高等数学讲义-多元函数的积分.pdf

高等数学讲义多元函数的积分 准 MBA 阵线收集整理 1 高等数学讲义 多 元 函 数 的 积 分 高等数学讲义多元函数的积分 准 MBA 阵线收集整理 2 10二重积分 1定义 P225 D n 1 0 fimldy xf 2性质 P226 其中 D d 表示平面区域 D 的面积 D fdy xf D 表 D 的面积 3几何意义 0y xf Dy x 则 D dy xf表示以 y xfz 为顶以 D 为底 的曲顶柱体体积 4二重积分在直角坐标下的计算法 DD dxdyy xfdy xf 设 0y xfz 用xx 平面截立体得如图所示的曲边梯形 其面积 dyy xfxs x 2 y x 1 y D b a dxxsdy xf b a x 2 y x 1 y dxdyy xf b a x 2 y x 1 y dyy xfdx d c y 2 h y 1 h dxy xfdy 高等数学讲义多元函数的积分 准 MBA 阵线收集整理 3 1 1 y x x 1y x 2 0 1 x 2 2 2 y 2 4xy 2 xy 0 y k x k0 k x y k 222 kyx 例 1计算二重积分 D 22 dyx其中 D 由曲线 2 xy 直线1x 及x轴所围成 解首先画出积分区域 D 1 0 2 x 0 22 D 22 dyyxdxdyx 105 26 dx 3 x xdxy 3 1 yx 1 0 6 4 1 0 2 x 0 32 例 2将二重积分 D dy xf化为累次积分其 中 D 为 1 抛物线 2 xy 及 2 x4y 所围成 解 2 2 x4y xy 交点 2 2 2 2 2 x4 2 x 2 2 D y dyf x dxy df x y4 y4 4 2 y y 2 0 y dxf x dyy dxf x dy 2 圆 222 kyx kyx 0y 所围 xk 0 k 0 2 x 2 k 0 0 k y k 2 y 2 k k 0 D y dyf x dxy dyf x dx y dxf x dyy df x 3 2 xy 2 x4y 1y 所围 y 2 y 1 0 2 y y 1 0 D y dxf x dyy dxf x dyy df x 例 3计算 D 22 dxdyyx 1x0 0 y 1 1 0 2 1 0 2 1 0 22 1 0 dyydxxdyyxdx 0y 0y 1x 1 1 1 y 高等数学讲义多元函数的积分 准 MBA 阵线收集整理 4 y 1 1 x 30 y 3 x 2 2 xy 9 2 3 y 3 x 1 0 3 1 0 3 例 4P228例 6 16 26 3 例 5 1 x y x dyef x 则 1e 2 1 f x dx 1 0 解 1 x y x 1 0 1 0 1 x y x 1 0 dyedxdxdyef x dx 1 0 y 0 y x y 0 y x 1 0 dyeydxedy 1 e 2 1 1 dy y e 1 0 例 6 y 0 2 y 2 0 2 x 2 y 2 0 dxedydyedx 2 0 2 y dyye e 1 2 1 4 例 7交换积分次序 x 3 2 1 0 3 1 2 x 0 1 0 y dyf x dxy dyf x dxI 2y3 y 1 0 y dxf x dy 例 8 P231 例 6 5 例 6 66 7 1 6 86 96 10 5二重积分在极坐标下计算方法 DD rdrdrsin f rcosy df x 1y xy 1 1 y x 0 1 1 0 x y x 2y 2 2 xy 0 2 高等数学讲义多元函数的积分 准 MBA 阵线收集整理 5 3 4 2bsin 2asin 0 b 例 9计算 D 2 y 2 x de D 222 ayx 解 2 0 a 0 2 r D 2 y 2 x rdredde a 0 2 2 r rd e2 2 1 e 2 a 例 10 D ydx D由xy 0 x 2 2 2 bbyx 2 2 2 aayx ba0 所围 解 2bsin 2asin 2 2 4 D rdrsincosrdydx 2 4 544 2 4 2bsin sina2 4 dcossin a4 bd 4 r sincos a b 12 7 sin 6 1 a4 b 44 2 4 644 例 11 D ydx D 由 11yx 2 2 1yx 22 及 0 x 轴所围 2sinr 1r 得交点 1 6 2sin 1 2 2 6 D drsinconrdydx 2sin 1 4 4 6 r 4 1 dsincon 16 9 sin 8 1 sin 3 2 dconsin 4 1 con 4sin 2 6 26 4 6 5 高等数学讲义多元函数的积分 准 MBA 阵线收集整理 6 例 12P238 例 6 13 6 14 6 15 例 13证明 4 ysinxsin16 dxdy 4 17 2 1yx 22 22 证 1 02 2 0 1 2 y 2 x 22 1 2 y 2 x 22 rd r16 r d yx16 dxdy ysinxsin16 dxdy 4 17 2r162 1 0 2 又 4 1 4 1 dxdy 4 1 ysinxsin16 dxdy 2 1 2 y 2 x1 2 y 2 x 22 例 14设 f x 在 a b 上连续且单调增加试证 b a 22 D f x dx 2 ab yf y d bya bxa y x D 证设 b a 22 D f x dx 2 ab yf y dI b a b a D f x dxydyyf y d DDD f x d yf y yf x dyf