2009考研数学基础班讲义-微积分第十四讲.pdf

2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 基础班微积分辅导第 14 章基础班微积分辅导第 14 章 三重积分 第一类曲线积分三重积分 第一类曲线积分 三重积分 概念 性质 计算及应用三重积分 概念 性质 计算及应用 14 1 三重积分的概念及性质 14 1 三重积分的概念及性质 3 R 定义14 1 定义14 1 设函数在有界闭区域 zyxf上有定义 且有界 若 YX i YX i sup i ni 1 max 记 1 任意分割区域 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 1 2 任取 1 ni iiii 作和式 其中为 n i iiiin VfS 1 i V i 的 体积 3 若极限存在 且极限值与区域分割的任意性和点 n i iiii n n n fS 1 limlim 1 ni iiii 选值的任意性无关 则称函数在区域上可积 该极 限值称为函数在区间 zyxf n i iiii n n n fS 1 limlim zyxf 上的三重积分 记作 n i iiii n VfdVzyxf 1 lim 称为积分区域 称为被积函数 zyxfzyx 称为积分中间变量 体积元素又记 作 三重积分的值与积分中间变量的符号无关 dV dxdydz dudvdwwvufdxdydzzyxf 连续函数一定在有界区域内可积 简单性质 线性性 保序性 估值性 中值定理 对积分区域的可加性 简单性质 线性性 保序性 估值性 中值定理 对积分区域的可加性 1 2 21 1 对积分区域的可加性 设在区域 zyxf和上可积 无内点 则 在 21 yxf上可积 且 21 dxdydzzyxf 1 dxdydzzyxf 2 dxdydzzyxf 2 对被积函数满足线性性 dxdydzzyxBgzyxAf dxdydzzyxfA dxdydzzyxgB zyxzyxgzyxf 3 保序性 若可积函数 则 dxdydzzyxf dxdydzzyxg 若可积函数 0 zyxzyxf 则 0 dxdydzzyxf zyxf 4 若在上可积 则 zyxf 在上也可积 且 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 dxdydzzyxf dxdydzzyxf 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 2 5 估值定理 若可积函数在 zyxfMzyxfm 上满足 则 MVdxdydzzyxfmV 9 其中为区域的体积 进一步 若函数在 V zyxg 上非负可积 则 dzdxdyzyxgMdzdxdyzyxgzyxfdzdxdyzyxgm 6 中值定理 若函数在 zyxf 上连续 在 zyxg 上取定号且可积 则 使 dxdydzzyxgfdxdydzzyxgzyxf 1 zyxg 特别地 时 使 Vfdzdxdyfdxdydzzyxf 其中为 区域的体积 dzdxdyV 7 若 区域关于yx 平面对称 可积函数满足 zyxf zyxfzyxf 则 0 dxdydzzyxf yx 若 区域关于平面对称 可积函数满足 zyxf zyxfzyxf 则 1 2 dxdydzzyxfdxdydzzyxf 其中为 的上半区域 1 14 2 三重积分的计算 化成累次积分 14 2 三重积分的计算 化成累次积分 xy Dyxyxzzyxzzyx 21 若三重积分的积分区域 其中 bxaxyxxyyxDxy 21 则三重积分 2 1 2 1 2 1 yxz yxz xy xy b a yxz yxz D dzzyxfdydxdzzyxfdxdydxdydzzyxf xy z Dyxdzczyx 若三重积分的积分区域 则三重积分 z D d c dxdyzyxxfdzdxdydzzyxf 例14 1 例14 1 求 dxdydzyx 0 0 0 1 zyxzyxzyx 解 解法一 10 10 10 xxyyxzzyx 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 1 0 32 1 0 32 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 12 1 326 1 3 1 2 1 1 dx xx yxyxdx dyyxyxdx dzyxdydxdxdydzyx x x yxx zyxyxyxDyxzzyx z 1 0 0 10 解法二 12 1 1 2 1 1 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 z zxz D dxzxzxxdz dyyxdxdz dxdyyxdzdxdydzyx z 222 b y a x c z dxdydz z xy 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 