin 3 求上述积分 路径为从 1 A到 0 2 B的任意路径 解解 1 sin xxyx yx xf x 2 sin x xfxf x xx xxxf x xfsin 1 2 这是一阶线性微分方程 通解为 cos sin Cxxxxxf 由初始条件得0 2 f 1 C 于是 1cos sin xxxxxf 2 解法一解法一 dyxxxdxxxyxdy x xf dxxxyx 1cos sin sin sin 2 sincossin 2 ux xxyxuxyxyxy x cossin sincos1 u xxxyxxx y 1 yyyC 谭泽光 13 2 cossin 2 x uxyxyxyC 其中C为任意常数 解法二 解法二 Cyxyxxy x Cdyxxxxdx Cdyxxxdxxxyxu yx yx sincos 2 1cos sin 1cos sin sin 2 00 0 0 3 解法一解法一 积分与路径无关 由A到B取平行与坐标轴的两条路径 2 3 1 1cos 2 20 1 xdxdyI 解法二解法二 2 3 1 2 AuBuyxuI B A 例例12 求二阶连续可微函数 xf使0 0 f 且 L f xy xf xdxfx dy 与路径无关 并使该微分式由 0 0A到 2 B 沿逐段光滑曲线 L上积分的值为 2 8 证明 证明 1 求求 f x 积分路径无关 f xy xf xfx yx xf xfx 0 0 fxf xx f 齐次方程通解 xcxcxfsincos 21 方程 xxfxf 的特解为 xxF 所以原方程的解为 xxcxcxf sincos 21 1cossin 21 xcxcxf 01 0 2 cf 1 2 c 谭泽光 14 xxxcxf sincos 1 1cossin 1 xxcxf 2 求原函数 求原函数 法法 1 dyxfdxxfxyxf 2 11 sincos 2 sincos1 d cxxxycxx 法法 2 11 00 cossin sincos1 xy u x ycxxx dxcxxdy 2 11 sincos 2 1 sincos1 cxxxycxx 3 通过积分求未定常数 由 0 0A到 2 B 积分得 22 11 2 8 1 8ucc 1 1 c 最后得 xxxxf sincos 例例13 128 确定参数 的值 使得在不经过直线0 y的区域上 曲线积分 22222 2 L x xyxxy Idxdy yy 与路径无关 当L为从 1 1 A到 2 0 B的任意光滑曲线时 求I的值 解 令 y yxx yxP 22 2 222 y yxx yxQ 则当0 y或0 即 2 1 u x yx yC 0 2 0 2 2 1 1 1 1 112 B A P x y dxQ x y dyx y 注 1 本题也可选择从 2 0 1 0 1 1 BCA 的折线来求 0 2 1 1 B AACCB P x y dxQ x y dyPdxQdyPdxQdy 0 02 2 211 1 0112 1 x x xdx dyx x 2 题中求 yxu还有另一种方法 设 duP x y dxQ x y dy 则 22 ux P x y x y xy 故 22 1 u x yxyf y y 又 222 ux Q x y x yxy 所以 2 22 2 22222 11 yx xyfy yy xyyxy 0 yf Cyf 1 22 Cyx y yxu 谭泽光 16 曲面积分计算 曲面积分计算 1 第一 第二型曲面积分的定义 背景与性质 1 第一 第二型曲面积分的定义 背景与性质 第一类曲面积分 设S是 3 R中的一块逐片光滑的曲面 函数 zyxf定义在S上 把S任意地分成n个小块 i S 2 1ni 每个小块的面积分别为 i S 在每个小块上分别任取 一点 iiii Q 作 Riemann 和 n i iiii Sf 1 再记 为所有 i S 2 1ni 直径的最大值 如果当0 时 上述 Riemann 和的极限存在 且该极限值与小块的分法和点的取法无 关 则称该极限为函数 zyxf在曲面S上的第一型曲面积分 记 n i iiii S SfdSzyxf 1 0 lim zyxf为被积函数 S为积分曲面 dS为面积微分 0 dS 当1 zyxf时 第一型曲面积分就是曲面的面积 第二型曲面积分 设向量值函数 F x y zX x y z Y x y z Z x y z 定义在 3 R 上 S是 中的一块逐片光滑的可定向曲面 其正向为 S 把 S任意地分成n个有向小块 0 Si i Sn 2 1ni 其 中 i S 分别为每个小块的面积 0 n 为 i S 内任一点 