物理学基地班分析力学讲义四.pdf

第五章刚体的运动 刚体 特殊的质点组 任何两个质点之间的距离保持 不变 刚体的形状和大小都不变化 自由度降低 引入两套坐标系 确定刚体在空间的位置 即 静止坐标系 固连在刚体中的坐标系 参与刚体的全部运动 它的原点在静止坐标系中的位矢为 注 下图中oxyz为从静止坐标系过渡动坐标系的坐标系 刚体相对于静止坐标系的位置完全由运动坐标系的 位置来确定 由于刚体中任意两点的距离保持不变 确定 了动坐标系 则刚体上各点的位置就完全确定 确定运动坐标系的原点o R0 3个自由度 平动 确定运动坐标系的三个轴 ox1 ox2 ox3由3个独立的角 度确定 3个自由度 转动 刚体有6个自由度 重点 欧勒角 如图2 过o作oxyz和Ox0y0z0平行 分三步将oxyz转 到ox1x2x3的位置 1 将oxyz绕z轴转角 使ox 转到垂直于zx3平面的 位置oN 2 绕oN轴转角 使z轴转到ox3位置 3 再绕 ox3轴转角 使oN轴转到 ox1位置 ox1 与 ox3 确定 则 ox2 确定 定义为欧勒角 确定自转轴位置 确 定绕自转轴转动的角度 x N x y z z y O 刚体的基本运动形式 平动 转动 平动规律 质量集中在质心上的单质点运动规律 重点 转动 转动的特点 绕不同轴的转动之间有相互关联 1 5 1 刚体的角速度 角动量与转动能量 一 不同转轴转动之间的关联角速度矢量 线位移 沿不同方向彼此独立 A B B A 平行四边形法则 但 对转动 绕不同轴的转动 彼此之间互相关联 例子 书的大角度转动 显然 绕不同轴转动有限角度 与先后次序有关 并不 独立 结论结论 两个有限转动的合成不服从平行四边形法则两个有限转动的合成不服从平行四边形法则 不不 能看成矢量能看成矢量 注意 矢量 有大小 方向 且满足平行四边形法则 的量 然而可证明 无限小角位移是矢量无限小角位移是矢量 设 刚体绕通过o点的轴线转动了一个微小角度 沿轴线方向作一有向线段 这一 转动引起矢径r的变化 则 转动后 转动 空间变换 转动变换的数学表示 设 绕两个不同轴的转动 1 先转 后转时 r 变为 2 先转 后转 r 变为 两者之差 对于无限小转动 略去二阶小量 体现关联 顺序不一样 结果不一样 则 即 两个无穷小转动与次序无关 两个无两个无穷小转动与次序无关 两个无 穷小角位移相加服从平行四边形法则穷小角位移相加服从平行四边形法则 r 任意 结论 无穷小角位移是矢量无穷小角位移是矢量 二 角速度矢量 定义 瞬时角速度 矢量 现证明 角速度与转动中心 转轴 的选择无关 指的是 转动是一样的 坐标系是任意的 设 Oxyz 固定坐标系 ox1x2x3 运动坐标系 R o点对Oxyz的矢径 R0 刚体上点P的矢径 R 对Oxyz rop 对ox1x2x3 绕o点转动的角位移 矢径 rop在转动后所发生的位移为 则 固定坐标系 P点速度 o点速度 是以o点为中心的角速度 平动 转动 对另一点o 且oo a 同理有 现设 o 为转动中心 以o 为原点的坐标系中 P点 的矢径为r op 则rop r op a 另一方面 o 代替o时 有 是以点为中心的角速度 于是 角速度不因转动中心 坐标系 的选择而变 通常 以刚体的质心作为运动坐标系的原点 此时 V0 质心的速度 三 角动量矢量与转动惯量张量 1 刚体平动 单个质点的运动 P M V 2 定轴转动 L I 3 刚体绕o点的转动 刚体 质点组 对o点的总角动量 又 并矢 同理 有 比较 定轴转动 即 L和共线 定点转动 转动惯量不再是常数 而是一个并矢 转动惯量张量 同理 有 上式为的矩阵形式 并矢有九个分量 的矩阵形式 令 定义 为刚体对三个坐标轴x y z的转动惯量 为惯量积 质量连续分布 四 惯量主轴 定义了转动惯量 惯量积后 得到 上式表明 角动量并不和角速度成正比 此时 