3 例14 2 例14 2 求 其中 为锥面 与平面所围成的区域在第一卦限的部分 0 ccz 解 积分区域 czz c b y b y c z axzyx0 0 0 22 cz c b cz c b b y c z ac D cba dy b y c z y a dz z xdxydydz z dxdy z xy dzdxdydz z xy z 00 22 22 2 0000 362 1 1 22 z D 当然 还有其它方法 36 22 22 cba dz z xy dxdydxdydz z xy c b y a x c Dxy 1 22 b y a x yxDxy其中 14 3 坐标变换 14 3 坐标变换 在柱坐标系下的三重积分化为三次积分 在柱坐标系下的三重积分化为三次积分 若三重积分积分区域在柱坐标系下的表达形式为 2121 zzzz 则三重积分 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 4 2 1 2 1 sin cos z z dzzfdddxdydzzyxf 例14 3 例14 3 求 zdxdydzyx 1 22 Hzyxzyx 22 其中 解 用柱坐标系 HzHz 0 20 124 1 1 64 2 00 222 HH dzzddzdxdydzyx HH dxdydzyxfztF 222 例14 4 例14 4 设在上连续 tf 0 其中 2 0 lim t tF t 0 0 222 ttyxhzzyx 求 tht dfht h dzfzddtF 0 22 3 0 22 2 00 2 3 解 用柱坐标系 0 3 lim2 3 lim 3 2 0 2 0 3 2 0 hf h t df h h t tF t tt 用 L Hospital 法则 在球坐标系下的三重积分化为三次积分 在球坐标系下的三重积分化为三次积分 球坐标系为 其中 0 20 0r cos sinsin cossin rz ry rx 若三重积分的积分区域在球坐标系下的表示为 则三重积分 sin cos sinsin cossin 2 ddrdrrrrfdxdydzzyxf 0 cos1 ar例14 5 例14 5 求心脏线与极轴所围的图形绕极轴旋转所得的体 积 例14 6 例14 6 求 三 重 积 分 其中 20 0 cos1 0 arr 解 3 2 00 cos1 0 2 3 8 sin1 adrrdddvV a dvzyxI 22 22 10 yxz zyz zyx 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 dvzyxI 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 5 解 由函数与域的对称性 dvz 1 0 2 2 0 4 0 8 sincos drrrdddvzI球坐标系 2 122 0 2 0 8 zdzddI柱坐标系 22 22 2 2 121 21 22 22 8 yx yx x x zdzdydxI 直角坐标系 8 1 1 22 2 22 1 2 1 0 zD dzzzdzzzdxdydzIxy积分 先对 例14 7 例14 7 已知 其中为可微函数 求 2222 222 tzyx dxdydzzyxftF t F uf 解 用球球坐标系 tt dfdfddtF 0 22 0 2 00 22 4 sin 22 4 ttftF 14 4 重积分的应用14 4 重积分的应用 M M y M M x x y yx D 1 板状物体 1 板状物体的质心的质心 其中 DD x D y dxdyyxMdxdyyxyMdxdyyxxM D yx 为区域 为板状物体的质量点密度 zyx zyx 的质量密度为 则其质量中心为 M M z M M y M M x xy zx yz 其中 dxdydzzyxMdxdydzzyxzM dxdydzzyxyMdxdydzzyxxM xy zxyz zyx 0 2222 zRzyxzyx例14 8 例14 8 求均匀半球的重心 0 0 yx 解 显然 4 sincos 4 2 0 2 00 2 R drrrddzdxdydzM R xy 3 2 sin 3 2 0 2 00 2 R drrdddxdydzM R xy Rz 8 3 2 转动慣量问题 2 转动慣量问题 zyx y空间物体 的质量点密度为 其绕x轴 轴 轴的转动慣量分别为 z dxdydzzyxzyJx 22 dxdydzzyxxzJy 22 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 dxdydzzyxyxJz 22 3 万有引力问题 3 万有引力问题 zyx 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 6 空间物体的质量点密度为 空间中一点有质量为m的质点 则空间物体对质点的万有引力问题为 000 zyx zyx