数列复习讲义.doc

教学内容【知识梳理】知识点1 一、数列的通项的求法 1.公式法：等差数列通项公式； 等比数列通项公式. 2.作差法：已知(即)求用作差法：. 3.作商法：已知求用作商法：. 4.叠加法:若求用叠加法. 5.叠乘法：已知,求用叠乘法. 6.构造法(构造等差、等比数列)： 形如, (为常数)的递推数列都可以用待定 系数法转化为公比为的等比数列后,再求. 形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项. 二、数列求和的方法 1、公式法： 等差数列求和公式：或 等比数列求和公式； 2、分组求和法：若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 4、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法. 5、裂项相消法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 公式：； ； ； 常见裂项公式：；常见放缩公式：. 知识点21、 等差或等比数列的证明判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：1、定义法：对于n2的任意自然数,验证为同一常数。2、通项公式法：若=+（n-1）d=+（n-k）d，则为等差数列；若，则为等比数列。3、 中项公式法：验证都成立。 知识点3 一、数列的应用 1、“分期付款”、“森林木材”型应用问题 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算 “年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利 和为：(等差数列问题）；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分期还清.如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：(等比数列问题).【精讲精练】【例题1】（2011东城二模文）已知数列的前项和为,且（）。 （）证明:数列是等比数列； （）若数列满足，且，求数列的通项公式【考点】等比数列通项与前项和公式【分析】根据与的关系可求得，继而代入已知条件中即可得到关于数列的递推关系式，再利用叠加法求得通项。 【解答】解：（）证明：由，时，解得.因为，则，所以当时，整理得.又，所以是首项为1，公比为的等比数列. （） 因为，由，得. 当时，有 可得，（），当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为。 【点评】本题主要考察用作差法和叠加法求数列通项的技巧，要注意时的情况，必要时分 段书写。【巩固1】数列的前项和为不等于0，1的常数)，求其通项公式。【考点】数列通项求法【分析】可利用与的关系可求得通项公式。 【解答】解：由可得当时， ， ， ， ，是公比为的等比数列. 又当时， 。 【点评】本题复习作差法求通项公式，注意题中字母的范围，必要时要分类讨论。 【例题2】设是首项为1的正项数列，且满足， 则它的通项公式【考点】数列通项公式的求法。【分析】化简已知条件中给出的递推公式，通过叠乘等式，得到通项。 【解答】 解：由，得 由，得， ，即 ， 将以上个式子叠乘，得 因为，所以 【点评】形如的递推数列求通项适用此法。 【例题3】数列，首项为，满足（），求通项公式。【考点】数列通项公式的求法。【分析】整理变形递推公式，构造新数列，再利用整体代换方法求得通项。 【解答】 解：设存在一实数，满足，即. 又因为，所以，即：. 由可知数列是首项为，公比为的等比数列。 故，即.代入得： 【点评】注意此类问题中可用待定系数法求出。 【巩固1】根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式。 【考点】数列通项公式的求法。【分析】根据不同递推公式的特点，依次选择用叠加、叠乘、构造法求得各个通项。 【解答】 解：（1）， （2）= 又由题意可知，对一切自然数成立， （3）是首项为公比为的等 比数列， 【点评】本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。【例题4】求数列，的前项和【考点】分组法数列求和。 【分析】此数列的通项公式是，而数列是一个等差数列，数列是一个等比数列，故采用分组求和法求解 【解答】 解： 【点评】在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和. 【例题5】数列为等差数列，试证明数列的前项和。【考点】等差数列求和方法。【分析】利用等差数列的性质，倒序相加求和。【解答】证明：由题意得： ，即： ， 两式左右分别相加，得 ， 由等差数列性质可知： 所以， 于是有： .这就是倒序相加法. 【点评】倒序相加法主要适用于等差数列求和。 【例题6】数列为等比数列，试证明数列的前项和【考点】等比数列求和方法。【分析】分类讨论，当公比不为1时用错位相减法求和。 【解答】证明：设等比数列首项为，公比为，则 当时， 所以 当时， -得：，又因为，所以 故 【点评】用错位相减法求和时要注意公比。 【变式1】设数列满足，求其前项和。 【考点】错位相减法求和方法的应用。【分析】仿照等比数列求和公式的推导方法进行错位相减求数列和。 【解答】解：由题意得： -得： 所以， 【点评】形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法.【例题7】（2010山东卷理）已知等差数列满足：，的前n项 和为 （）求及； （）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【考点】等差数列的通项公式与前n项和公式的应用。【分析】（根据等差数列通项公式并结合已知条件求出和，从而可得到通项及，在求出，并根据其通项形式特点进行裂项求和。 【解答】 解：（）设等差数列的公差为d，因为，所以有 ，解得， 所以；=。 （）由（）知，所以bn=， 所以=， 即数列的前n项和=。 【点评】熟练数列的基础知识及常用裂项公式是解答好本类题目的关键。 【变式1】已知， 求的和【考点】裂项相消求和法的应用。 【分析】首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n项和. 【解答】解： ， 【点评】注意裂项公式的变形。【例题8】已知数列中，是其前项和，并且， 设数列，求证：数列是等比数列； 设数列，求证：数列是等差数列；【考点】等差数列和等比数列的判定。【分析】由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径 【解答】 解：（1）由得：，两式相减，得即： ，又，所以 已知解得 由和得，数列是首项为3，公比为2的等比数列，故 （2）因为, 所以 又，股数列是首项为，公差为的等差数列，即 【点评】定义法是证明等差数列和等比数列最常用的方法，但要注意时的情形。【例题9】用分期付款的方式购买家电一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为若从交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？【考点】数列的应用（分期付款模型）【分析】购买时交付150元后，还欠款1000元，按题意应分20次付清由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺次构成一数列 【解答】 解：设每次交付欠款的数额依次为，则 （元）， ， ， （元），即第10个月应付款55.5元 由于是以60为首项，以为公差的等差数列， 所以有（元） 即全部付清后实际共付款（元） 【点评】采用分期付款的方法，购买售价为元的商品（或贷款元），每期付款数相同，购买 后1个月（或1年）付款1次，过1个月（或1年）再付1次，如此下去，到第次付 款后全部付清如果月利率（或年利率）为，那么每期付款元满足下列关系： 不按复利计息时为， 按复利计息时为， 化简，得【同步测控】练习1、求下列数列的前项和： （1）5，55，555，5555，； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 练习2、(2011朝阳二模理）已知数列满足，且，则 ；并归纳出数列的通项公式 。 练习3、设二次方程有两根和，且满足(1) 试用表示；(2) 求证：是等比数列；(3) 当时，求数列的通项公式。【精锐小测】测试1、设，则数列的通项公式= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 测试2、已知数列的通项公式，如果，求数列的前项和。测试3、（2011辽宁卷理）已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列an的通项公式； （II）求数列的前n项和【参考答案】 【同步测控答案】练习1、解：（1） （2）， （3） （4）， 当时， 当时， ， ， 两式相减得 ， （5）， 原式 （6）设， 又， ，练习2、 ， 。