九年级数学上册第一章一元二次方程教材参考答案.doc

23九年级数学上册第一章一元二次方程教材 老师张全学生姓名： 家庭联系电话：第1页：第一章一元二次方程 已知一块矩形草地的长比宽多12米，面积为540平方米，你能求出这块草地的长和宽吗？学完本章知识后，我们就可以解决上述问题了。第2页1.1建立一元二次方程模型动脑筋 问题一 如图1-1所示，某住宅区内有一栋建筑，占地为一边长为35米的正方形。现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900平方米的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米？图1-2图1-1图1-3，4页A组3题图分析 我们可以建立方程的模型来计算人行道的宽度，如图1-2所示，设人行道的宽度为x米，则草坪的边长为_35-2x米.根据题意,可以列出方程 方程通过移项, 可以写成=0 .问题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校,在离学校还有1千米处第一次相遇,此时他们的骑车速度分别为3米每秒和2米每秒.小明继续以3米每秒的速度匀速前进;而小亮则逐渐加快速度,以0.01米每二次方秒的加速度匀加速前进.已知匀加速运动求路程s的公式是,其中t是时间,是初速度的大小,是加速度的大小.你能算出经过多长时间他们再次相遇吗?第3页 分析 设经过t秒小明与小亮相遇,则在这段时间,小明骑车行驶的路程为3t米. 小亮骑车行驶的路程为2t+0.50.01t2_米.问题中的等量关系是小明行驶的路程 _ = _小亮行驶的路程_ .由此可列出方程. 方程可以写成 说一说 观察方程和,它们有什么共同点?(1)它们分别含有几个未知数?(2)它们分别是x和t的几次多项式? 从方程式和中受到启发,如果一个方程通过整理可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程,它的一般形式是,（,是已知数，）其中,分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.例将方程3（一1）=5（+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项.解 去括号，得3一3=5+10。移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3一8一10=0。其中二次项系数为3、一次项系数为一8、常数项为一10.4页练习1、说出方程的二次项系数、一次项系数、常数项.解：二次项系数为0.01、一次项系数为-2、常数项为0. 2、把方程=0写成一般形式，然后说明其中的二次项系数、一次项系数、常数项.解：一般形式为4一140+325=0。二次项系数为4、一次项系数为-140、常数项为325.3、如果左边一列中的方程是右边一列中所说的类型，那么用线把它们连结起来：一元一次方程 一元二次方程 分式方程习题1.1A组1、把下列方程写成一般形式，并且分别指出它们的二次项式系数、一次项系数和常数项：（1）+5=6； （2）3一4=；（3）（10一2）（6一2）=32。解：（1）一般形式为+5-6=0。二次项系数为1、一次项系数为5、常数项为-6.（2）一般形式为-3+4=0。二次项系数为1、一次项系数为-3、常数项为4.（3）一般形式为-8+7=0。二次项系数为1、一次项系数为-8、常数项为7.2、如果一个数与比它大2的数的积等于35，列出这个数所满足的方程。解：设这个数为，由题意得（+2）=35，即+2-35=0。3、如图1-3，一幅图案的轮廓是长方形，其长为20厘米，宽为18厘米。现在把它镶进一个长方形框内，使四周留出的宽度相等。如果知道长方形框的面积为528平方厘米，你能列出计算四周留的宽度的方程吗？解：设四周留的宽度为cm，由题意得（20+2）（18+2）=528。第5页B组1、下列方程中，哪些是一元二次方程？（1） （2） （3）解：（1）3（1+2+）一3一7=0，3+3一4=0，是一元二次方程，（2）3（1+2+）一3一7=0，一+3=0，不是一元二次方程，（3），不是一元二次方程。2、从一座楼房的某个窗户下边框上掉下一个小球，该窗户下边框离地面30米。小球经过多少秒着地（精确到0.1秒）？（提示：小球降落的高度h与降落的时间t的关系式为）解：30=0.59.8，=300/49，=10/717.32/72.472.5。答：小球经过2.5秒着地。3、直角三角形中，斜边长为13cm，两条直角边的长相差7cm，求一条直角边所满足的方程。解：设较短的直角边长为cm，由题意得，+=169。4、如图1-4，长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离所满足的方程。