06-07年上学期同步测控优化训练高三数学数学归纳法(附答案).doc

高三数学同步检测(五)数学归纳法说明：本试卷分为第、卷两部分,请将第卷选择题的答案填入题后括号内,第卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.一个与自然数n有关的命题当n=2时成立,且由n=k时成立可以推得n=k+2时也成立,则( )A.该命题对于n2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值有关D.以上答案都不对答案B2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为(n-3)条时,第一步应验证n等于( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 D3.某个命题与正整数n有关,若n=k(kN*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时,该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )A.当n=6时该命题不成立 B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立 D.当n=4时该命题成立分析 本题借助数学归纳法考查四种命题间的关系,即原命题与其逆否命题等价,逆命题与否命题等价.解 n=k时命题成立n=k+1时命题成立,其逆否命题是“n=k+1时命题不成立n=k时命题不成立”,n=5时命题不成立n=4时命题不成立.答案 C4.用数学归纳法证明“1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则n=k+1时应得到( )A.1+2+22+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k答案 D5.设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+( )A.2 B. C. D.解析 因为增加一条边,凸多边形的内角和将增加一个三角形的内角和,所以凸多边形的内角和将增加.答案 B6.对于不等式n+1(nN*),某同学的证明过程如下:(1)当n=1时, 1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k+1,则当n=k+1时, ,当n=k+1时,不等式成立.上述证法( )A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析 用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设.答案 D7.下列代数式能被9整除(其中kN*)的是 ( )A.6+67k B.2+7k-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)分析 本题考查用数学归纳法证明整除性问题.解 (1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)、(2)可知,命题3(2+7k)对任何kN*都成立.答案 D8.设f(n)=,nN*,那么f(n+1)-f(n)等于( )A. B.C.+ D.-分析 用数学归纳法证明有关问题时,分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然,当自变量取n时,等式的左边是n项和的形式.解答案 D9.使得多项式81x4+108x3+54x2+12x+1能被5整除的最小自然数x为( )A.1 B.2 C.3 D.4分析 本题逆用二项式定理的展开式证明整除性问题.解 81x4+108x3+54x2+12x+1=(3x+1)4,该式能被5整除的最小自然数x为3.答案 C10.用数学归纳法证明不等式1+成立,则n取的第一个值应为( )A.7 B.8 C.9 D.10分析 本题考查用数学归纳法证明不等式.解 1+是首项为1,公比为的等比数列前n项的和,1+=1-=2-.由2-,知,n最小取8.答案 B第卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=(a1且nN*)”,在验证n=1时,左边计算所得的结果是.解析 本题考查数学归纳法的应用.用数学归纳法证题的前提是分清等式两边的构成情况.就本题而言,它的左边是按a的升幂排列的,共有(n+2)项,故当n取第一个值时,共有1+2=3项,它们的和应是1+a+a2.答案 1+a+a212.用数学归纳法证明nN*时,34n+2+52n+1被14整除的过程中,当n=k+1时,对34(k+1)+2+52(k+1)+1可变形为 .分析 用数学归纳法证明整除性问题时,可把n=k+1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式,另一部分能被除式整除的形式.解34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+6+52k+3=34k+6+3452k+1+52k+3-3452k+1=34(34k+2+52k+1)-5652k+1.答案 81(34k+2+52k+1)-5652k+113.在用数学归纳法证明1+2+22+25n-1(nN*)是31的倍数的命题时,从k到k+1需要添加的项是 .分析 分清被除数的构成情况是解决本题的关键.当自变量取n时,被除数是5n项的和,其指数从0依次增加到5n-1.解 当n=k+1时,被除数为1+2+22+25k-1+25k+25k+1+25k+4,从n=k到n=k+1增加的项为25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4.答案 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+414.观察下列式子:1+,1+,1+,则可以猜想其结论为 .解析 解答本类题的关键是分清所给式子的结构特点,确定出不等式右边的项中分子、分母同项数的关系.答案 1+(n2)三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分8分)用数学归纳法证明22+42+62+(2n)2=n(n+1)(2n+1).分析 用数学归纳法证明代数恒等式的关键是分清等式两边的构成情况,合理运用归纳假设.证明 (1)当n=1时,左边=22=4,右边=123=4,左边=右边,即n=1时,命题成立. 1分(2)假设当n=k(kN*)时命题成立,即22+42+62+(2k)2=k(k+1)(2k+1), 2分那么当n=k+1时,22+42+(2k)2+(2k+2)2=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)2 3分=(k+1)k(2k+1)+6(k+1)=(k+1)(2k2+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+1)+12(k+1)+1, 6分即n=k+1时,命题成立. 7分由(1)、(2)可知,命题对所有nN*都成立. 8分16.(本小题满分8分)求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a-1整除(nN*).分析 数学归纳法可以证明与正整数n有关的命题,常见的恒等式、不等式的命题可用数学归纳法证明,其他的如整除、几何方面的命题也可用数学归纳法证明.在证明n=k+1时,“配凑”的技巧掌握很重要,要有目的去“配凑”倍数式子,以及假设n=k时的式子.证明 (1)当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除;(2)假设n=k(kN*)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 2分则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 5分=aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假设可知aak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除.ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除, 7分即n=k+1时命题也成立.对nN*原命题成立. 8分17.(本小题满分8分)已知数列,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.分析 本题考查观察、分析、归纳、发现规律的能力,考查数学归纳法在等式证明中的应用.在用观察法求数列的通项公式时,要注意观察项与项数的关系.解 S1=;S2=+=;S3=+=;S4=+=.可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想. 2分下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时,左边=S1=,右边=,猜想成立.(2)假设当n=k(kN*)时猜想成立,即+=, 4分那么, +6分所以,当n=k+1时猜想也成立.根据(1)、(2),可知猜想对任何nN*都成立. 8分18.(本小题满分10分)用数学归纳法证明1+1+n(nN*).分析 本题考查利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.合理运用归纳假设后,向目标靠拢的过程中,可以利用证明不等式的一切方法去证明.证明 (1)当n=1时,左式=1+,右式=+1,1+,命题成立.2分(2)假设当n=k(kN*)时命题成立,即1+1+k,4分则当n=k+1时,1+1+2k=1+.6分又1+k+2k=+(k+1),8分即n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)可知,命题对所有nN*都成立.10分19.(本小题满分10分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家.他的数学著作颇多,他编著的数学书共5种21卷,在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律.古今中外,许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过,并将研究结果应用于其他工作.下图是一个11阶的杨辉三角:11阶杨辉三角试回答:(其中第(1)(5)小题只需直接给出最后的结果,无需求解过程)(1)记第i(iN*)行中从左到右的第j(jN*)个数为aij,则数列aij的通项公式为 ,n阶杨辉三角中共有 个数;(2)第k行各数的和是;(3)n阶杨辉三角的所有数的和是;(4)将第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于;(5)第p(pN*,且p2)行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除,则整数p一定为( )A.奇