考研数学 线性代数讲义第6章向量空间.pdf

2008 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6 1 第 6 章 向量空间 第 6 章 向量空间 6 1 向量空间与子空间 6 1 向量空间与子空间 设设V是是n维向量的集合 若维向量的集合 若V 有 有 V 则称 则称V关于加法封闭 若关于加法封闭 若V k是 是 常数 有常数 有Vk 则称 则称V关于数乘封闭 关于数乘封闭 设设V是维向量的非空集合 如果对于向量的加 法和数乘向量这两种运算封闭 则称 是维向量的非空集合 如果对于向量的加 法和数乘向量这两种运算封闭 则称 n V是向量空间 是向量空间 若向量空间 若向量空间V的非空子集合的非空子集合W是一个向量空间 则称 是一个向量空间 则称W是是V的一个子空间 的一个子空间 6 2 基 维数与坐标 基变换与坐标变换 过渡矩阵 6 2 基 维数与坐标 基变换与坐标变换 过渡矩阵 设 设V是一个向量空间 如果是一个向量空间 如果V中有 个线性无关 的向量 中有 个线性无关 的向量 r r 2 1 且 且V中任一向量都可由这中任一向量都可由这r个 向量线性表出 则称向量组 个 向量线性表出 则称向量组 r 1 2 是空间是空间V的 一个基 基中向量的个数 的 一个基 基中向量的个数r称为向量空间称为向量空间V的维数 并 称 的维数 并 称V为为r维向量空间 维向量空间 设 设 n 21 是 维向量空间是 维向量空间V的一个基 的一个基 n 是是V中任一向量 那么中任一向量 那么 就可以由这个基唯一地线性 表出 设 就可以由这个基唯一地线性 表出 设 nn aaa 2211 则 称 有 序 数 组为 向 量则 称 有 序 数 组为 向 量 n aaa 21 在 基在 基 n 21 下的坐标 记作 下的坐标 记作 T n aaaX 21 2008 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6 2 例 1 已知例 1 已知 4321 是向量空间是向量空间 4 R的一个基 则选项 的一个基 则选项 也是也是 4 R的一个基 的一个基 A A 4321 4321 321 B B 21 32 43 41 C C 21 32 43 41 D D 31 2 42 31 32 42 5 例 2 已知三维线性空间的一个基为 例 2 已知三维线性空间的一个基为 T0 1 1 1 T1 0 1 2 T1 1 0 3 求 求 T0 0 2 在这个基 下的坐标 在这个基 下的坐标 一个向量空间的基是不唯一的 设 一个向量空间的基是不唯一的 设 n 21 和和 n 21 是是n维向量空间维向量空间V的两个基 那么对 于基 的两个基 那么对 于基 n 21 来说 来说 n 21 作为 维向量 空间 作为 维向量 空间V的向量就可以由的向量就可以由 n n 21 线性表出 假设 它们有如下关系 线性表出 假设 它们有如下关系 nnnnnn nn nn aaa aaa aaa 2211 22221122 12211111 2008 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6 3 令 令 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 其中第其中第i列就是列就是 i 在基在基 n 21 下的坐标 于是 上式可写作 下的坐标 于是 上式可写作 A nn 2121 称是由基称是由基A n 21 到基到基 n 21 的过渡 矩阵 的过渡 矩阵 过渡矩阵是可逆矩阵 过渡矩阵是可逆矩阵 设设 n 21 和和 n 21 是维向量空 间 是维向量空 间V的两个基 由基的两个基 由基 n n 21 到基到基 n 21 的过渡矩阵是 又的过渡矩阵是 又PV 在基在基 n 21 和和 n 12 下的坐标分别是 下的坐标分别是 T n xxxX 21 和 和 T n yyyY 21 于是 于是 P nn 2121 且且 X n 21 及及 Y n 21 则向量则向量 在这两个基下的坐标有如下关系 在这两个基下的坐标有如下关系 PYX 或 或 XPY 1 2008 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6 4 例3 已知例3 已知 3 R的两个基为的两个基为 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 3 和和 1 2 1 1 4 3 2 2 3 4 3 3 求由 基 求由 基 321 到基到基 321 的过渡矩阵 