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第二篇最优控制理论习题答案 2 1 求通过 x 0 1 x 1 2 并使性能指标 1 2 0 1 Jxdt 为最小的曲线 x t 解 本题属于无约束 无状态方程约束 始端和终端均固定的泛函极值问题 可用变分法求解 被积函数 2 1 0 2 2 LLdL Lxxx xxdtx 代入欧拉方程 0 LdL xdtx 得20 x 即0 x 1 xc 12 xctc 通解形式 由边界条件 2 12 0 1 1 2 xc xcc 解之 得 1 2 1 1 c c 故最优轨线为 1x tt 2 2 求一阶系统 0 1x tu tx 当性能指标为 1 22 0 1 2 Jxudt 取最小值时的最优控 制与最优轨线 解 本题属于有约束 始端固定 终端时间 f t固定 f x t自由 控制u无限制的泛函极值问题 可用变分法求解 构造哈密顿函数 2222 11 22 HxuuLxu 注 协态方程 H x x 即x 极值条件 控制方程 0 H u u 即u 由系统的状态方程 xu 及 式 xx 由 式及 式 得 xx 故 12 tt x tc ec e 12 tt tx tc ec e 代入边界条件 1 1212 0 1 1 0 1 0 x ccc ec e 终端横截条件 f t f x t 得 12 0 12 0 88cc 最优轨线 0 120 88 tt x tee 最优控制 0 120 88 tt u tee 2 5 有一开环系统 包含放大倍数为4的放大器和一个积分环节 现加入输入u t 要将系统从t 0时的x0转移 到t T时的xT 并使性能泛函 22 0 4 T Jxudt 达到最小值 试求输入的控制 u t 解 本题属于有约束 始端和终端均固定的情况 由题意 4xu 0 0 xx T x Tx 构造哈密顿函数 22 44Hxuu 2 H x x 即 2x 1 840 H u u 即 2u 2 由4xu 及 1 2 两式 得 4xx 22 12 tt x tc ec e 代入边界条件 120 22 12 0 TT T xccx x Tc ec ex 解方程组得 2 0 1 22 T T TT xx e c ee 2 0 2 22 T T TT xx e c ee 22 22 00 2222 TT tt TT TTTT xx exx e x tee eeee 22 22 00 2222 1 42 2 TT tt TT TTTT xx exx e u tx tee eeee 2 8 设二阶系统状态方程为 1121 xxuxx x1 0 1 x2 0 0 1u 终端 x tf 自由 试确定最优控制 u t 使下列性能指标J x2 1 取最小值 解 本题为控制受限制 f t给定 f x t自由 末值型性能指标的最优控制问题 可用最小值 4 s x u 原理求解 令 112 1 Hxux 2 1 x 1122 12 0 HH xx 故 1121 112 t cec 22 c 由横截条件 12 12 1 0 1 1 1 1 xx 那么 12 0cec 2 1 c 1 1 ce 所以 1 1 1 t te 由极值条件 min u HH 得 1 sgn utt 不难发现 1 1 0 10e 1 1 0 即 1 1 10 0 1 t tet 故最优控制 1 0 1 utt 2 9 设线性系统为 0 1x tu tx 性能指标为 22 0 Jxudt 试求最优控制 u t 使性 能指标 J 取最小值 解 本题属于线性定常系统状态调节器问题 由系统状态方程及性能指标 0 1 1 1ABQR 代入 Riccati 代数方程 1 0 001 1 110 TT KAA KKBR B KQ KKKK 1 s 1 x t u t 故1K 取1K 最