考研线性代数讲义及其答案.pdf

2012 届普鸣学员个性化学习方案 第一章第一章行列式行列式 例 1 上三角行列式 11121 222 1122 0 00 n n nn nn aaa aa Da aa a 例 2 计算n阶行列式 xaaa axaa Daaxa aaax 解 1 1 2 31 1 1 1 xaaaaaa axaaxaa n Dxnaaaxaaxa aaaxaax 把 列加到第 列 提取公因子 1 21 000 31 1 000 1 000 aaa xa xnaxa n xa 行行 行行 行行 1 1 nxna xa 例 3 爪型行列式 1 2 11 10 0 1 2 10 i n a a Dain a 解 1 1 2 2 212 2 11 1111 10 11 00 10 00 n n n n n aa aa a aDaaa aa a a 例 4 设行列式 3040 2222 0700 5322 D 则第 4 行元素余子式之和的值为 解 4142434441424344 MMMMAAAA 2012 届普鸣学员个性化学习方案 3 2 3040 340 2222 7 1 22228 0700 111 1111 练习 计算 222 abc abc bccaab 解 222222222 222 111 111 abcabcabc abcabcabc abc bccaababcbcacab abcabcabc ba ca cb abc 计算 2 2 2 111 222 333 n n n n D nnn 解 21 21 21 111111 222122 1 2 1 333133 1 nn nn n nn Dnn n nnnnn 例6 递推法计算行列式 5 43 143 143 143 14 D 之值 解 543 43 143 43143 143 14 DDD 于是 235 54433221 3 3 3 3DDDDDDDD 那么 5453452345 54321 3333333333364DDDDD 例 7 求解下列三元线性方程组 2012 届普鸣学员个性化学习方案 123 123 123 26 25 22 xxx xxx xxx 解 系数行列式 112 21124 12 1460 112 D 用克拉默法则求方程组的解 因 1 612 51112 212 D 2 162 25112 122 D 3 116 2156 112 D 所以 312 123 2 2 1 DDD xxx DDD 例 8 齐次线性方程组 1234 1234 1234 1234 0 20 30 0 xxxax xxxx xxxx xxaxbx 有非零解时 a b必须满足什么条件 解 齐次线性方程组有非零解 则系数行列式0D 1111001 101 12111100 140 11311040 111 111011 aa a D ab abab 22 4 1 1 4 1 1 40baaab 第二章第二章矩阵矩阵 例 2 设 A B分别是1n 和1n 矩阵 且 1 2 n a a A a 12 n Bb bb 计算AB和BA 解 11 11 21 22 1222 12 12 n n n nnnnn aaba bab aa ba ba b ABb bb aa ba ba b 1 2 121 122 nnn n a a BAb bbbab ab a a 2012 届普鸣学员个性化学习方案 例 3 设 11 11 aabb ABC aabb 计算 AB AC BA 解 00 00 ABAC 22 22 abab BA abab 例 4 设 A B I为同阶矩阵 下列命题哪些是正确的 1 222 2ABAABB 不正确 2 33223 33AIAAAI 为数 正确 3 若 A B可交换 则 AB 与 AB 相乘也可交换 正确 4 222 ABA B 当且仅当ABBA 不正确 例 5 设列矩阵 123 T n Xx x xx E为n阶单位阵 2 T HEXX 证明H是对称阵 证 2 2 2 TTTTTTT HEXXEXXEXXH 所以H是对称阵 例 6 设 1112111211 2122212222 1212 nn nn nnnnnnnn aaaAAA aaaAAA AA aaaAAA 其中 ij A是行列式A中元素 ij a的代数余 子式 证明 n AAA AA E 证 设 ij AACc 其中 1122 1 2 0 ijijijinjn A ji ca Aa Aa Ai jn ji 于是 n A A AAA E A 同理可证 n A AA E 例 7 设 210 120 001 A 矩阵B满足 2ABABAE 则B 解 2ABABAE 右乘A 2ABA ABA AA 2A ABA BA 又 210 1203 001 A 2012 届普鸣学员个性化学习方案 故 36 AE BA 两边取行列式 030 36300 003 AE 1 9 B 例 8 已知 246 123 4812 A 则 n A 答案 1 8 nn AA 例 9 1 1A 求 n A 解 101 101 0 AE 记 01 01 0 B 2 001 00 0 B 3 000 00 0 B 122 12 1 1 1 1 2 1 2 n nnnnn nnn nn n n n AEBEnBB n n