FFF dxdydz zzyyxx zyxxx kmFx 2 3 2 0 2 0 2 0 0 dxdydz zzyyxx zyxyy kmFy 2 3 2 0 2 0 2 0 0 dxdydz zzyyxx zyxzz kmFx 2 3 2 0 2 0 2 0 0 改变的积分次序 yxx dzzyxfdydxI 0 1 0 1 0 dzdx 解 y yz zy z y yzy yy y yzy yy yxyyxx dxzyxfdydzdxzyxfdydz dxzyxfdzdydxzyxfdzdy dxzyxfdzdxzyxfdzdy dzzyxfdxdydzzyxfdydxI 1 0 1 0 1 0 11 0 1 0 111 0 1 00 111 00 1 0 0 1 0 1 00 1 0 1 0 例14 9 例14 9 设 其中连续 且 求 2222 222 tzyx dxdydzzyxftF uf 5 0 lim t tF t 0 0 1 0 ff tF 解 tt tzyx drrrfdrrrfdddxdydzzyxftF 0 22 0 22 0 2 0 222 4sin 2222 4 22 tfttF 5 4 0 5 4 lim 5 4 5 4 lim lim 2 2 0 4 22 0 5 0 f t tf t tft t tF ttt 1 222 32 zyx dxdydzzyxI例14 10 例14 10 求 解 由对称性对称性 0 111 222222222 zyxzyxzyx zdxdydzydxdydzxdxdydz 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 3 4 3232 32 11 222222 zyxzyx dxdydzdxdydzzyxI 例14 11 例14 11 设 证明 1 0 Cxf 3 1 0 1 0 1 6 1 dxxfdzzfyfxfdydx x y x 证明证明 记 则 x dttfuF 0 1 0 11 0 1 x y xx y x zdFdyyfdxxfdzzfyfxfdydx 1 0 1 x dyxFyFyfdxxf 1 0 1 x ydFxFyFdxxf 1 0 1 2 2 1 dxxFyFxf xy 1 0 1 2 1 2 1 xdFxFF xy 3 1 0 6 1 dxxf 1 0 3 1 6 1 xFF 例14 12 例14 12 证明 1 1 2 1 1 222 dtttfdxdydzzf zyx 解 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 222 dtttfdz z zf ddzzfddxdydzzf z zyx PfA P max 1 Cf例14 13 例14 13 设 RRf 3 且 M R Advzyxf V I 4 1 MfgradP 证明 其中 V是 域的体积 SPP 0 0 0PP r zyx Pf Pfzyxf 证明证明 dvr zyx Pf Pfdvzyxf PP0 0 dvrfgradA PP0 2222 Rzyx dvrRMVA 43 4 RM AV MR AV M R Advzyxf V I 4 1 即 14 5 近两年的考题 14 5 近两年的考题 例14 14 03 1 例14 14 03 1 设函数连续且恒大于零 xf 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 7 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 22 222 tD t dyxf dvzyxf tF 2222 tzyxzyxt 222 tyxyxtD 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 8 其中 讨论在区间 内的单调性 tF 0 t t t t t t df drrrf df drrrf dfd drrrfdd tF 0 2 0 22 0 2 0 22 0 2 2 0 0 22 0 2 0 2 2 4 sin 证明 1 0 2 2 0 2 0 222 0 222 t tt df drrrfttfdfttf tF tF在区间内的单调增 0 第一类曲线积分 概念 性质 计算及应用 第一类曲线积分 概念 性质 计算及应用 1 第一类曲线积分的定义与性质 1 第一类曲线积分的定义与性质 设弧段 记作 ABL 3 R 是中的一条逐段光滑的曲线 函数定义在上 把 zyxfL L任意地分成n个子弧段 ii PP 1 2 1ni BPAP n 0 每一段子弧段的弧长 分别为 在每一段子弧段上分别任取一点 i l iiii Q 作 Riemann 和 n i iiii lf 1 n lll max 21 0 如果当再记时 上述 Riemann 和的极限存在 且该极限 值与子弧段的分法和点的取法无关 则称该极限为函数在曲线 上的第一 类曲线积分 记作 AB zyxfL n i iiii LAB