图1-4解，2-2=0，-=0。1.2解一元二次方程的算法1.2.1因式分解法，直接开平方法探究 如何解1.1节问题一中的方程：=0。 我们已学会解一元一次方程，自然会想：能不能把一元二次方程降低次数，转化为若干个一元一次方程呢？首先，观察方程的左边，可不可以通过因式分解把它表示成两个一次多项式的乘积？6页：可以用平方差公式，把方程的左边因式分解。先把方程写成。再把方程的左边因式分解，得（35-2+30）（35-2-30）=0，即（65-2）（5-2）=0。其次，我们知道：“如果pq=0，那么p=0，或q=0。”因此，从方程得65-2=0或5-2=0。最后分别解中的两个一元一次方程，得=32.5或=2.5。即方程有两个解，通常把它们记成=32.5，=2.5。对于问题一，容易看出=32.5不符合题意（为什么？）应当舍去；=2.5符合题意，即人行道的宽度为2.5m。上述解一元二次方程的方法叫做因式分解法。动脑筋 方程还有其他解法吗？把方程写成，这表明35一2是900的平方根，因此35一2=或35一2=一，即35一2=30或35一2=一30，解得=2.5或=32.5。7页：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。例1、解方程：4一25=0。解（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得（2+5）（2-5）=0，由此得出2+5=0或2一5=0。解得=一2.5，=2.5。（解法二）原方程可以写成=。直接开平方得=或=一。即= 2.5，=一2.5。例2、解方程：一2=0。解（解法一）如果我们想用因式分解法解这个方程，那么原方程可以写成一=0。把方程左边因式分解得。由此得出或 。解得=，= 。（解法二）如果我们想用直接开平方法解这个方程，那么原方程可以写成 =。8页：直接开平方得 x+1=或x+1 = 。解得=，= 。在解方程时，只要写出一种解法就行。请同学们自己小结这两种解法，并应用你的小结去解下面的练习题。练习：解下列方程：（1）9一49=0。（2）36一=0。（3）一16=0。（4）一3=0。解（1）（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得（3+7）（3-7）=0，由此得出3+7=0或3一7=0。解得=一7/3，=7/3。（解法二）原方程可以写成=。直接开平方得=或=一。即= 7/3，=一7/3。解（2）（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得（+6）（-6）=0，由此得出+6=0或一6=0。解得=一6，=6。（解法二）原方程可以写成=36。直接开平方得=6或=一6。即= 6，=一6。解（3）（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得（+3+4）（+3-4）=0，由此得出+7=0或一1=0。解得=一7，=1。（解法二）原方程可以写成=16。直接开平方得+3=4或+3=一4。解得= 1，=一7。解（4）（解法一）原方程可以写成。再把方程的左边因式分解，得，由此得出或=0。解得=，=。（解法二）原方程可以写成=3。直接开平方得1-2=或1-2=一。解得= ，=。动脑筋 如何解1.1节问题二中的方程：。可以用提公因式法把方程的左边因式分解，得=0。由此得出=0或0.01一2=0。解得=0，=200。=0表明小明与小亮第一次相遇；=200表明经过200秒小明与小亮第二次相遇。例3解下列方程：（1）5+15=0；（2）=4。9页：解（1）把方程左边因式分解得5（+3）=0，由此得出5=0或+3=0。解得=0，=一3。（2）原方程可以写成一4=0，把方程左边因式分解得（一4）=0，由此得出=0或一4=0。解得=0，=4。说一说 小刚在解例3第（2）题的方程时，把方程两边同除以，得=4。这样做对吗？为什么？答：这样做不对，因为把方程两边同除以时，可能是0，这样就会失去一个根，从而导致结果漏根。例4、解下列方程：（1）（一5）=3；（2）2（5-1）=3（5-1）。解（1）原方程可以写成（一5）一3=0。把方程左边因式分解得（一5一3）=0。由此得出=0或一5一3=0。解得=0，=8。（2）原方程可以写成2（5-1）一3（5-1）=0。把方程左边因式分解得（5-1）（2一3）=0。由此得出5一1=0或2一3=0。解得=0.2，=1.5。10页：从例1至例4看到，解一元二次方程的基本方法之一是因式分解法，即通过移项使方程右边为0，然后把左边分解成两个一次因式的乘积，从而转化成一元一次方程，进行求解。练习1、解下列方程：（1）一7=0；（2）3=5。解（1）把方程左边因式分解得（一7）=0。由此得出=0或一7=0。解得=0，=7。（2）原方程可以写成3一5=0。把方程左边因式分解得（3一5）=0。