考研数学 线性代数讲义第8章二次型.pdf

水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 第8章 二次型 第8章 二次型 8 18 1 二次型与二次型的矩阵 二次型与二次型的矩阵 n个变量的二次齐次多项式 个变量的二次齐次多项式 n i n j jiijn xxaxxxf 11 21 L 称为称为n元二次型 元二次型 二次型有 种表达形式 二次型有 种表达形式 完全展开式 完全展开式 21n xxxfL nn xxaxxaxa 112112 2 111 L nn xxaxaxxa 22 2 2221221 L 2 2211nnnnnnn xaxxaxxaL LL 和式 和式 n i n j jiijn xxaxxxf 11 21 L jiij aa 矩阵表达式 矩阵表达式 ij aA 1 令 令 T n xxxx 21 L jiij aa 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 21n xxxfL n x x x M 2 1 nnnn n n aaa aaa aaa L LLLL L L 21 22221 11211 21n xxxL AXX T AXX T 二次型的矩阵表达式 二次型的矩阵表达式 21n xxxfL中 的矩阵叫二次型的矩阵 中 的矩阵叫二次型的矩阵 A 2 它是一个对称矩阵 其中它是一个对称矩阵 其中 jiij aa 即满足 即满足 AAT 二次型矩阵的秩称为二次型的秩 二次型矩阵的秩称为二次型的秩 A 例 1 二次型 例 1 二次型 2 13 2 32 2 21321 xxxxxxxxxf 的秩为 的秩为 8 2 矩阵的合同 8 2 矩阵的合同 设 设BA 是两个是两个n阶矩阵 若存在可逆方阵 使 得 则称与合同 阶矩阵 若存在可逆方阵 使 得 则称与合同 P BAPP T BA 合同有以下三个性质 合同有以下三个性质 自反性 任意方阵和自身合同 自反性 任意方阵和自身合同 A 对称性 若方阵和合同 则和也合同 对称性 若方阵和合同 则和也合同 BAAB 传递性 若方阵和合同 方阵 传递性 若方阵和合同 方阵BAC和合同 则 和合同 则 B C和合同 和合同 A 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵和来说 如果存在可逆矩阵和可逆矩阵 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵和来说 如果存在可逆矩阵和可逆矩阵Q 使得 使得 AB PAQB P 则和等价 而矩阵的相似是对方阵说的 两个同 阶的矩阵和 如果存在可逆矩阵 使得 则和相似 矩阵的合同也是对方 阵说的 两个同阶的矩阵和 如果存在可逆矩阵 使得 则和等价 而矩阵的相似是对方阵说的 两个同 阶的矩阵和 如果存在可逆矩阵 使得 则和相似 矩阵的合同也是对方 阵说的 两个同阶的矩阵和 如果存在可逆矩阵 使得 AB ABP APPB 1 AB AB APPB T P 则和合同 由此可见 相 似的矩阵一定等价 合同的矩阵也一定等价 等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩 因此 相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩 显然 等价的矩阵不 一定相似 等价的矩阵也不一定合同 则和合同 由此可见 相 似的矩阵一定等价 合同的矩阵也一定等价 等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩 因此 相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩 显然 等价的矩阵不 一定相似 等价的矩阵也不一定合同 AB 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似 一个是可逆矩阵的逆 另一个是可逆矩阵的转 置 这是两个不同的概念 千万不要混淆 相似的矩 阵不一定合同 合同的矩阵也不一定相似 只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时 则有 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似 一个是可逆矩阵的逆 另一个是可逆矩阵的转 置 这是两个不同的概念 千万不要混淆 相似的矩 阵不一定合同 合同的矩阵也不一定相似 