广东省深圳市高考数学一模试卷 理（含解析）.doc

广东省深圳市2015届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合u=2，0，1，5，集合a=0，2，则ua=（）ab0，2c1，5d2，0，1，52（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）abcd3（5分）若函数y=ax+b的部分图象如图所示，则（）a0a1，1b0b0a1，0b1ca1，1b0da1，0b14（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）a3b4c6d95（5分）已知直线a，b，平面，且a，b，则“ab”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）a16b25c36d497（5分）在abc中，a，b，c分为为a，b，c所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2ac）x+1有极值点，则b的范围是（）a（0，）b（0，c，）d，8（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，若an=2015，则n=（）a83b82c39d37二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答9（5分）（x）4的展开式中常数项为（用数字表示）10（5分）（x22sinx）dx=11（5分）已知向量=（1，1），=（1，）（x0，y0），若，则x+4y的最小值为12（5分）已知圆c：x2+y2+8x+ay5=0经过抛物线e：x2=4y的焦点，则抛物线e的准线与圆c相交所得的弦长为13（5分）设p是函数y=lnx图象上的动点，则点p到直线y=x的距离的最小值为三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14（5分）在极坐标系中，曲线c1：cos=与曲线c2：2cos2=1相交于a，b两点，则|ab|=四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15如图，在rtabc中，a=30，c=90，d是ab边上的一点，以bd为直径的o与ac相切于点e若bc=6，则de的长为三、解答题16（12分）函数f（x）=2sin（x+）（w0）的最小正周期是（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0（0，），求f（x0）的值17（12分）空气质量指数（简称aqi）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染aqi值范围0，50）50，100）100，150）150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望18（14分）在三棱锥pabc中，已知平面pbc平面abc，ab是底面abc最长的边三棱锥pabc的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥pabc的直观图补充完整（其中点p在xoz平面内），并指出三棱锥pabc的哪些面是直角三角形；（2）求二面角bpac的正切值；（3）求点c到面pab的距离19（14分）已知数列an的首项大于0，公差d=1，且+=（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：b1=1，b2=，bn+1=bn+，其中n2求数列bn的通项bn；是否存在实数，使得数列bn为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20（14分）已知椭圆e：+=1（ab0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆e的方程；（2）若动直线l与椭圆e有且只有一个公共点，过点m（1，0）作l的垂线垂足为q，求点q的轨迹方程21（14分）已知定义在2，2上的奇函数f（x）满足：当x（0，2时，f（x）=x（x2）（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）ax2a，其中常数a0试指出函数f（x）=g（f（x）的零点个数；若当1+是函数f（x）=g（f（x）的一个零点时，相应的常数a记为ak，其中k=1，2，n证明：a1+a2+an（nn*）广东省深圳市2015届高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合u=2，0，1，5，集合a=0，2，则ua=（）ab0，2c1，5d2，0，1，5考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据集合的补集的定义求出a的补集即可解答：解：集合u=2，0，1，5，集合a=0，2，ua=1，5，故选：c点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题2（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）abcd考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：z（1+i）=1，=故选：d点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题3（5分）若函数y=ax+b的部分图象如图所示，则（）a0a1，1b0b0a1，0b1ca1，1b0da1，0b1考点：指数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数的图象和性质即可判断解答：解：由图象可以看出，函数为减函数，故0a1，因为函数y=ax的图象过定点（0，1），函数y=ax+b的图象过定点（0，b），1b0，故选：a点评：本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键4（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）a3b4c6d9考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出可行域，平行直线可得直线过点a（3，0）时，z取最大值，代值计算可得解答：解：作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=2x+z，平移直线y=2x可知，当直线经过点a（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为6故选：c点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题5（5分）已知直线a，b，平面，且a，b，则“ab”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据题意，分两步来判断：分析当时，ab是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，分析当ab时，是否成立，举出反例可得其是假命题，综合可得答案解答：解：根据题意，分两步来判断：当时，a，且，a，又b，ab，则ab是的必要条件，若ab，不一定，当=a时，又由a，则ab，但此时不成立，即ab不是的充分条件，则ab是的必要不充分条件，故选b点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质6（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）a16b25c36d49考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，n，s的值，当i=6时，满足条件i5，退出循环，输出s的值为36解答：解：执行程序框图，可得s=0，n=1，i=1s=1，不满足条件i5，i=2，n=3，s=4不满足条件i5，i=3，n=5，s=9不满足条件i5，i=4，n=7，s=16不满足条件i5，i=5，n=9，s=25不满足条件i5，i=6，n=11，s=36满足条件i5，退出循环，输出s的值为36故选：c点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确判断退出循环时s的值是解题的关键，属于基础题7（5分）在abc中，a，b，c分为为a，b，c所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2ac）x+1有极值点，则b的范围是（）a（0，）b（0，c，）d，考点：利用导数研究函数的极值 