由此得出=0或3一5=0。解得=0，=5/3。2、解下列方程：（1）2（一1）=1一；（2）5（+2）=4+8。解：（1）原方程可以写成2（一1）+一1=0，把方程左边因式分解得（-1）（2+1）=0。由此得出-1=0或2+1=0。解得=1，=-1/2。解：（1）原方程可以写成5（+2）-4（+2）=0，把方程左边因式分解得（+2）（5-4）=0。由此得出+2=0或5-4=0。解得=-2，=4/5。1.2.2配方法 做一做 把完全平方公式从右到左地使用，填上适当的数，使下列等式成立：（1）+6+=；（2）一6+=；（1）+6+4=+6+一+4=一 5 。探究 如何解下述一元二次方程：+6+4=0。11页：从例2受到启发，如果能把方程写成一 5 =0的形式，其中减去的数是正数，那么我们就可以用因式分解法或直接开平方法求解。从上面的第（3）题知道，这需要在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，即加上；为了保持相等，应当再减去。为此把方程写成+6+一+4=0，即把方程左边因式分解得，由此得出+3+=0或+3一=0。解得=一3一，=一3+。从上述看出，解方程的第一步是把它变形成方程，而这一步的关键是：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方。配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了。这样解一元二次方程的方法叫做配方法。例5 把下列二次多项式配方：（1）+2一5；（2）一4+1。解（1）+2一5=+2+一一5= 。（2）一4+1=一4+一+1= 。例6、解下列方程：（1）+10+9=0；（2）一12一13=0。解（1）把原方程的左边配方，得+10+一一16=0，即 =0。把方程左边因式分解得12页：（+5+4）（+5-4）=0，由此得出+9=0或+1=0。解得=一9，=一1。（2）把原方程的左边配方，得一12+一一13=0，即 =0。把方程左边因式分解得（一6+7）（一6一7）=0，由此得出+1=0或一13=0。解得=一1，=13。练习1、填空：（1）+4+1=+4+一+1= 。（2）一8一9=一8+一一9= 。（3）+3一4=+3+一一4=。2、解下列方程：（1）+4+1=0；（2）一8一9=0；（3）+3一4=0。解（1）把原方程的左边配方，得+4+一+1=0，即 =0。把方程左边因式分解得（ +2+）（+2一）=0，由此得出+2+=0或+2一=0。解得=一2-，=-2-（2）把原方程的左边配方，得一8+一一9=0，即 =0。把方程左边因式分解得（ -4+5）（-4-5）=0，由此得出-4+5=0或-4一5=0。解得=一1，=9（3）把原方程的左边配方，得+3+一一4=0，即=0。把方程左边因式分解得（ +）（+）=0，由此得出+4=0或-1=0。解得=一4，=1说一说 用配方法解一元二次方程的关键步骤是什么？答：关键步骤是：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里。例7、解方程： +一1=0。解 把原方程的左边配方，得+一一1=0，即 =0。也就是=0。13页：把方程左边因式分解得=0，由此得出=0或=0。解得=一，=。做一做 在例7得到方程以后，还可以怎样求解？请将你的解法填入下框内。由此得出或。解得=，=一。动脑筋 怎样解下述方程：2一4一6=0。这个方程的二次项系数不等于1，配方比较麻烦，怎么克服这个困难？14页：把方程的两边同除以2，二次项系数就等于1了！例8、解方程2一4一6=0。解：原方程两边同除以2得一2一3=0。把方程的左边配方得一2+一一3=0，即 =0。把方程的左边因式分解得（一1+2）（一1一2）=0。由此得出+1=0或一3=0。解得=一1，=3。例9、解方程3+9 =0。解：原方程两边同除以3得+3=0。把方程的左边配方得+3+一=0，即 =0。也就是=0。剩下的步骤请同学们自己完成：把方程左边因式分解得=0。由此得出=0或=0。解得=一，=-。15页：从例1至例4和例6至例9的解法，我们小结出解一元二次方程的算法如下： 是否一元二次方程是否可以直接用因式分解法或直接开平方法解两个一元一次方程写成一般形式：把二次项系数化为1。用因式分解法或直接开平方法配方配方在以后的学习中有很多应用，请同学们好好掌握。练习：解下列方程：（1）+3+2=0。（2）3一15+18=0。（3）2=3一1。（4）一3+4+1 =0。解：（1）把原方程的左边配方，得+3+一+2=0，即=0。把方程左边因式分解得（ +）（+）=0，由此得出+2=0或+1=0。解得=一2，=-1（2）原方程两边同除以3得-5+6=0。把方程的左边配方得-5+一+6=0，即 =0。也就是=0。剩下的步骤请同学们自己完成：把方程左边因式分解得=0。由此得出x-2=0或x-3=0。