2009考研数学基础班讲义-微积分第十二讲.pdf

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 基础班微积分辅导第 12 章 基础班微积分辅导第 12 章 向量代数及空间解析几何 梯度与方向导数向量代数及空间解析几何 梯度与方向导数 多元微分的几何应用多元微分的几何应用 12 1 向量的概念 12 1 向量的概念 定义定义12 1 不仅具有大小 而且具有确定方向 这样的量称为向量 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 1 向量的几何意义及表示 zyx aaaakji zyx aaa 222 zyx aaa a 长短 方向 222222222 cos cos cos zyx z zyx y zyx x aaa a aaa a aaa a 12 2 向量的线性运算 向量的线性运算 bac 向量的加法向量的加法 向量的加法服从平行四边形法则和三角形法则 a 向量的数乘向量的数乘 设是一个非零向量 是一个实数 用实数乘以向量的运算 a 称为向量的数乘 它是向量 a a 模 等于 a 方向 当0 时 与相同 当0 时 与a a 0 相反 当时 是零向量 0 a a a a 0 aaa 单位向量单位向量 若 零向量 则是一个单位向量 并且 12 3 向量的数量积和向量积 12 3 向量的数量积和向量积 b ba bababa cos a 定义12 1 定义12 1 的数量积数量积和定义为 0 baba cos ba ba b a 若和非零 则 baba aaa 向量a 在向量 b 上的投影 b ba baa b 0 ba ba 的叉积叉积定义12 2 定义12 2 向量积 是一个向量 bababa sin ba 以向量它的长度 作邻边组成一个平行四边形的面积 它的方向 由所谓 右手法则 确定 abba 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 cbcacba baba 0 12 4 向量的混合积 12 4 向量的混合积 cba cba cba 定义12 3 定义12 3 向量的混合积为 记作 它是数量 cba cba 以为棱作平行六面体 则这个平行六面体的体积等于 abcbcacabbacacbcba cba 0 cba 共面的充要条件是 12 5 用空间直角坐标系进行向量运算 12 5 用空间直角坐标系进行向量运算 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 2 设a b 321 aaa 321 bbb 为任意两个向量 则 ba k j i 11 ba 22 ba 33 ba 定义12 4 向量的加法运算定义12 4 向量的加法运算 k j 数乘数乘 a 1 a i a 2 a 3 a 321 aaa 或 以上是向量的线性运算 332211 babababa 数量积数量积 特别有 aaa 2 aaa 2 3 2 2 2 1 aaa 2 3 2 2 2 1 aaa 如果a 1 a 是一个单位向量 即 则 k a a j a a i a a a a 321 kj coscos i a cos a a 其中 cos是向量与坐标轴的夹角 OzOyOx cos cos 称为向量的方向 余弦 显然有 2 cos1coscos 22 向量积向量积 kji 注意到是互相垂直并且成右手系的三个向量 所以 0 00 kkjjii jkiijkkij jikikjkji ba k k j j i 1 a 2 a 1 bi 2 b 3 a 3 b k j i 2 a 2 b 3 b 3 a 1 b 1 a 3 a 3 b 1 a 2 b 2 a 1 b 321 321 bbb aaa kji k j 32 32 bb aa i 13 13 bb aa 21 21 bb aa 混合积的计算混合积的计算 设a 321 aaa b c 321 bbb 321 ccc 则 cbacba k k j j 32 32 bb aa 13 13 bb aa 21 21 bb aa i i 1 c 2 c 3 c 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 321 321 321 ccc bbb aaa 32 32 bb aa 13 13 bb aa 21 21 bb aa 1 c 2 c 3 c 2kib ba jia 例12 1 例12 1 设求以为边的平行四边形的对角线的长度 3111 1 kjibal 解 111193 2 kjibal 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 3 例12 2 例12 2 设 4 1 1 a 2 2 1 b 求b a 在方向上的投影向量 b a 在方向上的投影为 解 3 7 0 b ba baa b b a 在方向上的投影向量为 9 14 9 14 9 7 3 2 3 2 3 1 3 7 000 bbaba b ABC 例12 3 例12 3 设有三点 0 2 1 A 1 3 1 B 2 1 2 C求的面积 S 2 99 755 2 1 231 112 2 1 2 1 kji kji ACABS 解 例12 4 例12 4 试证 