刚体 绕某一轴转动时 会在另一轴的方向上产 生角动量 绕不同轴的转动相互关联绕不同轴的转动相互关联 绕任意轴转动 角动量一般不和角速度共线 但 绕某些特殊轴转动 L可能与共线 此时 目的 找到这些轴 因为 所以 本征值方程本征值方程 即 关于的线性齐次方程组 非零解条件 I I 有三个正实根 Ia a 1 2 3 由 Ia 的三组解 三组解的方向决定了角动量与角速度共线的 三个方向 这三个方向称为刚体的惯量主轴 Ia 沿主轴方向的转动惯量 实际上 就是前面讲的本征值方程 即 由上式可解出相互垂直的本征方向 即角动量与角速度共线的方向或惯量主轴 在三个相互垂直的惯量主轴上 以三个本征值 Ia为半轴作出的椭球 称为刚体的惯量 椭球 它就是转动惯量矩阵的本征椭球 若选相互垂直的三个惯量主轴作坐标轴 则 所 有的惯量积都为零 为什么 此时 转动惯量张量 具有对角形式 在这一坐标系中 成为 对以上结论的证明 设为的本征矢 本征值为 于是有 又设为方向上的单位矢量 即 则 由于满足正交归一条件 所以也可以 选其作为一个坐标系的基矢 转动惯量张量在这一坐 标系下的分量为 上式的矩阵形式为 上面讨论了转动惯量张量在不同坐标系下的形式 现在来讨论在基矢中的表示形式与在基 矢中表示形式之间的变换关系 因为 转动惯量张量的对角形式 其中为坐标变换矩阵 是其逆矩阵 由于与 均为正交归一矢量组 所以它们之间的变换矩阵A是正交 矩阵 即满足条件 因此 有 即 一般情况 求惯量主轴要求解本征值方程 但 对于具有对称性的刚体 容易找到惯量主轴 例 刚体是一个边长为a b c的质量均匀分布的长方 体 则通过长方体中心的惯量主轴方向就是a b c的方向 例 惯量积的计算 同理 其它的惯量积均为零 转动惯量张量对角化转动惯量张量对角化 势能 刚体质量全部集中在质心时的质点的势能 重点讨论 动能 第一项 质量集中在质心上的平动动能 五 刚体能量五 刚体能量 研究 刚体的自由运动和在重力场中的运动 第二项 选质心为坐标原点 rc 0第二项 0 第三项中的 1 5 2 刚体的运动方程 刚体 6个自由度自由度数目减少 例子 绕固定点的转动 3个自由度 定轴转动 1个自由度 在有约束的情况下 关心刚体本身的运动 约束反力 但 由拉格朗日方程不容易得到约束反力 以前仅讨论理想约束 办法 回到牛顿表述 一 动量定理定点转动角动量定理 刚体 特殊的质点组 考察刚体整体运动 R0 质心在静止系中的矢径 对第a个质点 其中 ra 以质心为原点的运动坐标系的矢径 因为 所以 作和 其中 对固定点o的总角动量 对固定点o的总力矩 对固定点的角动量定理 以质心为坐标原点时 仍在惯性系中 有 对上式作和 又 则 令 则 对质心的角动量定理 描述刚体的运动方程组为 二 刚体的静平衡 平衡时 平衡方程 例题 见p88 例1 三 刚体的动平衡 见p88 略 四 刚体绕定点的自由运动 刚体绕定点的自由运动 不受外力或外力通过固定点 例子 地球的公转 分子的转动 此时 有 外力为零时 质心 匀速运动 绕质心的转动 且角动量守恒 设 e1 e2 e3 为三个惯量主轴方向 I1 I2 I3 为 沿这三个主轴的转动惯量 则 讨论 1 I1 I2 I3 球对称陀螺 任意选取三个相互垂 直的轴作惯量主轴 此时 2 I1 I2 I I3 0 转子 即 L在 x1x2平面内 ox3 3 I1 I2 I3 对称陀螺 I1 I2 I3 不对称陀螺 例 扁平均匀球体的地球就是一个对称陀螺 此时 平面x1x2内的任一轴都是主轴 选ox3轴在屏幕 所在平面 ox3垂直 x1x2平面 同时取L 也在屏幕平面 将分解到 x3和L 的方向上 分别称为和 并设它们之间的夹角为 显然有 在同一平面ox1x3 另取 ox2 L L2 0 L在 ox1x3 平面内 L与ox3的夹角 L与ox1的夹角 L在ox1轴的投影 由图 