解得=2，=3。（3）原方程可以写成2-3+=0。方程两边同除以2得，-+-+=0。即=0，把方程左边因式分解得（ -）（-）=0，由此得出-=0或-1=0。解得=，=1（4）一3+4+1 =0。（2）原方程两边同除以-3得-=0。把方程的左边配方得-+一-=0，即 =0。也就是=0。剩下的步骤请同学们自己完成：把方程左边因式分解得=0。由此得出x-=0或x-=0。解得=，=。1.2.3公式法探究 从例6至例9的解法，以及从解一元二次方程的算法框图看到：我们对于每一个具体的一元二次方程，都重复使用了一些计算步骤，这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次方程使用这些计算步骤，求出解的公式。这样做了以后，我们就可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得事半功倍的效果。16页：解一元二次方程：。由于0，因此可以在方程的两边同除以，得。把方程的左边配方，得，即。当0时，方程可以写成。把方程左边因式分解得。由此得出或。解得，。于是我们得到一元二次方程：，当0时求解的公式：（0）通常把这个公式叫做一元二次方程的求根公式。今后我们可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。例10、解下列方程：（1）一一2=0。（2）4+12+5=0。（3）一2=1。17页：解（1）=1，=一1，=一2，一4=一41（一2）=1+8=9，因此。从而=2，=一1。（2）=4，=12，=5，一4=一445=144一80=64，因此。从而=-0.5，=一2.5。（3）移项，得（1）一2一1=0。=1，=一2，=一1，一4=一41（一1）=1+4=5，因此。从而=一1+，=一1一。例11、解方程：9+12+4=0。解（1）=9，=12，=4，一4=一494=144一144=0，因此。从而=一。从例11看到，当一4=0时，一元二次方程有两个相等的实数解（或者说有两个相等的实数根）。此例中的方程可以直接用因式分解法求解吗？试着做一做。解：把方程左边因式分解得。3x+2=0。从而=一。动脑筋 观察第16页中的方程11，当一40时，一元二次方程有实数解吗？试讨论方程+1=0有没有实数解。答：当一40时，一元二次方程没有实数解。+1=0中，=1，=1，=1，一4=一411=1一4=-3。所以这个方程无解。18页：由上述可知，根据一4的值的符号，可以判定一元二次方程的根的情况，所以我们把一4叫做一元二次方程的根的判别式。综上所述，一元二次方程的根的情况可由一4来判定：当一4时，有两个不相等的实数根，其根为，；当一4时，有两个不相等的实数根，其根为。当一40时，没有实数根。例12、不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3+4一3=0。（2）7y=5。（3）4=12一9。解（1）因为一4=一43（一3）=16+36=520，所以原方程有两个不相等的实数根。（2）移项，得5一7+5=0。因为一4=一455=49一100=一510，所以原方程没有实数根。（3）移项，得4一12+9=0。因为一4=一449=144一144= 0，所以原方程有两个相等的实数根。练习：1、不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）+3一1=0。（2）一6+9=0。（3）2一3+4=0。（4）+5 =2。解（1）因为一4=一43（一1）=9+12=210，所以原方程有两个不相等的实数根。（2因为一4=一419=36一36= 0，所以原方程有两个相等的实数根。（3）因为一4=一424=9一32= 一230，所以原方程没有实数根。（3）移项，得一2+5=0。因为一4=一415=20一20= 0，所以原方程有两个相等的实数根。19页：2解下列方程：（1）一3+2=0。（2）2+5+2=0。（3）3=4一1。（4）一3+1=0。（5）4一12+9=0。（6）一一=0。（7）+4+8=4+11。（8）（2一4）=5一8。解（1）=1，=-3，=2，一4=一412=9一8=1，因此。从而=2，=1。（2）=2，=5，=2，一4=一422=25一16=9，因此。从而=一，=-2。（3）移项，得（1）3一4+1=0。=3，=一4，=1，一4=一431=16-12=4，因此。从而=1，=。（4）=1，=-3，=1，一4=一411=9一4=5，因此。从而=，=。（5）=4，=-12，=9，一4=一449=144一144=0，因此，=。（6）=1，=-，=-，一4=一41（-）=3+1=4，因此。从而=，=。（7）-3=0，=1，=0，=-3，一4=一41（-3）=12，因此。从而=，=-（8）整理得2+4-5=0，=2，=4，=-5，一4=一42（-5）=56，因此。