lfdlzyxfdlzyxf 1 0 lim 函数为被积函数 为积分路径 为弧微分 AB zyxfdl0 dlL Riemann 和 的极限存在 且该极限值与子弧段的分法和点的取法无关 的充分条件是在曲线 上连续 n i iiii lf 1 AB zyxfL 第一类曲线积分的性质 1 BAAB dlzyxfdlzyxf 2 若 则 21 LLL dlzyxfdlzyxfdlzyxf 21 LLL 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 3 LLL dlzyxgdlzyxfdlzyxgzyxf 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 9 4 若在曲线 上连续 则存在 AB L zyxfL使 Lfdlzyxf L 其中为曲线的弧长 L 2 第一类曲线积分的计算 2 第一类曲线积分的计算 设曲线的参数方程为 t tzz tyy txx L 又设在曲线 上连续 则弧长微分 zyxfL dttztytxdl 222 第一类曲线积分可按下式计算 dttztytxtztytxfdlzyxf L 222 特别在 X Y 平面上 有依赖于弧长微分不同表达的三种计算模式 dxydl x 2 1 dttytxdl 22 ddl 22 上述第 3 个公式是基于极坐标 注意 第一类曲线积分化成定积分时 积分下限一定小于积 分上限 0 aayx L xydl例14 15 例14 15 求 其中是正方形L 0 0 0 0 aDaCaBaA 解 设 02 2 2 2 0 0 a a DACDBC dxaxxdxaxx dxaxxdxa xydl 0 0 a a AB L xx xydl 1 3 1 4 1 22 yx L dlyxxy 432 22 例14 16 例14 16 98 设为椭圆L 其周长为a 求 解 解法一 由的方程 1243 22 yxL LLL xydladlxydlyxxy212 212 432 22 02 L xydladlyxxy L 12 432 22 由对称性 故 2 0 sin3 cos2 y x L 解法二 LL xydladlyxxy212 432 22 0cos3sin4sin3cos2 2 0 22 dxydl L L dlx2例14 17 例14 17 为球面 与平面 2222 Rzyx L0 zyx的交线 求 LLL dlzdlydlx 222 解 由对称性 故 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 32222 3 2 3 1 Rdlzyxdlx LL 例14 18 例14 18 计算 其中是封闭路径 Lxydl LOABO 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 网址 电话 82378805 10 解 BOABOAL xydlxydlxydlxydl 00 OAOA dlxydl 2 1 1 1 0 ydyxydl AB 120 1 24 55 2 1 1 0 22 dxxxxxydl BO 例14 19 例14 19 求 L dlyx 3 4 3 4 其 中为 星 型 线 其 方 程 为L 3 2 3 2 3 2 ayx 1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 L L dlyxdlyx 2 xy 1 B A O 解 由对称性可知 其中 为在第一象限的部分曲线 L 1 L 20sin cos 33 ttaytax 星型线的参数方程为 dtttadlsincos3 故 3 7 2 0 44 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 sin cos3 sin cos4 4 1 adtttattadlyxdlyx L L L dlyx 例14 20 例14 20 求 其中双纽线的右半支 的参数方程为 L 44 2cos ar sin cos ryrx d a drrdyxdl 2cos 2222 解 2 4 4 2 4 4 2 sin cos 2cos sin cos adad a rdlyx L 0 L ldy实际上 由对称性 例14 21 例14 21 求圆柱面被抛物面及 2 xcz 222 Ryx 0 z所截成的一段的侧面积 解 侧面积 其中为曲线在 222 2 Ryx xcz L dlxcA 2 Lyx 平面上的投影 L的参数方程为 20 sin cos t tRy tRx Rdtdttytxdl 22 3 2 0 222 2cos RRcRdttRcdlxcA L 2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话 62701055 第一类曲面积分可以求柱面面积 2 0 sin cos ttztytxyx 例14 22 例14 22 设圆柱螺旋线的密度分布与无关 而与 成正比 求着一