2010水木艾迪高数强化班讲义-7.pdf

谭泽光 1 第 7 讲 多元函数微分学 第 7 讲 多元函数微分学 一一 考纲要求考纲要求 考试内容考试内容 1 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限和连续 的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 2 多元函数偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 3 多元复合函数 隐函数的求导法 二阶偏导数 考试要求考试要求 1 理解多元函数的概念 理解二元函数的几何意义 2 了解二元函数的极限与连续性的概念 有界闭区域上连续函数的性质 3 理解多元函数偏导数和全微分的概念 会求全微分 了解全微分存在 的必要条件和充分条件 了解全微分形式的不变性 4 掌握多元复合函数一阶 二阶偏导数的求法 5 了解隐函数存在定理 会求多元隐函数的偏导数 二 内容提要 二 内容提要 多元函数微积分的八大概念 多元函数微积分的八大概念 八大概念 一个公式 两方面应用 八大概念 一个公式 两方面应用 一 多元函数 二 多元极限 四偏导数 五微分 积分 六重积分 七曲线积分 八曲面积分 三连续 谭泽光 2 1 1 多元函数概念 区域的概念 定义域的表示 多元函数 n fRR 1 n uf xf xx 向量函数 nm FRR 函数的表示 显式 zf x yuf x y z 隐式 0 f x yyy x 0 f x y zzz x y 参数式 xx u v yy u vzz x y zz u v 2 多元函数的极限及连续 与一元函数的不同之处 3 多元函数的可微性 4 偏导与微分的计算 复合函数导数公式 隐函数求导 三 典型例题 三 典型例题 1 极限与连续性等概念问题极限与连续性等概念问题 例1 例1 若 sin 0 0 x y x f x y x yx 求 0 0 lim x y f x y 解 令xyu ay u u x xy ayu ay x lim sin lim sin lim 00 严格一点 新定义 sin 0 0 0 0 xxyxyx y f x yy yx 例2 例2 求 22 0 0 lim yx xxy y x 解1 设 sin cos 22 yxyx 2 2200 0 sincoscos limlim x y yx x xy 0 lim sincoscos 0 谭泽光 3 解2 2 2222 2 0 xxyyx x xyxy 222 22 xxy xy 22 22 22 2 2 xy xy xy 解3 2222 02 xyyx x xx xyxy 注 注 22 12 xy xy 例3 例3 求 2 22 lim x y x yx xy 解 2 1 22 yx xy 0lim 2 22 x y x yx xy 例4 例4 求 yx x ay x x 2 1 1lim 解 e xx yx x x ay x yx x ay x 1 1lim 1 1lim 2 例5 例5 22 2 0 0 lim yx yx y x A 0 A 2 1 B 1 C 不存在 D 解 2 0 2222 2 00 22 x x y xxyx xyxy 例6 例6 极限不存在的例题 22 0 0 lim yx xy yx 解 沿不同的路径 极限不同 例7 例7 2 2 0 xyif xyf yxf i1 研究 lim 0 0 yxf y x 的存在性 解 显然有 当 yx沿x轴或者y轴趋向于原点 0 0 时 谭泽光 4 yxf趋向于零 而且当 yx沿从原点出发的 任意一条射线趋向于原点时 都有 yxf趋向于零 即 0 lim 0 tbtafRba t 但是 当 yx沿抛物线 0 2 xxy从原点趋向于原点时 有 011lim lim 0 2 0 xx xxf 证明了极限 lim 0 0 yxf y x 不存在 注 多元函数的极限问题要比一元函数的情形复杂得多 必须要考察 动点 yx以各种不同方式趋向于定点 00 yx 时 函数的变化趋势 例例8 95 二元函数 22 22 22 0 0 0 xy xy xyf x y xy 在 0 0 A 连续且偏导数存在 B 不连续但偏导数存在 C 连续但偏导数不存在 D 不连续且偏导数不存在 解 答案为 B 2 222 00 lim lim 1 1 xx y kx kxk f x y kxk 与k有关 因此二重极限 lim 0 0 yxf yx 不存在 yxf在 0 0 不连续 0 00 lim 0 0 0 lim 0 0 00 xx fxf f xx x 