从而=，=-。3、k取什么值时，方程一k+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。解：=1，=-k，=4，一4=一414=-16=0，k=4。当k=4时，x=2，当k=一4时，x=一2。习题1.2A组1、解下列方程：（1）25一9=0； （2） 64一9=0； （3）； （4）。解：（1）原方程可以写成=。直接开平方得=或=一。即= ，=一。（2）原方程可以写成=。直接开平方得=或=一。即= ，=一。（3）直接开平方得3-2=1或3-2=一1。解得= 1，=2。（4）原方程可以写成=3。直接开平方得1-=或1-=一。解得=1一 ，=1+。2、解下列方程：（1）6+=0； （2） （3）（2一3）+（3-2）=0； （4）3=一25。解（1）把方程左边因式分解得（6+1）=0。由此得出=0或6+1=0。解得=0，=一1/6。（2）把方程左边因式分解得由此得出t=0或0.2t一3=0。解。（3）把方程左边因式分解得（1一）（3-2）=0。由此得出1-=0或3-2=0。解得=1，=2/3。（4）原方程可以写成3一（一25）=0。把方程左边因式分解得（一5）3（一5）一（+5） =0。由此得出一5=0或2-20=0。解得=5，=10。3、用配方法解下列方程：（1）+2一3=0。（2）一7+6=0。（3）+2一1=0。（4）2一5+3=0。解：（1）把原方程的左边配方，得+2+一一3=0，即=0。把方程左边因式分解得（ +1+2）（+1-2）=0，由此得出+3=0或-1=0。解得=一2，=1。（2）把方程的左边配方得-7+一+6=0，即 =0。也就是=0。把方程左边因式分解得=0。由此得出x-1=0或x-6=0。解得=1，=6。（3）把原方程的左边配方，得+2+一一1=0，即=0。把方程左边因式分解得（ +1+）（+1-）=0，由此得出+1+=0或+1-=0。解得=一1-，=-1-。（4）原方程两边同除以2得-+=0。把方程的左边配方得-+一+=0，即 =0。把方程左边因式分解得=0。由此得出x-1=0或x-=0。解得=1，=。4、用公式法解下列方程：（1）一10+21=0。（2）一3一1=0。（3）一7+11=0。（4）5=2+1。解（1）=1，=-10，=21，一4=一4121=16，因此。从而=7，=3。（2）=1，=-3，=-1，一4=一41（-1）=9+4=13，因此。从而=，=。（3）=1，=-7，=11，一4=一4111=49一44=5，因此。从而=，=。（4）移项，得（1）5一2-1=0。=5，=一2，=-1，一4=一45（-1）=4+20=24，因此。从而=，=。5解下列方程：（1）4一20+25=0。（2）2+6+9=0。解：（1）把方程左边因式分解得。2x+5=0。从而=一2.5。（2）把方程左边因式分解得。x+3=0。从而=一。6、一幅图案的轮廓是长方形，其长为20厘米，宽为18厘米。现在把它镶进一个长方形框内，使四周留出的宽度相等。如果知道长方形框的面积为528平方厘米，求出四周留的宽度。解：设四周留的宽度为cm，由题意得（20+2）（18+2）=528。4+76-168=0，+19-42=0，=2，=-21（不合题意，舍去）。答：四周留的宽度为2cm。20页：B组1、解下列方程：（1）3（2一7）=5。（2）=4。（3）=3（5一2）；（4）（+4）=21；（5）2+5=一3；（6）（5一）（3一）=8；（7）2=3+19；（8）一9=2。解：（1）整理得，-21=0，（-21）=0，=0或-21=0，=0，=21。（2）整理得，5-6+1=0，（5-1）（-1）=0，5-1=0或-1=0，=0.2，=1。（3）移项得一3（5一2）=0， （5-2）（5-2-3）=0，5-2=0或5-2-3=0，=0.4，=1。（4）整理得，+4-21=0，（+7）（-3）=0，+7=0或-3=0，=-7，=3。（5）整理得，+5+3=0， =1，=5，=3，一4=一413=25一12=13，因此。从而=，=。（6）整理得，一8+7=0，（-7）（-1）=0，-7=0或-1=0，=7，=1。（7）整理得，2+9-1=0，=2，=9，=-1，一4=一42（-1）=81+8=89，因此。从而=，=。（8）整理得，-2-9=0，=1，=-2，=-9，一4=一41（-9）=12+36=48，因此。从而=3，=-。2、已知=一2+3，=3一1，当为什么值时，与相等？解：由题意得一2+3=3一1，一5+4=0，（-1）（-4）=0，-1=0或-4=0，=1，=4。因此，当=1或=4时，与相等。3、能被2整除（即在个位除得尽）的整数叫做偶数。像6，8这样的两个偶数称为相继的两个偶数，一6，一8也是相继的两个偶数，求相继的两个偶数，使得它们的积等于168。解：设小的那个偶数为，则较大的那个为+2，由题意得（+2）=168，解得=-14，=12。