iiii Q 处曲 面的单位正法向量 作 Riemann 和 1 F S n iiii i 再记 为所有 i S 2 1ni 直径的最大值 如果当0 时 上述 Riemann 和的极限存在 且该极限值与有向小块的分法和点 iiii Q 的取 法无关 则称该极限为向量值函数F x y z 在有向曲面 S上的第二类 曲面积分 记作 谭泽光 17 0 1 S Slim S n iiii i F x y zdF 向量函数F x y z 为被积函数 S为积分曲面 有向 Sd 为面微分向量 2 第二型曲面积分的向量表达式 2 第二型曲面积分的向量表达式 S F x y zdS S X x y z dydzY x y z dzdxZ x y z dxdy 3 两类曲面积分之间的关系 3 两类曲面积分之间的关系 0 SS F x y zdSF x y zn dS 0 S F x y zndS 4 第一型曲面积分的计算 4 第一型曲面积分的计算 设空间曲面S的方程为 zz x y S在坐标面xoy上的投影域为 xy D 2 2 1 zz dSdxdy xy 则 S dSzyxf xy D dxdy y z x z yxzyxf 2 2 1 5 5 第二型曲面积分的计算 1 直接化成二重积分 第二型曲面积分的计算 1 直接化成二重积分 S SF x y zd S X x y z dydzY x y z dzdxZ x y z dxdy cos cos cos dydzdS dSyoz dzdxdS dSzox dxdydS dSxoy 在上的投影 在上的投影 在上的投影 曲面S在点 x y z的法线向量n 单位法线向量 谭泽光 18 0 coscoscos n nijk n cos cos cos是 0 n 的方向余弦 它可正可负 因此dydxdxdzdzdy 也可正可负 0 dSn dS coscoscosijk dS dydzidzdx jdxdyk 2 2 0 cos xy xy d d dSdydx 其中0 xy d 为dS在xoy平面上的投影 2 分化为第一类曲面积分 2 分化为第一类曲面积分 将 0 n 代入第二类曲面积分中 0 S S S F x y zdF x y zndS 不难将第二类曲面积分化为第一类曲面积分 3 用 Guass 公式 化成三重积分 3 用 Guass 公式 化成三重积分 Guass 公式Guass 公式 3 R 为有界闭区域 其边界面 外侧为正 向量值 函数 1 F x y zX x y z Y x y z Z x y zC 则 dv z Z y Y x X ZdxdyYdzdxXdydz divF dv 6 6 Guass 公式 Guass 公式 Stokes 公式 Stokes 公式 Guass 公式Guass 公式 3 R 为有界闭区域 其边界面 外侧为正 向 量函数 F x y zX x y z iY x y z jZ x y z k 则 dv z Z y Y x X ZdxdyYdzdxXdydz dvdivF 即 F dSdivF x y z dv 谭泽光 19 Stokes 公式Stokes 公式 有界曲面S分块光滑可定向 其边界S 为分段光 滑的闭曲线 S与 S的方向满足右手螺旋法则 向量函数 F x y zX x y z iY x y z jZ x y z k 在S及S 上是 1 C类 则 SS SSS ijk F dldrotF d xyz XYZ S XdxYdyZdz S ZYXZYX dydzdzdydxdy yzzxxy 7 梯度 散度 旋度的计算和意义 7 梯度 散度 旋度的计算和意义 梯度 000 000 zyx z f y f x f zyxgradf 散度 000 000 xyz XYZ divF xyz xyz 旋度为 000 000 xyz ijk rotF xyz xyz XYZ ZYXZYX ijk yzzxxy 例14 例14 求 S dSzyxI 2 其中S为单位球面 解 解 2 S IxyzdS 222 222 S xyzxyyzzx dS SS dSzxyzxydSzxyzxy 24 2221 其中 4是球的表面积 由对称性可知 0 SSS zxdSyzdSxydS 故 4 I 注 1 曲线 曲面积分的被积函数受到曲线 曲面方程的约束 谭泽光 20 2 对称性在积分中的应用 例例15 121 设1 222 zyx 0 z 1 为 在第一 卦限中的部分 则下面结论中正确的是 A 1 4xdSzdS B 1 4ydSydS C 1 4zdSzdS D 1 4xyzdSxyzdS 解 为单位球面的上半部分 关于xz平面对称 