0 00 lim 0 0 lim 0 0 00 yy fyxf f yy y 选项 B 正确 谭泽光 5 例例 9 96 设 00 yx是函数 yxf定义域内的一点 则下列命题中 一定正确的是 A 若 yxf在 00 yx可导 则 yxf在 00 yx连续 B 若 yxf在 00 yx可微 则 yxf在 00 yx连续 C 若 yxf在 00 yx可导 则 yxf在 00 yx可微 D 若 yxf在 00 yx可微与 yxf在 00 yx可导等价 解 A 不对 例如 22 22 22 0 00 xy xy xyf x y xy 在 0 0 点 可导 两个偏导数都存在 但 yxf在 0 0 不连续 B 正确 C 不对 例如 22 22 22 0 00 xy xy xyf x y xy 在 0 0 可导 但 yxf在 0 0 不连续 因此 yxf在 0 0 不可微 因为函数若在一 点可微 必然在该点连续 D 不对 故选项 B 正确 注 本题考察二元函数在一点的连续性 可导性 即偏导数存在性 Axf xx lim 0 存在 xf 在 0 x 点偏导连续 xf 在 0 x 点可微 xf 在 0 x 点 偏 导数存在 xf 在 0 x 点连 谭泽光 6 可微性之间的关系 在一元函数中 题中的四个命题全是正确的 可 在多元函数中却不是 这正是一元函数与多元函数的本质区别 例 10 例 10 设xyyxf 则在 0 0 点 B A 连续 但偏导数不存在 B 偏导数存在 但不可微 C 可微 D 偏导数存在且连续 解题思路 xyyxf 在 0 0 的两个偏导数都等于零 如果 xyyxf 在 0 0 可微 则0 0 0 df 从而 yxdfyxf 但它不是 22 yx 的高阶无穷小 例例 11 100 设 22 22 22 0 0 0 x y xy f x y xy xy zf t t 则 A 0 0 0d f B 0 0 t dz C 0 1 2 t dz D 0 1 2 t dzdt 解 答案为 D A 因 0 0 0df 0 0 0 0 fdfoo 220 0 0 0 lim0 x y fxyf xy 因此 0 0 0df 220 0 0 0 lim0 x y fxyf xy 是否有成立 今 22 2200 00 0 0 limlim xx xy xyfxyf xy xy 22 0 0 lim x y x y xy 因为 222 2 0 22 0 1 1 limlim k k xk xk yx yx x kxy x 与k有关 极限不存在 因此 yxfz 在 0 0 不可微 A 不对 值得注意的是 0 00 lim 0 0 0 lim 0 0 00 xx fxf f xx x 0 00 lim 0 0 0 lim 0 0 00 yy fyf f yy y 谭泽光 7 由 2 0 20 0 ttt z tf t t t 1 2 dz t dt 故 D 正确 注 本题中 zf x y 在 0 0 不可微 因此不能用链式法则来求 0t dz dt 若用链式法则求 0t dz dt 则会导致 0 0 0 0 0 0 txy dz ff dt 这显然是错误的 例例 12 98 设 yxf在 0 0 的某个邻域内有定义 且3 0 0 x f 1 0 0 y f 则下面结论中正确的是 A dydxdz 3 0 0 B 曲面 yxfz 在点 0 0 0 0 f处的法向量为 1 1 3 C 曲线 0 y yxfz 在点 0 0 0 0 f处的切向量为 3 0 1 T D 曲线 0 y yxfz 在点 0 0 0 0 f处的切向量为 1 0 3 T 解 答案为 C A 不对 因为题中条件只给了偏导数存在性 不能保证 yxfz 在 0 0 处可微 B 不对 不能保证 yxfz 在 0 0 可微 也就保证不了曲线 yxfz 在 0 0 0 0 f处切平面的存在 C 曲线 0 y yxfz 的参数方程可以理解为0 0 xx y zf x 该曲线在 0 0 0 0 f 处的切向量为 1 0 0 0 1 0 3 x Tf 故 C 是正确的 D 不对 例例 13 97 yxf在 0 0 的某个邻域内定义且 yxf在 0 0 连续 2 22 0 0 lim1 x y f x yx xy 则下列结论中正确的是 B A 0 0 是 yxf的极大值点 B 0 0 是 yxf的极小值点 谭泽光 8 C 0 0 不是 yxf的极值点 D 无法断定 0 0 是否为 yxf的极值点 解 解 1 首先 2 22 0 0 lim1 x y f x yx xy 2 0 0 lim 0 x y f x yx 2 0 0 0 0 lim lim0 x yx y f x