只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时 则有 APP T APPB 1 这时 和既相似又合同 实对称矩阵就有这个性 质 对任意实对称矩阵 都存在正交矩阵和对角矩阵 既相似又合同 这时 和既相似又合同 实对称矩阵就有这个性 质 对任意实对称矩阵 都存在正交矩阵和对角矩阵 既相似又合同 AB 3 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 400 040 004 A 000 140 014 B例2 已知例2 已知 200 022 022 C CBA 中哪些矩阵相似 哪些矩阵合同 中哪些矩阵相似 哪些矩阵合同 试判断试判断 8 3 二次型的标准形 8 3 二次型的标准形 形如 形如 22 22 2 11nn ydydyd L 的二次型称为二次型的标准形 的二次型称为二次型的标准形 二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项 没有变量的交叉乘积项 二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项 没有变量的交叉乘积项 通常用两种方法化二次型为标准形 分别是正交 变换法 和配方法 通常用两种方法化二次型为标准形 分别是正交 变换法 和配方法 正交变换法只能用于实二次型 不能用于复二次 型 由于常见的题目都是实二次型 所以它是一种主 要的方法 配方法可以用在实二次型 也可以用在复 二次型 配方法实际上就是初等代数里的配平方 有 时候用起来很方便 对于简单的题不失为一种好方 法 正交变换法只能用于实二次型 不能用于复二次 型 由于常见的题目都是实二次型 所以它是一种主 要的方法 配方法可以用在实二次型 也可以用在复 二次型 配方法实际上就是初等代数里的配平方 有 时候用起来很方便 对于简单的题不失为一种好方 法 4 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤 用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤 写出二次型的矩阵 写出二次型的矩阵 A 求矩阵的特征值 得 求矩阵的特征值 得 n 21 LA 求相应的特征向量 求相应的特征向量 将特征向量作施密特正交化 得到正交的特 征向量 将特征向量作施密特正交化 得到正交的特 征向量 将正交的特征向量单位化 将正交的特征向量单位化 将这些向量按列排成矩阵 得到正交矩阵 将这些向量按列排成矩阵 得到正交矩阵Q 这时有 这时有DAQQAQQ T 1 D 其中 其中是对角矩 是对角矩 阵 它由的特征值构成 阵 它由的特征值构成 A 21n diagD L 写的时候要注意与特 写的时候要注意与特 征向量写的顺序一致 征向量写的顺序一致 QYX 写出可逆线性替换 写出可逆线性替换 则有 则有 22 22 2 11nn yyy L f 例3 已知实二次型 例3 已知实二次型 323121 2 3 2 2 2 1 321 444 xxxxxxxxxa xxxf 5 经正交变换经正交变换Pyx 化成标准型 化成标准型 2 1 6yf a则则 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例4 已知二次型 例4 已知二次型 32 2 3 2 2 2 1321 2332 xaxxxxxxxf 其中 通过正交变换化作 试 其中 通过正交变换化作 试 2 3 2 2 2 1 52yyy 0 a 确定参数确定参数a及所作的正交变换 及所作的正交变换 例 5 已知二次型 例 5 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1 321 1 22 1 1 xxaxxaxa xxxf 的秩为 2 的秩为 2 I 求 I 求a的值 的值 6 II 求正交变换 II 求正交变换Qyx 把化成标 准形 把化成标 准形 321 xxxf III 求方程 0 的解 III 求方程 0 的解 321 xxxf 解 I 由于二次型的秩为 2 对应的矩阵 解 I 由于二次型的秩为 2 对应的矩阵 f 200 011 011 aa aa A的秩为 2 所以有 的秩为 2 所以有 04 11 11 a aa aa 0 a 得 得 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 200 011 011 A II 当时 II 当时 0 a 2 2 200 011 011 A E 7 可知特征值为可知特征值为A2 21 0 