在ox1上的分量相等 在ox1轴无分量 则 又不变 对做自由运动的对称陀螺 可由后面 的欧拉动力学方程证明此结果 见PPT p29 L与ox3轴的夹角不变 规则进动 对于对称陀螺自由转动 有 绕 ox3转动 ox3轴绕空间固定轴 L轴 进动 且ox3与L之间的夹角保持不变 见前面图3 五 欧勒运动学方程 对称陀螺的基本运动有 1 刚体绕对称轴的自转 2 自转轴绕空间固定轴的进动 precession 3 自转轴和固定轴间夹角的章动 nutation 用欧勒角描述这三种运动 设 o 固定点 oz 固定轴 刚体绕固定轴oz转过的角度 进动角 进动角速度 沿oz方向 刚体绕ox3转过的角度 自转角 自转角速度 沿ox3方向 ox3和oz间的夹角 章动角 章动角速度 沿oN方向 当时 当时 所以oM oM oz ox3在同一 平面 且有 oM 在水平面 oM 在平面 1 在x1x2平面 它在 x1 x2 x3 的分量 由图4 有 2 在 ox3 上的投影为 在 oM 上的投影为 而 ox1 ox2 oM 又在同一平面 再把沿 oM 上的 在 ox1 ox2 轴上进行分解 有 这样在 ox1 ox2的分量为 3 沿 ox3方向 于是在动坐标系 ox1 ox2 ox3的分量为 若 已知 则 可计算 六 欧勒动力学方程 刚体的运动方程为 而中不是常数 这样要得到M与的 关系很困难 办法 建立运动坐标系 坐标轴沿三个惯量主 轴方向 此时 设 矢量A 相对静止坐标系的改变量 若 A相对于运动坐标系不变 则仅仅是由于运动 坐标系转动而引起的 故 一般情况 A 相对于运动坐标系改变 说明如下 设 K K分别为静止坐标系和运动坐标系 如图 现在 K K系中分别求矢量 A t 随时间的变化率 i j k K系中的单位常矢量 i j k 对 K 系不是常矢量 即 在 K 中对矢量 A t Ax t i t Ay t j t Az t k t 求导 得 A在运动坐标系中的改变 令 A L 得 又 所以 对运动坐标系 有 而 欧勒动力学方程 应用欧勒动力学方程的例子 对称陀螺的自由运动 当对称陀螺做自由运动时 根据欧勒动力学方程 有 得到 于是 有 1 5 3 非惯性系中的运动 若 将参考系固连在刚体上 只要刚体不是作匀速直 线运动 这一参考系为非惯性系 设 K0系 惯性系 K 系 相对K0系的速度为V t K系 相对K 系的角速度为 则 K系 非惯性系 要做的事 在K系中建立运动方程 设 矢量A A在 K 系中的导数 则 令V0 质点对K0系的速度 v 质点对K 系的速度 v 质点对K系的速度 V K 系对K0系的速度 则 上式右边各项再对时间求导 有 其中 惯性系中 有 非惯性系中的运动方程 f 外力 平动加速度产生的惯性力 角加速度产生的惯性力 科里奥利力 惯性离心力 北半球上的科里奥利力 无论物 体向哪个方向运动 科里奥利力 总是指向物体行进方向的右侧 这可以解释为什么在北半球河流 右岸被冲刷得比较严重 赤道附近的信风 tradewind 在赤道两边的低层大气中 北半 球吹东北风 南半球吹东南风 这种风的方向很少改变 它们年 年如此 稳定出现 很讲信用 傅科摆实验是第一次用地球上的现象证实了 地球自转的存在 在一个作匀速直线运动系统中 的观察者 不能通过内部实验证明自身是否有速 度存在 但在匀角速度系统中则不一样 可以通 过其内部的实验求出它的自转角速度 实验表明 日月星辰的起落是由于地球在自转 而不是星体 在环绕地球转 北半球 落体偏东北半球 落体偏东 设 真实力只有重力 自由落体的初始条件 对动力学方程的第一式 第三式积分 有 将上两式代入动力学方程的第二项 并略去含 2的项 则 由此 得到 轨道方程为 物体落到地面时 z 0 东偏距离为 当 0 东偏距离最大 若 h 200 y 0 06 m 第六章低速宏观运动规律的正则形式 运动规律的表述形式 