yx 由于 yxf在 0 0 连续 所以 0 0 0 0 lim 0 x y ff x y 其次 2 22 0 0 lim10 x y f x yx xy 故存在某个 0 0 的邻域 在该邻域 0 22 2 yx xyxf 2 0f x yx 2 0f x yx 2 0 0 0 f x yxf 0 0 是 0 0 0f 的极小值点 解 解 2 2 22 0 0 lim1 x y f x yx xy 2 22 1 1 f x yx o xy 22222 f x yxxyo xy 2222 2 f x yxyo xy 因对任意给定的 0 0 x y 考察 tt x yt x t y 0t 时 2222 2 tt f xyxyto t 22 2 0 lim20 tt t f xy xy t 0 0 是 0 0 0f 的极小点 注 本题考察极值点的定义以及二元函数极限的性质 例例 14 设 yxyxyxf 其中 yx 在 0 0 点连续 证明 f x y在 0 0 点可微 解 解 0 0 0 0 yxyxfyxff 因为 yx 在 0 0 处连续 即 0 0 lim 0 yx 0 0 1 xyo 0 0 0 0 0 0 1 fxyoxy 而 谭泽光 9 222200 00 0 0 0 0 0 0 1 limlim0 xx yy fxyoxy xyxy f x y 在 0 0 点处可微 dydxyxdf 0 0 0 0 0 0 这样做是不对的 这样做是不对的 xy df x yx yxyx ydxx yxyx ydy 令0 0 yx 0 0 0 0 dydxdf 注 注 从本题看出 两个不可微函数之积有可能是可微的 更一般的结论是结论是 若 g x y在 0 0 可微 h x y在 0 0 连续 0 0 0g 则fg h 在 0 0 可微 证明 证明 0 0 0 0 0 0 fgxyhxygh 0 0 0 0 0 0 0 0 gxyhxyghxyghxygh 0 0 0 0 0 0 hxyggh 0 0 0 0 gg hxyxyo xy 0 0 0 0 0 0 1 gg hoxyo xy 0 0 0 0 0 gg hxyo xy 例例 15 函数 yxyxyxf 其中 yx 在 0 0 点附近有 定义 当 yx 满足什么条件时 yxf在 0 0 点 连续 2 偏导数存在 3 可微 解 解 因为因为 0 0 fxyxy 当0 0 0 f 且 yx 在 0 0 点附近有界时 00 lim 0 0 lim 0fxyxy yxf在 0 0 连续 当 yx 在 0 0 点连续 且0 0 0 时 谭泽光 10 0 0 fxyxy 0 0 1 xyo 1 xy oo 0 00df yxf在 0 0 点偏导数存在 都为零 且 yxf在 0 0 点可微 例例 16 f x 在 n R上连续 且 1 0 x 时 0f x 2 0 c f cxc f x 证明 存在 0 0 ba 使 a xf xbx 证明 证明 f x x 有界 af x xb 注 多元连续函数在有界闭区域上的性质 最大最小值定理 介值 定理 零点定理 例例 17 91 22 22 22 22 0 0 0 xy xyxy f x yxy xy 0 0 xy f 解 解 由定义 0 0 0 0 0 0 lim xx x y y fyf f y 先求出 0 0 x f及 0 0 yyfx 0 00 lim 0 0 0 lim 0 0 00 xx fxf f xx x 0 y时 lim 0 lim 0 22 22 00 y yx yx y x yfyxf yf xx x 00 0 0 0 0 0 limlim1 xx x y yy fyfy f yy 同样可得 0 0 0 y f 22 22 00 0 0 limlim y xy f xyf xxy fxxx yxy 00 0 0 0 0 0 limlim1 yy yx xy fxf x f xx 谭泽光 11 2642246 3 22 99f x yxx yx yy x y xy 注 1 偏导数的定义 yx yxf 00 2 0000 0 lim yy x fxx yfxy x xy yxf 00 2 0000 0 lim xx y fxyyfxy y 2 2 若二阶混合偏导数 2 f x y 连续 则与求导次序无关 即 xy f yx f 22 本题中 yxf是分段函数 求 0 0 xy f主要考察偏导 数的定义 用相同的方法可求得 0 0 1 yx f 结果发现 0 0 0 0 xyyx ff 这是因为 xy fx y与为 xy fx y在 0 0 处不连续 当 xy f与 yx f在 00 yx处连续时有 