的过渡矩阵 例4 已知例4 已知 4321 是 维向量空间是 维向量空间V的一个基 的一个基 43211 4322 433 44 证明 证明 4321 是是V的一个基 的一个基 求由基 求由基 4321 到基到基 4321 的 过渡矩阵 的 过渡矩阵 求在基 求在基 4321 和基和基 4321 下 坐标相同的向量 下 坐标相同的向量 例 已知例 已知 3 R的向量的向量 在基在基 T1 0 1 1 T1 1 1 2 T0 0 1 3 下的坐标是 求 下的坐标是 求 T1 0 1 在 基在 基 T0 2 1 1 T2 1 1 2 T 1 1 0 3 下的坐标 下的坐标 2008 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6 5 6 3 内积 正交化 标准正交基 6 3 内积 正交化 标准正交基 设 设n维向量维向量 T n aaa 21 T n bbb 21 则称 则称 T nnb ababa 2211 为向量为向量 与与 的内积 的内积 向量的内积有以下性质 向量的内积有以下性质 kk 其中 其中k为实数 为实数 0 当且仅当 当且仅当0 时 时 0 当 当 0 时 称向量时 称向量 与与 正交 正交 一组两两正交的非零向量称为正交向量组 一组两两正交的非零向量称为正交向量组 若 若 s 21 是正交向量组 则是正交向量组 则 s 21 线性无关 线性无关 设 设 T n aaa 21 定义向量的长度为 定义向量的长度为 22 2 2 1n aaa 当 当 时 称 时 称 为单位向量 为单位向量 对给定的向量 对给定的向量 是与是与 同方向的单位向量 同方向的单位向量 当向量空间的基是一个正交向量组时 称为正交 基 当向量空间的基是一个正交向量组时 称为正交 基 2008 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6 6 当向量空间的正交基的每个向量都是单位向量 时 称为标准正交基 也叫规范正交基 当向量空间的正交基的每个向量都是单位向量 时 称为标准正交基 也叫规范正交基 设 设 s 21 是一组线性无关的向量 求一组 与 是一组线性无关的向量 求一组 与 s 21 等价的两两正交的单位向量的方法 叫施密特 Schmidt 正交化方法 第一步先作正交 化 等价的两两正交的单位向量的方法 叫施密特 Schmidt 正交化方法 第一步先作正交 化 令 令 11 1 11 12 22 1 11 1 2 22 2 1 11 1 i ii isss ss 第二步再对已经正交的向量作单位化 第二步再对已经正交的向量作单位化 1 1 1 2 2 2 s s s 这是与这是与 s 21 等价的两两正交的单位向量 等价的两两正交的单位向量 例 在例 在 4 R中求一个单位向量 使它与 中求一个单位向量 使它与 T1 1 1 1 1 T2 2 2 1 2 T3 3 1 2 3 都正交 都正交 2008 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6 7 例 设是秩为 2 的例 设是秩为 2 的B45 矩阵 矩阵 T3 2 1 1 1 T1 4 1 1 2 T 9 8 1 5 3 是齐次线性方程组 是齐次线性方程组 0 BX的解向量 求的解向量 求0 BX的解空间的一个标准正 交基 的解空间的一个标准正 交基 例8 设例8 设 n R中向量中向量 121 n 线性无关 线性无关 21 与与 121 n 都正交 试证明都正交 试证明 21 线性相关 线性相关 例9 设是齐次线性方程组 例9 设是齐次线性方程组 T n bbb 21 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 的一个非零解 令 的一个非零解 令 T n aaa 112111 T n aaa 222212 T mnmmm aaa 21 若当时若当时nm m 21 线性无关 线性无关 试证明试证明 21m 线性无关 线性无关 2008 春季班 线性代数 第 6 章 向量空间 6 8 6 4 正交矩阵 6 4 正交矩阵 满足条件 满足条件EAAT 的实方阵称为正交矩阵 的实方阵称为正交矩阵 性质 性质 A是正交矩阵的充分必要条件是 若是正交矩阵 则 是正交矩阵的充分必要条件是 若是正交矩阵 则 T AA 1 A1 A 是正交矩阵的充分必要条件是的个列 行 向量是两两正交的单位向量 是正交矩阵的充分必要条件是的个列 行 向量是两两正交的单位向量 AAn 是正交矩阵的充分必要条件是的个列 行 向量构成一组标准正交基 是正交矩阵的充分必要条件是的个列 行 向