也关于yz面 对称 故 0ydS 0 xdS 0 xyzdS A B D 都不对 选项 C 正确 事实上 因为 关于xz平面对称 z关于y是偶函数 故 右 zdSzdS2 右为1 222 zyx 0 z 0 y 而 右关于yz面对称 z关于x是偶函数 因此 右 zdSzdS 1 2 即 zdSzdS4 例16 例16 求 S z dSyxJ 22 S为半球面 0 2222 zRzyx 解 解法一解法一 曲面 222 yxRz 222 xy Dx yxyR 222 yxR x x z 222 yxR y y z 2222 2 1 xy dxdyRdxdy dS Rxy zz 4 2 0022 3 222 22 3 4 Rd R dRdxdy yxR yxR J R D z xy 解法二解法二 球曲面的参数方程 sincos 02 sinsin 0 cos2 xR yR zR 谭泽光 21 2 sindSRd d 则 4 2 0 2 0 222 3 4 sinsinRdRRdJz 22 S Ixydxdy S为半球 面 0 2222 zRzyx 外法向为正 22 S Ixydxdy 222 22 xyR xydxdy 2 34 00 20 R ddR 外侧上的一部分 则S上的点 zyx的外侧单位法向量是 答案 2 zyx 若S的面积等于A 则 S z dydx y dxdz x dzdy 解 1解 1 根据 0 S S F x y zd SF x y zn dS 得 S dydzdzdxdxdy xyz 1 1 1 2 S x y z dS x y z 3 22 S A dS 解 2解 2 根据 cos cos cos dydzds dzdxds dxdyds cos cos cos cos dydzdxdy dzdxdxdy 2 2 2 2 x z y z Fx dydzdxdydxdy Fz F y dzdxdxdydxdy Fz 得 S dydzdzdxdxdy xyz 1 S xy dxdy xzyzz 1 3 S dxdy z 1 3cos S dS z 13 3 SS z dSdS z RR 3 2 A 谭泽光 22 例例18 求 2 22 5 Izdydzydzdxzzdxdy 由 12 0 y ze y x 绕z轴旋转 一周所成曲面的外侧 解 解 方法一 直接计算 的方程为 22 xy ze 2 eze 22 0 xy F x y zez 22 22 xy x xe F xy 22 22 xy y ye F xy 1 z F 0 2 22 xyz xyz F iF jF k n FFF 2222 2222 2222 22 2222 1 xyxy xyxy xeye ijk xyxy xeye xyxy 22 22 xz dydzdxdy xy y z dzdxdxdy xy 2 22 5 Izdydzydzdxzzdxdy 22 2 2222 22 5 z xz y Izzdxdy xyxy 22222222 22 2 22 2222 14 22 5 xyxyxyxy xy xy eeeedxdy xyxy 222222 22 2 2 22 14 2 5 xyxyxy xy y eeedxdy xy 22 22 00 2sin5 rrr drreeedr 42 329 2 22 eee 谭泽光 23 方法二方法二 化成第一型曲面积分计算 22 0 xy F x y zez 22 22 xy x xe F xy 22 22 xy y ye F xy 1 z F 22 xy ze 0 2 22 xyz xyz F iF jF k n FFF 2222 2222 2222 22 2222 1 xyxy xyxy xeye ijk xyxy xeye xyxy 2222 2222 22 222222 xyxy xyxy xeiyejxy k xyx ey e 2222 222222 22 xyxy xyx ey e dSdxdy xy 2 0 22 5 Iziy jzzkn dS 2222 2222 2222 222222 225 xyxy xyxy xzey ezzxy IdS xyx ey e 2222 22 2222 22 14 225 xyxy xy xzey ezzxy Idxdy xy 222222 22 2 2 22 14 2 5 xyxyxy xy y eeedxdy xy 22 22 00 2sin5 rrr drreeedr 42 329 2 22 eee 方法三方法三 利用高斯公式 令 1 S 4 22 2 yx ez 上侧 2 S 1 22 yx