及 1 1 1 A 2 2 2 B 2 1 1 C 0 0 0 D四点共面 0 111 320 333 ADACAB 证明 1 1 1 A 2 2 2 B故及四点共面 2 1 1 C 0 0 0 D 4 1 baba 例12 5 例12 5 已知 且aba ba2 求的夹角 ba 与 a ba baaa ba 解 aabaabaa baa 220 3 2 1 cos 2 ba 3sin baba a ccbba I例12 6 例12 6 已知 cba 求 a ccbbbcaba I 解 acbabbacaabaccbcbbccacba 2 acbcba 12 6 平面方程12 6 平面方程 kCjBiAn 法向为 过点的平面方程为 0000 zyxM 0 000 zzCyyBxxA kCjBiAn 0 DCzByAx 任何三元一次方程 其图形定一张法向 的平面 例12 7 例12 7 设不共线 求过这三点的平面 333322221111 zyxMzyxMzyxM 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 解 连接和 得到平面 21M M 31M M上两个向量 21M M 31M M 121212 zzyyxx 131313 zzyyxx 和 由此得到该平面的一个非零法向量为 131313 121212 zzyyxx zzyyxx kji n 3121 MMMM n 0 1 MM 上任意一点 应当满足 zyxM 即 对于平面 131313 121212 111 zzyyxx zzyyxx zzyyxx 于是得到 0 称为平面的三点方程式 kjia 2 3 1 2 1 0 1 21 MM 例12 8 例12 8 已知平面过两点 并且与向量平行 求 此平面的方程 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 4 解 由于此平面的法向量与向量a 21M M和都垂直 所以向量 5 413 112 kji kji 11 an 21M M 1 0 1 1 M 是平面的一个非零法向量 又知平面上一点 所以平面的向量方程 为 0 1 0 11 1 5 zyx04115 zyx 或者 例12 9 例12 9 求过直线 并与直线 02 072 1 zx yx L 1 1 2 3 3 3 2 zyx L平行的平面方 程 解 的方向 1 L 4 1 2 1 0 2 0 2 1 1 T 的方向 2 L 1 2 3 2 T 1 14 9 21 TTn 所求曲面的法方向为 在上任取一点 1 3 2 所求曲面的方程为 1 L 0 2 3 14 1 9 zyx 12 7 直线方程式 12 7 直线方程式 nmlv 如果已知直线L通过一点 并且与向量 0000 zyxM 平行 则可以唯一地 确定这条直线 v v tMM0MM0zyxM 平行 即存在t 使得 L上的充要条件是 向量在与 0 rr v 这就直线 的向量方程 向量 v lt 称为该直线的方向向量 即 nmlv 通过一点 方向向量为 0000 zyxM 的直线参数方程是 0 0 0 t tnzz tmyy t lxx 消去参数 t 得到直线的标准方程 或直线的点向式方程 n zz m yy l xx 000 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 直线作为两个平面的交线 2222 1111 dzcybxa dzcybxa 例12 10 例12 10 已知直线经过两点和 求直线方程 1111 zyxM 2222 zyxM k i j 1221 xxMM 12 yy 12 zz 解 显然向量 是该直线的一个方向 向量 是直线上一点 所以直线的参数方程为 1111 zyxM 121 121 121 t tzzzz tyyyy txxxx 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 5 例12 11 例12 11 若直线 由两个平面 011423 1 zyx 0132 2 zyx 和l 相交而成 求该直线的参数方程 解 这时可以用联立方程 0132 011423 zyx zyx 1 n 表示直线l 这个方程称为直线 的一般方程式 平面l 21 4 2 3 的法向量分别为 2 n 1 n 和 3 1 2 由于直线既在平面l上 所以直线l既垂直于 1 上又在 2 又垂直于 2 n 因此直线l的一个方向向量为 312 423 kji k 21 nnv 10i j 17 再求出直线上一点 注意到直线l既在平面l 1 上又在 2 上 所以直线l上任意一点 都满足方程组 3 4 z 012 01123 yx zyx zyx 在上述方程组中令 则得到 013 0842 zy zy 1 x 解这个方程组得到 于是为直线上一点 因此求得直线l的参数方 程 l 1 2 1 0 M1 2 zy 1 172 101 R 22 0 2 0 2 0 Rzzyyxx 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 设为正数 由方程 cba 确定的曲面为椭球面 椭球面 12 10 二次曲面 二次方程的图形 12 10 二次曲面 二次方程的图形 由方程认图 