0000 xyyx fxyfxy 2 多元函数微分法多元函数微分法 例例 18 99 f二阶偏导数连续 zf x xy 记xyv 则 A 222 22 zff y xxx v B 222 22 2 zff y xxx v C 2222 222 2 zfff yy xxx vv D 2222 2 222 2 zfff yy xxx vv 解 答案为 D 根据复合函数的链导法则 有 12 z f x xyfx xyy x 12 fy f 2 12 2 fy fz xx 11122122 fy fy fy f 2 111222 2fy fy f 因此选项 D 正确 谭泽光 12 注 求二阶偏导数时应注意的是对一阶偏导数求导时仍然要用链导 法则 题中 A B C 三个选项都是常见的错误 例例19 103 设 zf xy xy xy 2 fC 求 2 z dz x y 解 解 123 z ffyf x 123 z ffxf y 123123 zz dzdxdyffyf dxffxf dy xy 2 123 zz ffyf x yyxy 312 3 fff fy yyy 1112132122233313233 ffxfffxffy ffxf 11132223333 fxy ffxy ffxyf 注 本题也可利用一阶全微分形式的不变性求dz dzdf xy xy xy 123 f d xyf d xyf d xy 123 f dxdyfdxdyfxdyydx 123123 ffyf dxffxf dy 例20 例20 设 x y xg y x yfu 其中gf 有连续的二阶导数 求 yx u y x u x 2 2 2 解 令 x y w y x v 则 g x y gf x u 2 2 ufy fgg xxxxx 2 2223 11yyyyy fgggfg yxxxxyx 谭泽光 13 2 2 111uuxy fggg x yyxyxxxx 22 xy fg yx 于是0 2 2 2 yx u y x u x 例21 例21 设 yxzz 二阶连续可微 并且满足方程 02 2 22 2 2 y z C yx z B x z A 若令 yxv yxu 试确定 之值 使原方程为 0 2 vu z 解 将yx 看成自变量 vu 看成中间变量 利用链式法则得 z vuv z u z x v v z x u u z x z z vuv z u z y v v z y u u z y z z vuv z vu z u z v z u z xx z 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v z vu z u z v z u z yy z z vu 2 2 22 2 22 v z vu z u z v z u z xyx z z vuvu 由此可得 2 22 2 2 20 y z C yx z B x z A vu z CBA u z CBA 2 2 2 2 22 2 2 2 2 v z CBA 0 只要选取 使得 02 02 2 2 CBA CBA 可得 0 2 vu z 问题成为方程02 2 tCtBA有两不同实根 即要求 谭泽光 14 0 2 CAB 令ACBB 2 ACBB 2 即可 此时 0 2 vu z 0 2 vu z 0 v z u v v z ufdvvz yxgyxfvgufz 例22 例22 2 zf xx x 且f与 的二阶偏导数连续 求 2 2 d z d x 解解 2222 1212 2 zxfxx xfxx xx xxx x 111212 2zxffx 21221212 22ffxx 2111221222 2 2fx 111212 22fxf 2 1222 2xf 11122222 21 22xxf 例例23 2 Cyxu 又0 2 2 2 2 y u x u xxxu 2 2 2 xx u x y x x 求 22 2 2 2 xxxx u x yu x y xx y 解解 2 2 xx u x y x x 2 1 2uxxx 两边对x求导 1112 2 2 22uxxuxxx 1 xxxu 2 12 2 221uxxuxx 2 2 1 2 2 x uxx 1222 2 2 2uxxuxxx 2 由已知 1122 2 20uxxuxx 3 1 2 3 联立可解得 22 22 2 2 4 3 xxxx u x yu x y x xy 谭泽光 15 2 2 5 3 xx u x y x x y 例24 例24 104 由 22 ln arctan uxy vy x 将 zz x y 中vu 作为自变量 变换方程 0 zz xyxy xy