当=-14时，+2=-12，当=12时，+2=14。答：这两个相继的偶数为-14和-12或12和14。4、一块矩形草地的长比宽多12m，面积为540平方米，这块草地的长和宽各是多少？解：设长为cm，则宽为（-12）cm。由题意得（-12）=540，解得=-18（不合题意，舍去），=30。当=30时，-12=18。答：这块草地的长和宽各是30cm，18cm5、竖直向上抛物体，物体上升的高度h（m）与时间t（s）的关系式为，其中是初速度的大小（m/s），g是重力加速度的大小，g=9.8m/。竖直上抛一小球，初速度为13.8m/s，经过多少时间小球上升高度为8m？解：由题意得，解得，=2（此时小球在下落，不合题意，舍去，）。答：经过秒时小球上升的高度为8m。6、已知关于的方程。问：（1）m为何值时，它是一元二次方程，并求出方程的解；（2）m为何值时，它是一元一次方程。解：（1）由题意得，解得，m=1，此时，原方程为。=2，=-2，=-1，一4=一42（-1）=4+8=12，因此。从而=，=。（2）由题意得，解得m=0，或，解得m=-1。所以当m为0或者1时，原方程是一元一次方程。1.3一元二次方程的应用一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，本节来举一些例子。例1、当取什么值时，一元二次多项式一一2与一元一次多项式2 一1的值相等？21页：解一一2=2一1。原方程可以写成一3 一1=0。这里=1，=一3，=1，一4=一41（一1）=9+4=13，因此。从而当=或=时，一一2与2 一1的值相等。例2，当y取什么值时，一元二次多项式的值等于40？解=40。原方程可以写成。这里=2，=一2，=一3，一4=一42（一3）=4+24=28。因此，。从而当或时，的值等于40。例3 当t取什么值时，关于的一元二次方程+=0.5+2t一1，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解原方程可以写成。这里，。22页：（1）当=16t一80，即时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当=16t一8=0，即=时，原方程有两个相等的实数根；（3）当=16t一80，即时，原方程没有实数根。 练习题1、当取什么值时，一元二次多项式一一6与一元一次多项式3 一2的值相等？解一一6=3一2。原方程可以写成一4一4=0。这里=1，=一4，=一4，一4=一41（一4）=16+16=32，因此。从而当=2+2或=2-2时，一一6与3一2的值相等。2、当t取什么值时，关于的一元二次方程+=1有两个相等的实数根？解：原方程可以写成。这里，。所以当t取时，关于的一元二次方程+=1有两个相等的实数根。说一说菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？答：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半。例4、一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示，菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20厘米，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的。（1） 求菱形的两条对角线的长度；23页:（2）求组成菱形的每一根铁条的长度。图1-5分析研：本题的等量关系是：菱形的面积=菱形两对角线乘积的一半。解:（1）设菱形的竖直方向的对角线长为x厘米,则它的水平方向的对角线长为(x+20)厘米,根据题意,可以列出方程x(x+20)= 120100.原方程可以写成+20一4800=0, 这里=1，=20，=一4800，一4=一41（一4800）=400(1+48)=40049，因此。从而=60,=一80(不合题意,舍去).即菱形的竖直方向的对角线长为60厘米,则它的水平方向的对角线长为80厘米.(2)由于菱形的两条对角线互相垂直平分,因此菱形的边长为.答: （1）求菱形的两条对角线的长度分别为60cm，80cm；（2）组成菱形的每一根铁条的长度为50cm。24页：例5、如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364平方厘米。求截去的小正方形的边长。图1-6分析：本题的等量关系是 底面长宽=364。解 设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为（40-2x）cm，（28-2x）cm，根据题意，可以列出方程（40-2x）（28-2x）=364。原方程可以写成-34+189=0, 这里=1，=-34，=189，一4=一41189=400。