牛顿形式 拉格朗日形式 哈密顿形式 泊松括号形式 对于拉格朗日形式 有 1 力学系统的描述 2 拉格朗日方程 qq LL qqt 0 q L q L dt d 3 缺点 方程中地位不平等 力学系统的描述改为 q 广义坐标 p 广义动量 q p 有共轭关系 独立 平等 成对 用这一 对变量深刻反映了运动本质 且可得到形 式上更为对称的运动方程 正则方程 1 6 1 哈密顿方程 一 勒让德变换 将 qq pqqq ff dfdxdyP x y dxQ x y dy xy d QyydQQdy ydQPdxQyfd 1 2 又 两式相减 关于 x Q 变量的全微分 勒让德变换勒让德变换 设 f f x y 关于两个变量的二元函数 则 变换后的函数 g f Qy Q Q x y y y x Q 由 Q Q x y 解出 y y x Q f f x y f f x Q 说明 说明 1 1 2 两式相减的另外一种结果为 d Qy f ydQ Pdx 本质上与前面无差别 因此g f Qy g x Q 2 若要将变量 x 变为 P 则 上两式相减 这样 dfP x y dxQ x y dy d PxPdxxdP xdPQdyPxfd PP x yxx P y ff x yff P y PygPxfg 3 对于df Pdx Qdy 若要用 Q 取代 y 则将 df 中的 dy 前面的 Q 乘以被 取代的 y 再减去原函数 f 若要用 P 取代 x 则将 d f 中的 dx 前面的 P 乘以被取代的 x 再减去原函数 f 4 f f x y z 关于三个变量的函数 可推广到 N 元函数 要将 x y z x Q R 采用与前面一样的方法 有 RdzzdRQdyydQRzQyd fff dfdxdydz xyz P x y z dxQ x y z dyR x y z dz d QyRzfydQzdRPdx 二 哈密顿函数 设 t 固定参量 则 tqqLL 11 SS LL dLdqdq qq 而广义动量为 拉格朗日方程为 而 上式中 q p 不对称 q L p 0 q L q L dt d q L p dt d q L p 11 SS dLp dqp dq 目的 作勒让德变换 哈密顿函数 得 pq 1 S Hp qL 111 SSS dp qLq dpp dq 11 SS dHq dpp dq 11 SS L EqLp qL q 又 与比较得 H 就是系统的能量就是系统的能量 E 在中 H 只是 q p 的函数 一般情况 H H q p t 三 哈密顿方程 由 H H q p 得到 1 S Hp qL 1 S Hp qL 11 SS HH dHdqdp qp 比较 于是有 哈密顿方程 正则方程 系统的运动方程 11 SS dHq dpp dq dqH dtp dpH dtq 说明 1 数学上 哈密顿形式上为一阶微分方程 2S个 而 拉格朗日形式上为二阶微分方程 简化数学计算 尤其对于数值计算 2 哈密顿方程中 q p 地位同等 相互共轭的正 则变量 q p 两者差别消失 可建立相空间 见后 3 哈密顿正则形式对称 有利于从经典力学到量子力 学的过渡 4 循环坐标 若 q 是拉格朗日函数的循环坐标 同时 也是哈密顿函数的循环坐标 反之亦然 但是 p 也可以是哈密顿函数的循环坐标 而循环坐标与守恒 量密切相关 力学规律采用哈密顿形式或者后面的泊 松括号形式 更容易找到守恒量 另外 采用哈密顿 形式时 若 q 是循环坐标 则与其共轭的变量 p 守 恒 此时 从变量的角度讲 系统减少了一对变量 从系统自由度的角度讲 自由度由S 减为 S 1 如有 心力问题中 是循环坐标 则 p 守恒 因此在哈 密顿函数中 这一对变量均不出现 由以下表达式也 很容易看到这一点 5 提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分方程 