n n 例 10 设矩阵A满足 2 40AAE 其中E为单位矩阵 则 1 AE 解 由 2 4 AAEO 有 2 22 AAEE 22 AEAEE 也即 1 2 2 AEAEE 故 11 2 2 AEAE 2012 届普鸣学员个性化学习方案 例 11 下列矩阵 A B是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 其中 1 2 3 321 111 101 b ABb b 解 20A 故A可逆 记 3 3 ij Aa 各元素的代数余子式分别为 111213 111 111 1 0 1 011 110 AAA 212223 213 132 2 2 2 011110 AAA 313233 213132 1 2 1 111111 AAA 故 1 121 11 022 2 121 AA A 1 2 3 0Bbb b 时 即 123 b b b中 没 有 一 个 为 零 时 B可 逆 其 逆 矩 阵 仍 为 对 角 矩 阵 且 1 1 2 3 1 1 1 b Bb b 例 12 设 A B均为n阶可逆矩阵 证明 ABB A 证 由0ABA B 可知AB也可逆 AB ABAB E 所以 1111 11 ABABAB IAB ABA B B A BA B BA ABAB A BA 例 13 设A为反对称矩阵 T AA 且0A B可逆 A B为同阶方阵 A为A的伴随矩阵 则 1 1 T T A AB A B A B B A C T B A D T B A 解 因 1 AA A 则 111 A AA A A 2012 届普鸣学员个性化学习方案 1 1 T T A AB 1 111 1 1 1 T T T T AB BAABA AA 例 14 设 A B 均为n阶方阵 1 2 3 2 BABA求 解 3 2 44222 12 1111111 n n BABABABA 例 15 A A 其中A为n阶方阵 A为A的伴随矩阵 A 2 n A B n A C 2 nn A D 2 1nn A 解 2 11 n n nnn A AAAAAA 例 16 设 A 为 3 阶矩阵 将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B 再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 列得C 记 100 010 011 P 则 A APPC 1 B 1 PAPC C APPC T D T PAPC 解 由初等变换与初等矩阵之间关系知 BPA CB 100 010 011 1 100 010 011 PAPPAC 例17设 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa aaaa A aaaa aaaa 14131211 24232221 34333231 44434241 aaaa aaaa B aaaa aaaa 1 1 1 1 1 P 2 1 1 1 1 P 其中矩阵A可逆 则 1 B 等于 A 1 12 A PP B 1 12 PA P C 1 12 PP A D 1 21 P A P 2012 届普鸣学员个性化学习方案 解 12211221 BAPPAP PPPP P 本题有 又 11 1122 PP PP 例 18 100 012 023 C 求 1 C 解 用初等变换求逆 100 100 012 010 023 001 100100 1 1 012010 322 001 021 行 行行 100100 232 010032 001 021 行行 100100 010 032 001 021 1 100100 012032 023021 B 例 19 设 11 32 32 34 B A C 求 1 A A 解 6AB C 1 21 31 21 33 11 22 A 例 20 若 11 32 32 34 B A C 求 1 A A 答案 6A 1 21 33 11 22 21 31 A 2012 届普鸣学员个性化学习方案 第三章第三章向量向量 例 1 设 123 2 0 0 0 1 0 0 0 1 TTT 求 123 34 解 123 34 2 3 4 T 例 2 设 123 线性无关 证明 1 131232 2 2 线性相关 2 122331 2 线性无关 证 1 设 113212332 2 2 0kkk 121232133 2 2 0kkkkkk 因为 123 线性无关 故 12 23 13 20 0 20 kk kk kk 又 120 0110 102 有非零解 故 131232 2 2 线性相关 2 设 112223331 2 0kkk 131122233 2 0kkkkkk 因为 123 线性无关 故 13 12 23 0 20 0 kk kk kk 101 12010 011 故 只有零解 故 122331 2 线性无关 例 3 设 1234 1 1 1 1 2 0 1 0 3 2 3 7 TTTT 问 123 是否线性相关 4 可否由 123 线性表示 如能表示求其表示式 解 做矩阵 123 111 120 103 A 由7A 知A可逆 从而方程组0Ax 只有零解 故 123 线性无关 根据推论知 4 