数学问题解答0108.pdf

数学问题解答 2001年7月号问题解答 解答由问题提供人给出 1321 实数a b c R 满足不等式 b c 2 a c a 2 b a b 2 c 求 证 a b c 江西南昌大学附中 宋庆 黄伟民 330029 证明 b c 2 4a2 4a2 b2 c2 2bc 0 同理可得4b2 c2 a2 2ca 0 4c2 a2 b2 2ab 0 以上三式相加 可得 2a2 2b2 2c2 2bc 2ca 2ab 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b b c c a 0 a b c 1322 锐角 ABC A B C的对边长分别 为a b c 延长AB到Q 使BQ a 延长BA到P 使PA b 延长BC到H使CH b 延长CB到 G使BG c 延长CA到M使MA c 延长AC到 N使CN a 直线GQ HN MP交成 A B C 记 ABC与 A B C 的面积分别为 与 1 求证 25 2 用a b c表示 山东章丘市 井镇中心中学 250220 解 如图 显然 ABC HNC GBQ AMP且 A GH B MN C PQ为底边长a b c 底角分别为 A B C的等腰三角形 易 得 S A GH 1 4 a b c 2tgA S B MN 1 4 a b c 2tgB S C PQ 1 4 a b c 2tgC 从而 S A B C S A GH S B MN S C PQ 2S ABC 1 4 a b c 2 tgA tgB tgC 2S ABC 1 4 a b c 2tgA tgB tgC 2S ABC 即 1 4 a b c 2tgA tgB tgC 2 3 11 由 3 式及熟知的三角不等式 a b c 2 12 3 tgAtgBtgC 3 3 得 1 4 12 3 3 3 2 25 所以 25 21 易得tgA 4 b2 c2 a2 tgB 4 c2 a2 b2 tgC 4 a2 b2 c2 从而由 3 式得 1 4 a b c 2 64 3 a 2 b2 c2 b 2 c2 a2 c 2 a2 b2 2 进而 16 2 a b c 2 a 2 b2 c2 b 2 c2 a2 c 2 a2 b2 2 由海伦公式 得 16 2 a b c a b c b c a c a b 于是 a b c b c a c a b a b c 3 a 2 b2 c2 b 2 c2 a2 c 2 a2 b2 2 1323 三棱锥D ABC中 AD a BD b AB CD c 且 DAB BAC DAC 180 DBA ABC DBC 180 求异面直线AD 与BC所成的角 642001年 第8期 数学通报 湖北省黄石二中 杨志明 435000 图1 解 将三棱锥D ABC侧面沿各条侧棱剪开 后展在底面所在的平面上 如图1所示 D1AB BAC D2AC 180 D1 A D2三点共 线 D1BA ABC D3BC 180 D1 B D3三点共线 AD1 AD2 BD1 BD3 AB是 D1D2D3的中位线 D2D3 2AB 2c 而 CD2 CD3 c CD2 CD3 D2D3 D2 C D3三点共线 ABD1 BCD3 ACD2 AD BC a BD AC b 又 AB CD c 三棱锥D ABC是等腰三棱锥 将等腰三棱锥D ABC放入如图2所示的长 方体中 设长方体的长 宽 高分别为x y z 则 图2 x2 y2 a2 1 y2 z2 b2 2 z2 x2 c2 3 1 2 3 得 x2 y2 z2 1 2 a 2 b2 c2 4 4 1 4 2 4 3 得 x 1 2 2 a 2 b2 c2 y 1 2 2 c 2 a2 b2 z 1 2 2 b 2 c2 a2 cos A OC a 2 2 a 2 2 1 2 2 a 2 b2 c2 2 2 a 2 2 c2 b2 a2 异 面 直 线AD与BC所 成 的 角 是 arccos b2 c2 a2 1324 已知n是一个使1 23 33 n3不能 被5整除的自然数 试求1 22 32 n2除 以5所得的余数 湖北洪湖市第三中学 廖明村 433218 解 S 1 23 33 n3 n2 n 1 2 4 其中S N 当n 5t 5t 1 t N 时 则n2 n 1 2必 为5的倍数 因为S N 又S的表达式中分母不能被5 整除 于是当n 5t 5t 1时 和S必为5的倍 数 亦即 当S 1 23 33 n3不能被5整 除时 则n一定可以写成5t 2或5t 3或5t 4形式的数 此时 1 22 32 n2 n n 1 2n 1 6 可以化为 S1 5t 2 5t 1 10t 3 6 t N 或者 S2 5t 3 5t 2 10t 5 6 t N 或者 S3 5t 4 5t 3 10t 7 6 t N 显见S2 5t 3 5t 2 10t 5 6 5 5t 3 5t 2 2t 1 6 除以5所得的余数为0 而S1 5t 2 5t 1 10t 3 6 250t3 225t2 65t 6 6 742001年 第8期 数学通报 5 50t3 45t2 13t 6 6 4 