6 有时 并未直接减少求解给定力学问题的困难程度 因为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗 日方程 7 当能量 E 用坐标 q 和动量 p 表示时 其表达式就是哈密 顿函数 H q p 但两者的意义不同 哈密顿函数 H 的意 义在于它作为 q p 的函数形式 而能量 E 是一个物理量 其意义在于它所取的具体数值 1 S B A Sp dqHdtq dtdq 四 最小作用量原理 已讲 由最小作用量原理导出拉格朗日方程 现在 由最小作用量原理导出哈密顿方程 因为 所以 将 L 代入作用量 得 1 S Hp qL 1 S Lp qH B A SLdt 1 S B A Sp dqH dtHdtH dt 111 SSS B A HH pdqp dqqpdt qp 1 S B A HH pdqp dqqdtpdt qp 而 BBB B A AAA p dqpqq dpq dp 0 0 AA qq 0S 1 S B A HH dqdtpdpdtq pq 极值条件 1 S B A HH Spdqqdpqdtpdt qp qp 00 HH dqdtdpdt pq 又互相独立 所以 即 哈密顿方程 五 相空间 定义 仅由广义坐标 q 形成的空间叫位形空间 由q p 这一对共轭变量形成的空间叫相空间 在任一时刻 t 当给定位形空间中一点的 r t 不能 确定质点的运动 为了决定质点的运动 还必须知道这 一时刻位矢的导数 而这意味着需要知道相邻时刻 的 r t 位形空间 位置状态 相空间 运动状态 HH qp pq tr 要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动 将3个坐标分量和3个动量分量 合在一起 形成一个6维欧氏空间 称为这一质点的相相 空间空间 这样 给定相空间中的一点 就完全决定了质 点的运动 质点在相空间中的代表点随时间 t 的变化所描出 的曲线称为质点的相轨迹相轨迹 对于周期运动 相轨迹是 闭合曲线 例如一维谐振子的相图 1 2 3 i x i 1 2 3 i p i 1 6 2 守恒律泊松括号 Poisson Bracket 一 力学量对时间的导数 哈密顿形式下 q p 力学系统的状态 力学量用 q p 来表示的例子 1 一维线性谐振子 2 粒子的能量 角动量 22 222222 1111 222222 pm Hmxkxmxmxx m 2 2 EU m p rLr p 一般情况 f f p q t 则 1 S dqdpdffff dttqdtpdt 1 S fff qp tqp HH qp pq 设 f 力学系统的任意力学量 则 由哈密顿方程 1 S dfffHfH dttqppq 定义 H 和 f 的泊松括号 用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程 11 SS PB fHfHHfHf H f qppqpqqp PB fH t f dt df 说明说明 1 用泊松括号 可以使任一力学量随时间的变化方 程表述得非常简洁 2 泊松括号形式很容易过渡到量子力学 量子泊松 括号 量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见 曾谨言 量子力学 下册 p464 p466 或参见教材 p464 二 用泊松括号表示出的运动方程 因为 1 f 中不显含时间 只含 q 则 2 f 中不显含时间 只含 p PB fH t f dt df 001 tpqfqf PBPB qHqH dt dq 0 010 tpqfpf 则 即 用泊松括号表示的运动方程 实际上 PBPB qH qpH p PBPB pHpH dt dp 0 11 0 SS PBa