能由 123 线性表示 且表示法唯一 设 4112233 kkk 即 123 2 3 71 1 11 2 01 0 3kkk 整理得 2012 届普鸣学员个性化学习方案 123 12 13 2 32 73 kkk kk kk 解得 123 1 1 2kkk 故 4123 2 例 4 设n维向量 0 0 1 0 0 i 即第i个分量为 1 其余分量为 0 则 12 n 是线性无关的 若 12 n 可由 12 n 线性表示 则 12 n 线性无关 证 用定义 设存在n个数 12 n k kk 使 1 122 0 nn kkk 即 12 0 n k kk 则必须 12 0 n kkk 故 12 n 线性无关 若 12 n 可由 12 n 线性表示 则 1212 nn nrrn 故 12 n rn 12 n 线性无关 例 5 设 1234 1 1 1 3 1 3 5 1 3212 2610 TTTT pp P 为何值时 向量组线性无关 P 为何值时 向量组线性相关 解 设 PP A 213 10151 6231 2311 4321 则14 2 pA 当 P 2 时 4321 0 A线性无关 1当 P 2 时 4321 0 A线性相关 例 6设向量组 123 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 1 1 TTT 4 1 3 2 1 T 5 2 6 4 1 T 试求向量组的秩及其一个极大线性无关组 并将其余向量用这个极大线性无关组线性表 示 解 作矩阵 12345 A 对A做初等行变换将其化为阶梯型矩阵 即 11012 12136 01124 01111 A 1 1 21 11012 01124 01124 01111 行 行行 2012 届普鸣学员个性化学习方案 32 1 42 11012 01124 00000 00033 行行 行行 1 4 3 34 11012 01124 00011 00000 行 行行 13 23 2 11001 01102 00011 00000 行行 行行 12 10101 01102 00011 00000 U 行行 124 是U的列向量组的一个极大线性无关组 所以 124 也是A的列向量组的一个极大线性无关 组 故 12345 3r 且 312 5124 2 例 7 设 12 1 1 1 0 TT 和 12 2 3 3 1 TT 求由 12 到 12 的过渡矩阵 解 由于 112212 3 2 所以由 12 到 12 的过渡矩阵 31 12 C 例 8 已知 R3中的两组向量为 1 1 2 1 T 2 2 3 3 T 3 3 7 1 T 1 3 1 4 T 2 5 2 1 T 3 1 1 6 T 证明 123 和 123 都是 3 R的基 求 0 1 2 在 123 下的坐标 解 121 23310 371 123 线性无关 314 52140 116 123 线性无关 从而它们都是 3 R的基 112233 xxx 解出方程组可求出 123 17 4 3xxx 例 9 已知 123 B 是三维向量空间的一组基 其中 123 1 1 0 1 0 1 1 1 1 试用施密特正交化方法 将其标准正交化 解 取 11 1 1 0 12 221 11 11 1 1 0 11 1 0 1 22 2 1323 3312 1122 2 1 1211 1 1 1 1 11 1 0 3 2 2233 3 再将 123 单位化 得到一组标准正交基为 2012 届普鸣学员个性化学习方案 1 1 1 11 0 22 2 2 2 112 666 3 3 3 111 333 第四章第四章线性方程组线性方程组 例 1 设 123 0 0 0 TTT acb ca b 线性无关 则 a b c必满足的关系式 解 123 0 0 0 TTT acb ca b 线性无关 故 0 020 0 ab caabc cb 例 2 已知齐次线性方程组 05 2 2 034 02 02 321 321 321 321 xxax xxax xaxx xxx 有非零解 则a 解 对系数矩阵进行初等行变换 有 121121 12021 43005 225008 aa A aa a 可见23 aAR 例 3 求解 123 123 123 0 2220 5550 xxx xxx xxx 解 其对应的系数矩阵 111111 222000 555000 A 得同解方程组为 123 0 xxx 自由变量个数3 12 设 23 xx为自由变量 则 123 xxx 即 123 22 33 xxx xx xx 即 12323 22223 333 11 010 001 xxxxx xxxxxx xxx 2012 届普鸣学员个性化学习方案 令 12 1 1 0 1 0 1 TT 即为方程组的一组基础解系 线性方程组的通解为 1 122 xkk 其中 12 k k为任意常数 例 4 为何值时 方程组 123 123 123 20 20 20 xxx xxx xxx 只有零解 有非零解 有非零解时 求其通解 解 112112112 121011011 21014005 A 当5 时 3r A 方程组只有零解 当5 时 112103 011011 000000 A 等价线性方程组为 13 23 33 3xx