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆抛物面 马鞍面 球面 椭球面 1 抛物面 1 抛物面 旋转抛物面 坐标面上的抛物线绕Oz轴旋一周得到的曲面称为旋转 zOx 2 axz 0 a 抛物面 它的方程为 22 yxaz 2 椭圆抛物面 2 椭圆抛物面 由方程 确定的曲面称为椭圆抛物面 0 22 babyaxz 3 双曲抛物面 3 双曲抛物面 由方程 确定的曲面称为双双曲抛物面 马鞍 面 22 同号babyaxz 12 11 特殊空间曲面 旋转面 柱面 锥面方程12 11 特殊空间曲面 旋转面 柱面 锥面方程 柱面 方程中缺变量 222 ryx 是空间一条曲线 是一条直线 平行于l的直线沿着曲线lLL柱面 柱面 设移动所形成的轨迹 是一张曲面 称这张曲面为以LL为准线的柱面 沿曲线移动的直线称为该柱面的母线 例12 14 例12 14 设为以平面曲线为准线 母线平行与Oz轴的柱面 求 的方程 0 222 z ayx LSS 解 该柱面是与Oz轴平行的直线沿曲线LL移动生成的曲面 由于母线通过上某点 并 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 8 zyx 且垂直与轴 所以母线上的所有点到轴的距离都相等 柱面上的任意一点 都位于某条母线上 因此必然满足方程 OzOz zyx 222 ayx 这就是柱面的方程式 这个柱面的母线是圆周 因此称为圆柱面 S 例12 15 例12 15 设为以抛物线为准线 母线平行与轴的柱面 求的 0 2 z xy LSOzS 方程 解 该柱面是与Oz轴平行的直线沿曲线LL移动生成的曲面 由于母线通过上某点 并且垂直与轴 所以母线上的所有点都满足方程 也就是说 该柱面的 方程就是 这个柱面的母线是抛物线 因此称为抛物柱面 2 xy Oz zyx 2 xy 0 x z x y F 锥面 方程中变量次数相同 如 222 yxaz LMLML设是空间一条曲线 为外一点 假定由点出发的每一条射线与曲线最多只有 一个交点 由点MLM向曲线上的每一个点引射线 所有这些射线组成的曲面称为以为为 顶点 以曲线L为准线的锥面 绕Oz轴旋转一周得到的旋转曲面 例12 16 例12 16 平面上的直线yOz 0 kkyz 22 yxkzS 就是以原点为顶点 以曲线为准线的锥面 kz yx L 1 22 旋转面 如 绕 Ly0 zyf轴旋转而成之曲面方程 为 0 22 zxyf 假设L是坐标面上的一条曲线 方程为 求 0 0 x zyF yOz0 yL绕轴旋 转一周所得到的旋转曲面的方程式 Oz S zyxM在曲面上的充要条件是 S 在曲线L上 使得 0 zYP 00 PMMM 其中 0 zYF 0 0 0 zM Yyx 22 00 PMMM 由 0 22 zyxF 0 zYF再由 这就是所求旋转曲面的方程 S 例12 17 例12 17 求平面曲线 绕轴旋转一周得到的旋转曲 面的方程式 21 0 0 3 y x yz LOz 解 曲线L位于Oy轴上侧的一段 20 0 0 3 1 y x yz L 0 2 3 22 yxz绕Oz轴旋转一周得到的旋转曲面的方程为 位于Oy轴下侧的一段 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 01 0 0 3 2 y x yz L 0 2 3 22 yxz绕Oz轴旋转一周得到的旋转曲面的方程为 曲面可以统一地用一个方程表示 3222 yxz S 12 12 近两年的考题 12 12 近两年的考题 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 9 例12 18 例12 18 由确 定 的 隐 函 数zxyzxye z yxfz 存 在 的 充 分 条 件 是 曲面在点处的为切平面方程为 yxfz 0 1 1 在点处的梯度为 yxfz 0 1 1 解 切平面方程 z eyx 2 zyx 1 1 gradf ji zxyzxyezyxF z yxfz 隐函数存在的充分条件是 0 yxezyxF z z 2 d例例12 19 点到平面 0120543 zyx 的距离 2 2 2 50 10 543 1423 222 d 解 梯度与方向导数梯度与方向导数 12 13 函数沿一方向上的变化 方向导数 12 13 函数沿一方向上的变化 方向导数 l l x 0 x 0 x xf 定义12 1 定义12 1 函数在附近有定义 为一给定的向量 为过点沿方向的 射线上的点 若x 0 x 沿射线趋于时 极限 0 0 lim 0 xx xfxf xx 存在 则称该极限为函数 xf 在 0 x 点沿l 方向的方向导数 记作 0 0 0 lim 0 xx xfxf x l f xx 沿射线 n x f x f x f xgradf 21 0 定义12 2 定义12 2 梯度 0 21 0 l x f x f x f x l f n 0 xfgradl 沿梯度方向沿梯度方向的方向导数最大 即沿梯度方向函数增加最快 的方向导数最大 即沿梯度方向函数增加最快 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 其模等于该点最大方向导数之值 其模等于该点最大方向导数之值 22 1 yxyxf 1 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 