因此。从而=27,=7。如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm。因此=27不合题意，应当舍去。答：截去的小正方形的边长为7cm。从例4和例5可以看出，在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查所求得的方程的解是否符合实际情况。练习：1、在例5中，如果要使折成的长方体盒子的底面积为540平方厘米，那么截去的小正方形的边长是多少厘米？解 设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为（40-2x）cm，（28-2x）cm，根据题意，可以列出方程（40-2x）（28-2x）=540。原方程可以写成-34+145=0, 这里=1，=-34，=145，一4=一41145=576。因此。从而=29,=5。如果截去的小正方形的边长为29cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为58cm，这超过了矩形铁皮的长40cm。因此=29不合题意，应当舍去。答：截去的小正方形的边长为5cm。2、在例5和第1题中无盖长方体盒子的体积分别是多少？哪个体积大？解：例5中，长为40-72=26（cm），宽为28-72=14（cm），它的体积为26147=2548（立方厘米）第1题中，长为40-52=30（cm），宽为28-52=18（cm），它的体积为30185=2700（立方厘米）第1题中的那个体积大。25页：小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形花园，如图1-7所示。现在已备足可以砌10米长的墙的材料。大家来讨论：不同的砌法，花园的面积发生什么样的变化？由于只需要砌三面墙，因此矩形中三条边的长度之和等于10米，平均每条边的长度为10/3米，按照这种砌法，花园的面积为 。直观地想，为了充分利用已有的一面墙，平行于已有墙面的那面墙应当砌得长一些。这一直观想法是否正确，通过下面的一系列计算，可以进行检验。请同学们填写下表（可以用计算器计算）。与已有墙面平行的一面墙的长度与已有墙面垂直的每一面墙的长度花园的面积30.5（10-3）=3.510.53.20.5（10-3.2）=3.410.8810/310/3100/911.113.63.211.523.83.111.784.03124.22.912.184.42.812.324.82.612.485.02.512.55.22.412.485.42.312.42图1-726页：做一做（1）当与已有墙面平行的一面墙的长度从10/3米减小时，花园的面积是否随着减小？答：是。（2）当与已有墙面平行的一面墙的长度从10/3米增加时，花园的面积怎样变化？答：花园的面积也增加，但当这面墙长为5m时，花园面积达到12.5平方米。此后随着这面墙的长度增加，花园的面积逐步减小。（3）在上面所列的表中，什么时候花园的面积最大？答：当与已有墙面平行的一面墙长度为5m时，花园的面积最大，为12.5平方米。（4）有没有一种砌墙方法，可以使花园面积大于12.5平方米？先按照下述办法试一试：研究有没有一种砌墙方法，使花园面积为12.55平方米？设与已有墙面垂直的每一面的长度为x米，则与已有墙面平行的一面墙的长度为（10-2x）米。答：没有一种砌法使花园面积大于12.5平方米。根据题意，列出方程x（10-2x）=12.55。这个方程可以写成2-10+12.55=0。讨论这个方程有没有实数解。由此可以看出，是否可以使花园面积为12.55平方米。因为一4=100-100.4=-0.40，此方程没有实数根，故花园面积不能为12.55平方米。从上面这个具体例子受到启发，你能不能讲出花园面积不可能大于12.5平方米的理由？由此可得出，当花园面积大于12.5平方米时，建立的一元二次方程无实数根，所以没有一种砌法使花园面积大于12.5平方米。例6、某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？解 设平均每年增长的百分率是x。根据题意得5。整理得+2-0.44=0,解得=0.2,=-2.2（不合题意，舍去）。答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百分率是20%。27页：练习1、经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L（元）与产量x（件）的关系式为L=-+2000-10000,0x1900。（1）产量是多少件时，可以使总利润达到99万元？（2）总利润可不可能达到99.1万元？解：由题意得-+2000-10000 =990000，这个方程可以写成-2000+1000000=0，=1000。