qqHHHH H q pqqppp 11 0 SS PBa ppHHHH H p pqqpqq 三 能量守恒与动量守恒 设f f p q 不显含时间 t 即 则 又若 f 守恒 不显含时间 t 的力学量守恒的充分必要 条件是它和 H 的泊松括号等于零 0 t f PB fH dt df 0 PB fH 若 H 不显含时间 t 则 H 是守恒量 能量守恒 循环坐标循环坐标 在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标 1 设 H 不包含某一广义坐标 q 则 与循环坐标 q 对应的广义动量 p 守恒 0 q H p 守恒 0 PB H p 2 设 H 不包含 p 则 因此 广义动量也称为循环坐标 这样 在哈密顿表述中 广义坐标概念被推广 q p 地位相等 广义动量也可视为广义坐标 0 p H q 守恒 0 PB H q 四 泊松括号的性质 设任意两个函数 f g f f q p t g g q p t 定义 f 和 g 的泊松括号为 泊松括号的重要性质 1 基本的泊松括号 由正则变量组成 1 S PB fgfg f g pqqp 0 0 PBPBPB qqpppq 2 反对易性 3 分配律 4 结合律 5 若 c 为常量 则 6 求导运算 i PBiPB i i gfgf PB f gg f PBPBPB fffffffff 312321321 0 PB cf PBPBPB x g fg x f gf x x 时间 广义坐标 广义动量等变量 7 线性性质 8 雅可比关系 附 量子泊松括号和海森堡绘景下的运动方程附 量子泊松括号和海森堡绘景下的运动方程 1 设有算符 则量子泊松括号为 PBPBPB gfcgfcgcgcf 22112211 0 PBPBPB gfhfhghgf 11 f gf gg f ii fg 1 6 3 正则变换 一 正则变换 1 目的 找到一坐标系 使得在该系下 循环坐标多 2 正则变换的涵义 广义坐标为 q 1 2 S 是 决定系统中所有质点位置的独立变量 设 Q 为 q 的 单 值可逆函数 即 2 在海森堡绘景下的运动方程为 11 dqHdpH q H q pp H q p dtipdtiq FF q piq F q pp F q p pq Q 决定 q 即决定了系统中所有质点的位置 Q 也是广义坐标 q Q 均在位形空间位形空间 Q Q q1 q2 qS t 是 q Q 之间的变换 例 笛卡尔坐标和球坐标之间的关系 就是这种变换 1212 ss QQ q qq tqq Q QQ t cos sinsin cossin 3 2 1 rx rx rx 都是广义坐标 笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换 变换表示广义坐标的选取不唯一 对拉格朗日形 式 哈密顿表述都如此 但 在哈密顿表述中 q p 地位平等 坐标和动量已 失去其原有的意义 寻找更广泛的变换 Q Q q p t P P q p t 321 r xxx 相空间中的坐标变换相空间中的坐标变换 在变换中 Q P 中同时包含 q p 1 2 S 当 q p Q P 时 哈密顿函数 使得 变中有不变变中有不变 此时称 Q Q q p t P P q p t 为正则变换正则变换 变换的结果 H q p tH Q P t HH QP PQ q p HQ P H 问题的关键 寻找正则变换 二 正则变换的生成函数 由变分原理变分原理 有 类似地 1 0 S B A p qH dt HH qp pq 1 0 s B A P QH dt 由前面变分原理的两个表达式可得 两个被积函 数相差一个任意函数 F 对时间的全导数 即 事实上 而在端点处 HH QP PQ 11 SS dF p qHP QH dt B A AFBFdt dt