10 例12 20 例12 20 在点的各方向导数均为 0 0 0 0 但函数在 点不可微 jiujiv 2 例12 21 例12 21 设在点可微 00 yxM yxf 如果 1 2 0000 u yxf v yxf 求在点的微分 00 yxM yxf dydx 225 245 答案 例12 22 例12 22 设函数有连续的偏导数 且在点 yxf 2 1 M的两个偏导数分 1 2 1 y f 1 2 1 x f 则在点 yxf 2 1 M增加最快的方向是 jB jiC jiD iA 例12 23 例12 23 若在点处的两个偏导数存在 则 B 000 yxP yxfz A 在点连续 0 P yxf 0 yxfz 0 yy 0 xx B 一元函数和 0 yxfz 分别在和连续 dy y z dx x z dz P P 0 0 C 在点的微分为 0 P yxf 0 0 P y z x z Pfgrad 在点的梯度为 0 PD yxf 例12 24 例12 24 如在点不可微 则下列命题中一定不成立的是 C 00 yx yxf A 在点不连续 00 yx yxf B 在点沿任何方向v 00 yx yxf的方向导数不存在 C 在点两个偏导数都存在且连续 00 yx yxf D 在点两个偏导数存在且至少有一个不连续 00 yx yxf 多元微分的几何应用多元微分的几何应用 条件极值 无条件极值 极值 切平面 法线 曲面 法平面 切线 曲线 几何 多元微分的应用 12 1412 14 空间曲面 空间曲面 1 空间曲面的表达式 1 空间曲面的表达式 显函数表示 yxfz 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 隐函数表示 0 zyxF 参数表示 2 RDvu vuzz vuyy vuxx uv 2 空间曲面的切平面与法线 2 空间曲面的切平面与法线 yxfz 000 yxfz 000 yxP 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 11 空间曲面由显函数表示S 设 空间曲面过 切平面方程为 S 0 00 0 0 00 zzyy y yxf xx x yxf 1 0 00 0 00 0 zz y yxf yy x yxf xx 法线方程是 1 0000 y yxf x yxf n 法向量为 yxfz 空间曲面存在切平面的条件 若曲面由显函数表示SS在点可微 则 曲面在点有不平行轴的切平面 00 y xp 00 y xpSz 0 00 zyx 若曲面由隐函数表示 曲面过 0 zyxFSS切平面方程为 0 000 0 000 yy y zyxF xx x zyxF 0 0 000 zz z zyxF 法线方程为 z zyxF zz y zyxF yy x zyxF xx 000 0 000 0 000 0 z zyxF y zyxF x zyxF n 法向量 若曲面由参数表示 其切平面为 2 RDvu vuzz vuyy vuxx uv S 00000000 00000000 00000000 vvvu v z uuvu u z vuzz vvvu v y uuvu u y vuyy vvvu v x uuvu u x vuxx 或 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 0 00 00 00 00 0000 vuzz v y u y v x u x vuyy v x u x v z u z vuxx v z u z v y u y vu vuvu 00 00 00 000000 vuvuvu v y u y v x u x vuzz v x u x v z u z vuyy v z u z v y u y vuxx 法线方程为 000000 vuvuvu v y u y v x u x v x u x v z u z v z u z v y u y n 法向量 例12 25 例12 25 求曲面 上切平面与直线平行的 切点的轨迹 0 523 zyx zyx LS1222 22 zyx kji kji 54 111 123 解 1 直线的方向 55 54 xz xy xx L kjyixn 244 切点为处曲面的法向 zyxP S n010164 yxn 2 所求轨迹 64576060 852 2 xxz xy xx 1222 582 22 zyx yx 轨迹为空间曲线 例12 26 例12 26 证明球面与锥面正交 Rz y xS 22 2 2 1 za y xS 22 2 2 2 证明 所谓两曲面正交是指它们在交点处的法向量互相垂直 记 za y x zyxG Rz y x zyxF 22 2 222 2 2 M x y z 1S上任一点处的法向量是 曲面 T zyxv 1 或者 T zyxzyxgradF 2 2 2 T zayxv 2 2 M x y z 2S上任一点处的法向量为 曲面 M x y z 是两曲面的公共点 则在该点有 设点 0 22222 21 zayxzayxzyxvv T 即在公共点处两曲面的法向量相互垂直 因此两曲面正交 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 12 例12 