此处50t3 45t2 13t 6能被6整除 由数 学归纳法证明之 令t 1时 50t3 45t2 13t 6 12能被 6整除 设当t k时 50t3 45t2 13t 6能被6整 除 则当t k 1时 50 k 1 3 45 k 1 2 13 k 1 6 50k3 45k2 13k 6 6 25k2 40k 3 能被6整除 于是得证 故和S1 被5除所得的余数为4 进而S3 5t 4 5t 3 10t 7 6 250t3 525t2 365t 84 6 5 50t3 105t2 73t 18 6 1 由数学归纳法亦可证得 50t3 105t2 73t 18 能被6整除 故和S3被5除所得的余数为1 则有1 23 33 n3不能被5整除的自 然数n 5t 2 5t 3 5t 4 t N 时 使1 22 32 n2除以5所得的余数分别为4 0 1 1325 设ai R i 1 2 n n 3 且满足 a1a2 an 1 1或 n 2 2 求证 a2a3 an a 2 a 3 a n a2a3 an a1a3 an a 1 a 3 a n a1a3 an a1a2 an 1 a 1 a 2 a n 1 a1a2 an 1 1 浙江湖州市双林中学 李建潮 沈永荣 313012 证明 1或 n 2 2 1 2 n 2 0 根据a b 0 满足 0时的不等式 a b a b a b 知 对任何2 i j n都有 a i a j a 2 n 2 n i a n 2 1 n j a n 2 1 n i a 2 n 2 n j 这样的不等式共有C2n 1个 以上C2n 1个不等式 相加 合并为 n 2 n i 2 a i n i 2 a 2 n 2 n i n j 2 j i a n 2 1 n j n i 2 a 2 n 2 n i n 2 n j 2 j i a 1 n j 即 n i 2 a i n i 2 a n 1 n i n j 2 a 1 n j n j 2 a 1 n j n i 2 a n 1 n i a2a3 an a 2 a 3 a n a2a3 an a 1 n 1 a2 an a 1 n 1 n j 2 a 1 n j n i 2 a n 1 n i a2a3 an a n 1 n 1 n i 2 a n 1 n i a n 1 n 1 a1a2 an 1 a n 1 n 1 n i 1 a n 1 n i 1 同理可证 a1a3 an a 1 a 3 a n a1a3 an a n 1 n 2 n i 1 a n 1 n i 2 a1a2 an 1 a 1 a 2 a n 1 a1a2 an 1 a n 1 n n n i 1 a n 1 n i n 以上n个不等式相加 定理得证 参考文献 1 宋庆 第37届IMO预选题的推广 中学生数学 1998 11 842001年 第8期 数学通报 数学风流人物 还看今朝 评 现代数学家传略辞典 辛时季 20世纪已经过去 回顾百年来的数学风云人物 追寻数学伟人 的历史脚步 是为了中国数学的明天 在国际数学舞台的中心位置上 人们可以看 到D 希尔伯特 H 外尔 冯 诺依曼 A H 科 尔莫哥洛夫等大数学家的身影 他们是那个数学 时代的代表 但是 20世纪下半叶的数学家群体 已经多元化了 频繁的国际交往 迅速的信息交 流 尤其是英特网的发展 使世界变小了 其中也 包活数学界 数学家获得诺贝尔经济学奖 医学 奖 化学奖 物理学家获得数学最高奖 费尔兹 奖 数学和其他领域的交流比以往任何时候都要 密切 总之 许多人会在不经意间看到一位数学家 的名字 为了想进一步与之交往 必须知道他的背 景 工作领域 以及主要著述 到那里去找这样的 信息呢 于是 一本词典 汇集活跃在当代国际数 坛上数学家信息 问世了 编著者是华东师范大学的一个数学史研 究群体 他们已为此整整工作了十个年头 研究群 体的带头人是我国现代数字史研究专家张奠宙教 授 他在1984年完成的 曾 经风靡一时 包括获得陈省身教授的来信赞许 坊间出版数学家词典 如梁宗巨先生主编的 1989 邓宗琦教授主编的 1990 相距有十年多 本世纪 最后20年的数学风云人物 如怀尔斯证明费马的 定理 历年的费尔兹奖 沃尔夫奖获得者 以及和 计算机科学有关的许多人物 都来不及收进上述 两辞典 现在的这本 特点是一个字 新 主要收集有突出贡献 比较 年轻 国内尚未介绍过的外国数学家的传记 江苏教育出版社和中国数学界有特殊的渊 源 例如 他们正在编辑一套 已出四卷 这是一件历史性的工作 1997 年 为了使国内外数学家的资料得以相互印证和 呼应 就有了出版的 想法 现在 已经正式出版 可以预想 它将会给数学界和科学界带来一些新的信息 2001年8月号问题 来稿请注明出处 编者 1326 设m 0 n 0 0 2 求证 m sec n csc m 2 3 n 2 3 3 2 江苏省灌云县中学 朱兆和 222200 1327 P在 正 ABC内 PAB PBC PCA 90 试确定P点的几何位置 并说明理 由 安徽怀宁江镇中学 黄全福 246142 1328 已知 a b c R 且a b c 证明 a b 2b b c 2c c a 2