答产量是1000件时，可以使总利润达到99万元。（2）由题意得-+2000-10000 =991000，这个方程可以写成-2000+1001000=0，因为一4=4000000-4004000=-40000，此方程没有实数根，所以不可能使总利润达到99.1万元。2、某城市现有人口100万，2年后为102.01万，求这个城市的人口平均年增长率。解：设这个城市的人口平均年增长率为x。由题意得答：这个城市的人口平均年增长率为1%。习题1.3A组1、当x取什么值时，一元二次多项式的值等于6？解：=6，整理：一4=。答：当x取63时，一元二次多项式的值等于6。2、当t取什么值时，关于x的一元二次方程=6有两个相等的实数根？解：整理=6。整理：一4=。答：当t取1时，关于x的一元二次方程=6有两个相等的实数根。3、小湖村的一块矩形水稻田的长为50米，宽为30米，在稻田中有一横两纵的等宽的田埂，如图1-8所示，这块稻田的种植面积为1445.5平方米，求田埂的宽。解：设田埂的宽为m。由题意得图1-85030一50x-230x+2=1445.52-110+54.5=0，一4=。答：田埂的宽为0.5m。4、某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg。根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜。已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率。解：设南瓜亩产量的增长率为x，则南瓜种植面积的增长率为2x。由题意得10（1+2x）2000（1+x）=60000，2+3x-2=0。=0.5,=-2（不合题意，舍去）。答：南瓜的亩产量的增长率为0.5。5、B组1、在A组第2题中，对于求出的每一个t值，计算出方程的两个相等的实数根。解：当t=1时，原方程为=6，。当t=-1时，原方程为=6，。2、小明的父亲把1000元人民币按照整存整取的方式存入银行，存期一年，到期后自动转存。两年后取出，连本带息（指税后利息）共1031.93元，利息税为利息的20%，求这种储蓄的年利率（精确到0.01%）。解：设这种储蓄的年利率为x。由题意得1000=1031.93，1+0.8x1.01583955，0.8x=0.01583955，x0.01979944=1.98%。答：这种储蓄的年利率为1.98%。图1-93、用长为8米的铝材，做一个日字形窗框，如图1-9。问：（1）高和宽各为多少米时，窗户的透光面积为8/3平方米？（2）可不可能使窗户的透光面积为2.7平方米？ 解：设高为xm，则宽为（8-2x）/3m，由题意得，答：高和宽各为2米，米时，窗户的透光面积为8/3平方米。（2）。此方程没有实数根，所以不可能使使窗户的透光面积为2.7平方米。小结与复习建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，这是数学的基本功之一。一元二次方程在数学科学、自然科学、社会科学和生产生活中，都有重要应用。一元二次方程可以写成右边为0，而左边是只含一个未知数的二次多项式，它的一般形式是,其中,分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项.解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程，降低次数的基本方法是因式分解法或直接开平方法。为了能这么做，往往要先配方，即把含未知数的项放在一个完全平方式里。而这些步骤只需要按照一般形式的一元二次方程,来做，求出解x的公式，称为求一元二方程的求根公式。运用求根公式就可以解每一个具体的一元二次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次方程的算法如下：29页：否是否是一元二次方程是否可以直接用因式分解法或直接开平方法解两个一元一次方程写成一般形式计算一4一40？用求根公式无实数解运用一元二次方程解实际问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便列出方程。要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。复习题一A组1、解下列方程：（1）； （2）49-144=0； （3）+6+9=0；（4）（7-3）=4； （5）（40-2）（28-2）=448； （6）2-3。解：（1）直接开平方得1-x=1，x=11，=2,=0。（2）=，x=，=7,=-7。（3）把左边因式分解得，x+3=0，=-3。（4）7-7x=0，7x（x-1）=0，x=0或x-1=0。=0,=1。（5）4-136+672=0；-34+168=0；（x-28）（x-6）=0，x-28=0，x-6=0，=28,=