27 例12 27 过直线0 272210 zyxzyx作曲面的切 平面 求该切平面的方程 273 222 zyx 解 设切平面过曲面上的点 则切平面的法向量为 273 222 zyx 000 zyx 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 2 2 6 000 zyx 0 272210 zyxzyx的平面可以表示为 过直线 0272210 zyxzyx 2 2 10 其法向量为 000 2 2 2 2 6 10 zyx 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 13 000 zyx是曲面上的点 273 222 zyx 273 2 0 2 0 2 0 zyx 0272210 000000 zyxzyx 1 1 3 000 zyx 17 17 3 000 zyx联立 解得 或 切平面方程为 0279 zyx02717179 zyx 或 例12 28 例12 28 通过曲面上点的切平面 B S3 zyxe zyx 1 0 1 AB 通过轴 y 平行于轴 y C 垂直于y轴 DA B 都不对 C 解题思路 令 则在其上任一点3 zyxezyxF xyz SM的法向量为 M z F y F x F gradMF 于是在点SM 1 0 1 的法向量为 1 0 1 1 1 1 1 0 1 xyzxyzxyz xyexzeyze 因此 切平面的方程为0 1 1 zx 在的法向量垂直于Sy 1 0 1 轴 从而切平 面平行于yy轴 但是由于原点不在切平面 故切平面不含轴 0 cz by cz ax f例12 29 例12 29 已知可微 证明曲面f上任意一点处的切平面通过一定 点 并求此点位置 y f f x f f 2 1 证明 设 于是有 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 cz f y f cz f x f1 1 21 2 2 2 1 cz yb f cz xa f z f 则曲面在处的切平面是 0000 zyxP 0 0 2 0 0 02 2 0 0 01 zz cz yb Pf cz xa Pf cz yy Pf cz xx Pf 0 0 02 0 0 01 可以得到 000 2000 1 yyczPfxxczPf 0 000 2000 1 zzybPfzzxaPf 0 cz by cz ax f易见当时上式恒等于零 于是知道曲面byczax 上任意一点 处的切平面通过一定点 此定点为 bca 222 zyxGczbyax 例例12 30 S 由方程确定 试证明 曲面 S 上任一点的法线 与某定直线相交 证明 曲面上任意一点的法线为 000 zyxP 2 2 2 2 0 2 0 2 00 0 2 0 2 0 2 00 0 2 0 2 0 2 00 0 zyxGzc zz zyxGyb yy zyxGxa xx 111 zzyyxx 与法线向交 设相交的定直线为 2 2 2 2 0 2 0 2 00 2 0 2 0 2 00 2 0 2 0 2 00 zyxGzczyxGybzyxGxa 不平 行于 0 2 2 2 010101 2 0 2 0 2 00 2 0 2 0 2 00 2 0 2 0 2 00 zzyyxx zyxGzczyxGybzyxGxa 0 2 2 2 010101 2 0 2 0 2 00 2 0 2 0 2 00 2 0 2 0 2 00 zzyyxx zyxGzczyxGybzyxGxa 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 14 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 15 0 2 111 000 2 0 2 0 2 0 010101 zyx zyx zyxG zzyyxx cba 0 0 0 111 zyxcba 即可 只要取 例12 31 例12 31 求过直线且与曲面 0 523 zyx zyx L 8 5 222 22 zyx相切的平面的方 程 0 523 zyxzyx 设曲面为 G 解 直线 L 平面 F 可表示为 2 4 4 1 2 3 yxkgradGkgradF 则相切处有 解得 24 5 12 5 6 5 7 8 15 4 1 2 3 3 zyx orzyx 0 8 15 2 4 1 2 3 6 zyx或因此切平面方程为 0 24 5 6 12 5 5 6 5 10 zyx 例12 32 例12 32 在椭球面 x a y a z c 2 2 2 2 2 2 1 上求一点 使椭球面在此点的法线与三个坐标轴的 正向成等角 解 椭 球 面 在 此 点 的 法 线 矢 量 为 设 该 点 为 则 有 000 zyx 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 2 0 2 0 000 k c z b y a x gradF zyx 1 222 222 cba cba 该点坐标为 12 15 空间曲线的切线和法平面 12 15 空间曲线的切线和法平面 1 空间曲面的表达式 1 空间曲面的表达式 空间曲面的参数方程 t tzz tyy txx ttztytxtrr T 参数方程又可以