专题：计算题；导数的综合应用；解三角形分析：先求导f（x）=x2+2bx+（a2+c2ac），从而化函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2ac）x+1有极值点为x2+2bx+（a2+c2ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解解答：解：f（x）=x3+bx2+（a2+c2ac）x+1，f（x）=x2+2bx+（a2+c2ac），又函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2ac）x+1有极值点，x2+2bx+（a2+c2ac）=0有两个不同的根，=（2b）24（a2+c2ac）0，即aca2+c2b2，即ac2accosb；即cosb；故b的范围是（，）；故选：d点评：本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题8（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，若an=2015，则n=（）a83b82c39d37考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论解答：解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+43+2+33+62=36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有34+63+1+7=38个数，小于等于2015的一共有1+8+36+38=83个，即a83=2015故选：a点评：本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答9（5分）（x）4的展开式中常数项为（用数字表示）考点：二项式定理 专题：计算题；二项式定理分析：利用二项展开式的通项公式tr+1=（）rx42r，令42r=0得r=2，即可求出（x）4的展开式中常数项解答：解：设（x）4展开式的通项为tr+1，则tr+1=（）rx42r，令42r=0得r=2展开式中常数项为：（）2=故答案为：点评：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题10（5分）（x22sinx）dx=18考点：微积分基本定理 专题：导数的概念及应用分析：根据微积分基本定理计算即可解答：解：（x22sinx）dx=（x3+2cosx）|=33+2cos3（3）32cos（3）=9+9=18故答案为：18点评：本题考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题11（5分）已知向量=（1，1），=（1，）（x0，y0），若，则x+4y的最小值为9考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据，得到x+y=xy，由x+4y4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，从而得到答案解答：解：，（x0，y0），=1+=0，+=1，x+4y=（x+4y）（+）=1+45+2=9，当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，故答案为：9点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题12（5分）已知圆c：x2+y2+8x+ay5=0经过抛物线e：x2=4y的焦点，则抛物线e的准线与圆c相交所得的弦长为4考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线e：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=1，确定圆的方程，即可求出抛物线e的准线与圆c相交所得的弦长解答：解：抛物线e：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=1（0，1）代入圆c：x2+y2+8x+ay5=0，可得1+a5=0，a=4圆c：x2+y2+8x+4y5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，圆心到直线的距离为d=1，抛物线e的准线与圆c相交所得的弦长为2=4故答案为：4点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础13（5分）设p是函数y=lnx图象上的动点，则点p到直线y=x的距离的最小值为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；作图题；导数的综合应用分析：由题意作图，从而可得点p（1，0）时，点p到直线y=x的距离的有最小值；从而求解解答：解：由题意作图如下，令y=1得，x=1，y=0；故点p（1，0）时，点p到直线y=x的距离的有最小值；故d=；故答案为：点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14（5分）在极坐标系中，曲线c1：cos=与曲线c2：2cos2=1相交于a，b两点，则|ab|=2考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：曲线c1：cos=化为x=曲线c2：2cos2=1化为2（cos2sin2）=1，可得x2y2=1，联立解得即可解答：解：曲线c1：cos=化为x=曲线c2：2cos2=1化为2（cos2sin2）=1，x2y2=1，联立，解得|ab|=2故答案为：2点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长问题，考查了计算能力，属于基础题四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15如图，在rtabc中，a=30，c=90，d是ab边上的一点，以bd为直径的o与ac相切于点e若bc=6，则de的长为4考点：与圆有关的比例线段 专题：立体几何分析：连接oe，由已知得aeo=90，oa=2oe，od=ad，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得de=od，由此能求出de的长解答：解：连接oe，ac是o的切线，aeo=90，a=30，oa=2oe，oa=od+ad，od=oe，od=ad，de=od（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），c=90，a=30，bc=6，ab=2bc=12，ab=ob+od+ad=3od=12，od=4，de=od=4故答案为：4点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用三、解答题16（12分）函数f（x）=2sin（x+）（w0）的最小正周期是（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0（0，），求f（x0）的值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）由已知可求的值，从而可得解析式，即可根据诱导公式求值（2）由已知可求得cos2x0的值，即可求sin2x0的值，由两角和的正弦公式展开所求代入即可求值解答：解：（1）f（x）的周期是，即t=，（1分）=2，即 （3分） （5分）（2）由得，（7分）又，2x0（0，），（8分），（9分）= （12分）点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=asin（x+）的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力，属于基础题17（12分）空气质量指数（简称aqi）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值城市 aqi数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染aqi值范围0，50）50，100）100，150）150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（1）根据已知数据，能完成表格（2）按分层抽样的方法，抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个根据题意的所有可能取值为：1，2，3分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染aqi值范围0，50）50，100）100，150）150，200）城市频数21261（2分）（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，（3分）从“轻度污染”类城市中抽取个，（4分）所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个根据题意的所有可能取值为：1，2，3，（8分）的分布列为：123p所以 （11分）答：的数学期望为2个（12分）点评：本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力18（14分）在三棱锥pabc中，已知平面pbc平面abc，ab是底面abc最长的边三棱锥pabc的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥pabc的直观图补充完整（其中点p在xoz平面内），并指出三棱锥pabc的哪些面是直角三角形；（2）求二面角bpac的正切值；（3）求点c到面pab的距离考点：二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知条件能用出三棱锥pabc直观图，由三视图知abc和pca是直角三角形（2）过p作phbc交bc于点h，由三视图知pbc为等腰三角形，取pc的中点e，过e作efpa且交pa于点f，连接be，bf，bfe是二面角bpac的平面角，由此能求出二面角bpac的正切值（3）记c到面pab的距离为h，由vpabc=vcpab，能求出c到面pab的距离解答：解：（1）三棱锥pabc直观图如图1所示；由三视图知abc和pca是直角三角形（3分）（2）如图2，过p作phbc交bc于点h，由三视图知pbc为等腰三角形，bc=4，pb=pc=bc=4，取pc的中点e，过e作efpa且交pa于点f，连接be，bf，因为bepc，由三视图知ac面pbc，且be面pbc，acbe，又由acpc=c，be面pac，由pa面pac，bepa，beef=e，pa面bef，由bf面bef，pabf，所以bfe是二面角bpac的平面角（6分）pefpac，（8分），在直角bfe中，有所以，二面角bpac的正切值为 （9分）（3）记c到面pab的距离为h，由（1）、（2）知，pb=4，vcpab=，（12分）三棱锥pabc的体积，（13分）由vpabc=vcpab，得c到面pab的距离 （14分）点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力19（14分）已知数列an的首项大于0，公差d=1，且+=（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：b1=1，b2=，bn+1=bn+，其中n2求数列bn的通项bn；是否存在实数，使得数列bn为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由考点：数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知得=，从而，由此能求出数列an的通项公式（2）由已知得=+1，令cn=，则c2=，cn+1=cn+1，由此能求出数列bn的通项公式若数列bn为等比数列，则有，由此能求出存在实数=1，使得数列bn为等比数列解答：解：（1）数列an的首项大于0，公差d=1，且+=，（2分）=，（3分）整理得，解得a1=1或a1=3（舍去）（4分）因此数列an的通项an=n（5分）（2）bn+，=+1（6分）令cn=，则有c2=，cn+1=cn+1，（n2）当n2时，cn=c2+（n2）=n2+，（8分）数列bn的通项bn=（9分）b1=1，b2=，（10分）若数列bn为等比数列，则有=b1b3，即，解得=1或（11分）当时，（n2），不是常数，数列bn不是等比数列，当=1时，b1=1，（n2），数列bn为等比数列所以，存在实数=1，使得数列bn为等比数列（14分）点评：本题考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想20（14分）已知椭圆e：+=1（ab0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆e的方程；（2）若动直线l与椭圆e有且只有一个公共点，过点m（1，0）作l的垂线垂足为q，求点q的轨迹方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由椭圆e的离心率为，可得=，解得a2=2b2，可得c=b故椭圆e的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆e的左焦点坐标为（b，0），过左焦点倾斜角为45的直线方程为l：y=x+b与椭圆方程联立可得交点坐标，利用弦长公式|ab|=，解得b即可得出（2）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，根据直线l和椭圆e有且仅有一个交点，可得=0，m2=2k2+1由于直线mq与l垂直，可得直线mq的方程为：y=，联立，解得，消去m，k即可得出解答：解：（1）椭圆e的离心率为，=，解得a2=2b2，c2=a2b2=b2，即c=b故椭圆e的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆e的左焦点坐标为（b，0），过左焦点倾斜角为45的直线方程为l：y=x+b设直线l与椭圆e的交点记为a，b，联立，消去y，得3x2+4bx=0，解得x1=0，x2=，|ab|=，解得b=1故椭圆e的方程为（2）（ i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，联立，消去y并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直线l和椭圆e有且仅有一个交点，=16k2m24（1+2k2）（2m22）=0，化简并整理，得m2=2k2+1直线mq与l垂直，直线mq的方程为：y=，联立，解得，x2+y2=2（*）（ ii）当切线l的斜率为0时，此时q（1，1），符合（*）式 （ iii）当切线l的斜率不存在时，此时q 或，符合（*）式综上所述，点q的轨迹方程为x2+y2=2点评：本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想，属于难题21（14分）已知定义在2，2上的奇函数f（x）满足：当x（0，2时，f（x）=x（x2）（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）ax2a，其中常数a0试指出函数f（x）=g（f（x）的零点个数；若当1+是函数f（x）=g（f（x）的一个零点时，相应的常数a记为ak，其中k=1，2，n证明：a1+a2+an（nn*）考点：数列与函数的综合 专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，当x2，0）时，f（x）=f（x）=（x）（x2）=x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域（2）当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t（0，1）或t（1