ez 下侧 则 12 32 sS Iz dv 为由 21 SS 包围的区域 2 222 ln 32 32 e e xyz z dvdzz dxdy 2 2 ln 32 e e zz dz 42 513 3 2 eee e 1 2 22 5 S zdydzydzdxzz dxdy 谭泽光 24 22 2424 4 5 4 5 xy ee dxdyee 2 2 22 5 S zdydzydzdxzz dxdy 22 42 1 5 5 xy ee dxdyee 故 2 2 29 2 3 24 eeeI 注 1 注意 Guass 公式中的曲面取向问题 2 若曲面不是闭的 可以通过加辅助曲面使其封闭化 例19 例19 计算 S dydxzdxdzzy 2 其中S为有向曲面 10 22 zyxz 法向量与z轴正向夹角为锐角 解一 补面用 Gauss 定理 记1 1 22 1 yxzS向下为正 dvdyzdxdxdzzy SS 3 2 1 Guass 公式 2 3 3 1 0 12 0 2 dzdd 三重积分求值 1 22 1 2 yx S dxdydyzdxdxdzzy 附加平面积分 2 2 S dyzdxdxdzzy 解二 通常定义作法 直接化成二重积分 S dyzdxdxdzzy 2 2 0 1 0 32 1 1 1 2 2 2 dddzzxzdx x 有向投影 2 1 2 1 1 3 2 2 4 1 1 2 32 dxxx 积分计算 22 例20 例20 求 S dzxdy 其中其中闭曲面 S为旋转抛物面 22 yxz 与平面1 z所围的空间区域的外侧面 如上题 谭泽光 25 解 将曲面投影到yz平面 SSS 侧右 而 侧下侧上侧 SSS S xdydzxdydzxdydz SS 侧右 xdydzxdydzxdydz SSS 侧下右侧上 S在yz平面上的投影面积为0 故0 右 S dzxdy 4 1 1 1 22 2 y D dzyzdydydzyzdzxdy yz 侧上 S 4 1 1 1 22 2 y D dzyzdydydzyzdzxdy yz 侧下 S 故 2 S dzxdy 例例21 130 222 3 2242424 S dS I xyzxaybzc 222 222 1 xyz Sabc abc 解 S的外侧单位法向量为 222 4 2 4 2 4 2 1 c z b y a x c z b y a x n 故 222 222 222 3 2 444 S xyz xyz abc IdS xyz xyz abc y y z z x yz D 谭泽光 26 222 3 2 S xdydxydzdxzdxdy xyz 令 222 3 2 x X x y z xyz 222 3 2 y Y x y z xyz 222 3 2 z Z x y z xyz 则当0 222 zyx时 0 z R y Q x P 令 2222 Sxyz 外侧 取得足够小 使S 包含在S以内 则 S IPdydzQdzdxRdxdy 2222 222 222 1 Gauss 0 xyz xyz abc PQR dv xyz 所以 222 3 2222 3 2222 3 2 S xyz Idxdydzdxdxdy xyzxyzxyz 3 1 s xdydzydzdxzdxdy 2222 3 33 114 Gauss3134 3 xyz sc 注 1 本题利用了两类曲面积分的关系 即 coscoscos SS PdydzQdzdxRdxdyPQRdS 其中 coscos cos 为S指定侧的单位法向量 2 因为S包围了原点 而在原点 z R y Q x P 均无定义 因此 必须补充曲面S 在去掉原点的区域 S与S 所围的区域 上应用 Gauss 公式 谭泽光 27 例例22 131 设空间曲线C由立方体10 x 10 y 10 z 的表面与平面 2 3 zyx相截而成 从z轴正向看去为逆时针 求 222222 c Izydxxzdyyxdz 解 利用Stokes公式计算 取S为 平面 2 3 zyx上被C包围的部分 上侧 这是一个边长为 112 442 的正六边形 其面积 1 1333 6sin3 2 23224 S 222222 S dydzdzdxdxdy I xyz zyxzyz 22 22 22 S yz dydzzx dzdxxy dxdy S上侧的单位法向量为 0 1 1 1 1 3 n 故 1 222222 3 S Iyzzxxy dS 4 3 S xyz dS 43 23 S dS 3 39 2 32 3 42 S 注 本题中曲线C由6段构成 直接计算会很繁琐 用Stokes公式比 较简便 注 S