3 的属于 的属于A2 1 的线性无关的特征向量为 的线性无关的特征向量为 T 0 1 1 1 T 1 0 0 2 的属于 的属于0 3 A的线性无关的特征向量为 的线性无关的特征向量为 T 0 1 1 3 易见两两正交 易见两两正交 321 将单位化得 将单位化得 321 T e 0 1 1 2 1 1 T e 1 0 0 2 0 1 1 2 1 3 T e 取 则为正交矩阵 令取 则为正交矩阵 令 321 e e eQ QQyx 得 得 2 2 2 1 2 33 2 22 2 11321 22 yyyyyxxxf Qyx III 解法 1 在正交变换 III 解法 1 在正交变换下 下 0 321 xxxf化 成 解 之 得 从而 化 成 解 之 得 从而 022 2 2 2 1 yy 0 21 yy 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 T key y eee y Qx 0 1 1 0 0 0 0 33 3 321 3 其中其中k为任意常数 为任意常数 解法 2 由于 解法 2 由于 02 22 2 3 2 21 21 2 3 2 2 2 1321 xxx xxxxxxxxf 所以 所以 0 0 3 21 x xx 8 其通解为 其中其通解为 其中 T kx 0 1 1 k为任意常数 为任意常数 8 48 4 实二次型的惯性定理 实二次型的惯性定理 形如 形如 22 1 22 2 2 1rpp zzzzz LL 的二次型叫实二次型的规范形 的二次型叫实二次型的规范形 惯性定理 任意一个实系数二次型总可经过一个 适当的可逆线性替换 化成规范形 规范型是惟一 的 其中 惯性定理 任意一个实系数二次型总可经过一个 适当的可逆线性替换 化成规范形 规范型是惟一 的 其中 是二次型的秩 是二次型的秩 rp是二次型的正惯性指数 是二次型的正惯性指数 p 2rpr 是负惯性指数 是负惯性指数 是符号差 是符号差 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 nAr 例 6 设例 6 设A为 阶实对称矩阵 为 阶实对称矩阵 n n i n j ji ij n xx A A xxxf 11 21 L 记 把 记 把 T n xxxX 21 L 21n xxxfL写成矩阵形式 并证明二次型 写成矩阵形式 并证明二次型 9 Xf的矩阵为 的矩阵为 1 A 二次型与 二次型与AXXXg T Xf的规范形 的规范形 是否相同 说明理由 是否相同 说明理由 8 58 5 实二次型的正定性 实二次型的正定性 设 设 Q是实二次型 若对任意非零向量是实二次型 若对任意非零向量 恒有 恒有 0 Q 则称实二次型正定 正定二次型的矩阵 称为正定矩阵 则称实二次型正定 正定二次型的矩阵 称为正定矩阵 这里讲的正定矩阵是实二次型的矩阵 因此必定 是实对称矩阵 在解有关正定矩阵的题目时 首先要 检验矩阵是否是实对称的 这里讲的正定矩阵是实二次型的矩阵 因此必定 是实对称矩阵 在解有关正定矩阵的题目时 首先要 检验矩阵是否是实对称的 一个二次型经过可逆线性替换变成另一个二次 型 它的正定性是不会改变的 因此可以通过二次型 的标准形以及规范形来讨论正定性 一个二次型经过可逆线性替换变成另一个二次 型 它的正定性是不会改变的 因此可以通过二次型 的标准形以及规范形来讨论正定性 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 从实二次型的规范形 从实二次型的规范形 22 1 22 2 2 1rpp zzzzzf LL nrp 容易看出 只有当容易看出 只有当的时候 才会对任意非 零的向量 保证函数值是正的 只要 的时候 才会对任意非 零的向量 保证函数值是正的 只要nr rp 时 正定 时 正定 B 例 9 设是 阶正定矩阵 证明例 9 设是 阶正定矩阵 证明An1 EA 例 10 设是实对称正定矩阵 例 10 设是实对称正定矩阵 B是是Anm 的实矩阵 证明 正定的充分必要条件是 的实矩阵 证明 正定的充分必要条件是ABB T nBr 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 BC CA D T 12 例 11 设例 11 设为正定矩阵 其中 分 别为 为正定矩阵 其中 分 别为m阶 阶对称矩阵 阶 阶对称矩阵 AB nnm C为为矩阵 矩阵 n m EO CAE P 1 DPP T 其中 其中 I 计算 I 计算 CACB T1 II 利用 I 的结果判断矩阵 II 利用 I 的结果判断矩阵是 否为正定