同济大学的高等数学讲义 (13).pdf

第五章定积分第五章定积分 第一单元定积分第一单元定积分 本单元内容要点本单元内容要点 定积分的概念 性质 积分上限函数 微积分基本公 式 定积分的概念 性质 积分上限函数 微积分基本公 式 本单元教学要求本单元教学要求 理解定积分的定义和实质 熟悉定积分的性质 理解理解定积分的定义和实质 熟悉定积分的性质 理解 积分上限函数的实质 掌握牛顿 莱拨尼茨公式 积分上限函数的实质 掌握牛顿 莱拨尼茨公式 本单元教学重点和难点本单元教学重点和难点 重点 重点 定积分的概念 积分中值定理 积分上限函数 微积分定积分的概念 积分中值定理 积分上限函数 微积分 基本公式 基本公式 难点 难点 定积分的概念 积分上限函数及性质 微积分基本定理 定积分的概念 积分上限函数及性质 微积分基本定理 本单元课时数 本单元课时数 4课时 课时 一 定积分的概念与性质一 定积分的概念与性质 定积分问题举例定积分问题举例 1 曲边梯形面积曲边梯形面积 yf x xi 1xia x0 xn b i x o y 设在区间上非 负 连续 由直线及曲线 设在区间上非 负 连续 由直线及曲线 yf x 0 xa yb yyf x 所围成的图形称为曲边梯 形 所围成的图形称为曲边梯 形 为计算该图形的面积 在区间为计算该图形的面积 在区间 a b 中插入中插入n 1个分点个分点 011 nn axxxxb 从而把区间从而把区间 a b 分成分成n个小区间个小区间 yf x xi 1xia x0 xn b i x o y 01121 nn x xx xxx 相应的长度依次为相应的长度依次为 1 1 2 iii xxxin 在由及 围成的小曲边梯形 的面积的近似值为 在由及 围成的小曲边梯形 的面积的近似值为 1 0 ii xxxx y yf x iii Afx 其中为区间中的任意点 由此 以其中为区间中的任意点 由此 以n个小 矩形的面积作为曲边梯形面积的近似值 则有 个小 矩形的面积作为曲边梯形面积的近似值 则有 i 1 ii xx 1 n ii i Afx 记则得面积为记则得面积为 12 max n xxx 0 1 lim n ii i Afx 2 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 设某物体作直线运动 已知速度是时间间隔设某物体作直线运动 已知速度是时间间隔 T1 T2 上 的连续函数 且计算在这段时间 内物体所走过的路程 上 的连续函数 且计算在这段时间 内物体所走过的路程 vv t t 0 v t 我们知道 在匀速直线运动中 路程为我们知道 在匀速直线运动中 路程为 路程路程 速度 时间 速度 时间 而对于非匀速直线运动中 我们将时间区间分割成若干而对于非匀速直线运动中 我们将时间区间分割成若干 个小区间 即在区间个小区间 即在区间 T1 T2 中插入分点中插入分点 10112 nn TttttT 从而把从而把 T1 T2 分成分成n个小段个小段 01121 nn t tt ttt 各小段的长度依次为各小段的长度依次为 1 1 2 iii tttin 在各小段上物体走完的路程分别为在各小段上物体走完的路程分别为 12 n sss 在每一个小区间在每一个小区间 ti 1 tt 上 物体走过的路程近似为上 物体走过的路程近似为 1 2 iii svtin 故 物体在时间区间故 物体在时间区间 T1 T2 走完的路程近似为走完的路程近似为 1 n ii i sv tt 记则记则 12 max n ttt 0 1 lim n ii i svt 2 定积分的定义定积分的定义 在上面的两个问题中 我们发现我们所讨论的问题 在上面的两个问题中 我们发现我们所讨论的问题 最终都归结为一个极限形式最终都归结为一个极限形式 0 1 lim n ii i fx 抽去问题的实际背景 则得到定积分的定义 抽去问题的实际背景 则得到定积分的定义 定义设函数在定义设函数在 a b 上有界 在上有界 在 a b 中任意插入 分点 中任意插入 分点 f x 011 nn axxxxb 从而把区间从而把区间 a b 分成分成n个小区间个小区间 01121 nn x xx xxx 各小区间的长度依次为各小区间的长度依次为 1 1 2 iii xxxin 在每个小区间在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 作 函数值与小区间长度的乘积 并作和 上任取一点 作 函数值与小区间长度的乘积 并作和 1iiii xx 在以下的讨论中 所有的函数均为可积函数 在以下的讨论中 所有的函数均为可积函数 性质性质1 bbb aaa f xg xdxf x dxg x dx 证证 0 1 00 11 lim limlim n b iii a i nn ii ii bb aa f xg xdxfgx fxgx f x dxg x dx 性质性质2 bb aa kf x dxkf x dx 性质性质3 设则设则 acb bcb aac f x dxf x dxf x dx 证因在区间证因在区间 a b 上可积 所以无论把上可积 所以无论把 a b 怎样 划分 积分和总是不变的 因而在分区间时 可以使 成为一个分点 那么 怎样 划分 积分和总是不变的 因而在分区间时 可以使 成为一个分点 那么 a b 上的积分和等于上的积分和等于 a c 上的积 分和加 上的积 分和加 c b 上的积分和 记为上的积分和 记为 f x c iiiiii a ba cc b fxfxfx 0 令两边取极限 得令两边取极限 得 bcb aac f x dxf x dxf x dx 此性质表明定积分对于区间有可加性 此性质表明定积分对于区间有可加性 值得注意的是 此性质对任意的都是成立的 即值得注意的是 此性质对任意的都是成立的 即 a b c bcb aac f x dxf x dxf x dx 上式中只要在最大的一个区间上积分存在即可 上式中只要在最大的一个区间上积分存在即可 性质性质4 如果在区间如果在区间 a b 上 则上 则 1 f x 1 b a dxba 注此性质的几何意义是相当明显的 注此性质的几何意义是相当明显的 性质性质5 如果在如果在 a b 上则上则 0 f x 0 b a f x dx 证因又因 因此 证因又因 因此 001 2 i f xfin 0 i x 1 2 in 1 0 n ii i fx 令由极限的保号性 即得 令由极限的保号性 即得 12 max 0 n xxx 0 1 lim0 n b ii a i f x dxfx 推论推论1 如果在区间如果在区间 a b 上 恒有则上 恒有则 f xg x bb aa f x dxg x dx bb aa fx dxfx dx 推论推论2 性质性质6 设及分别是在设及分别是在 a b 上的最大值和最 小值 则 上的最大值和最 小值 则 Mm f x b a m baf x dxM ba 由性质由性质6可以估计积分的大致范围 例如 积分可以估计积分的大致范围 例如 积分 1 4 1 2 x dx 4 f xx 被积函数在积分区间上单调增加 最小值 及最大值分别为 被积函数在积分区间上单调增加 最小值 及最大值分别为 4 11 1 216 mM 故由性质故由性质6 得 得 1 4 1 2 111 111 1622 x dx 即 即 1 4 1 2 11 322 x dx 性质性质7 定积分中值定理定积分中值定理 如果函数在如果函数在 a b 上连续 则在区间 上连续 则在区间 a b 上至少存在点使得下式成立 上至少存在点使得下式成立 f x b a f x dxfba 证在性质证在性质6中的不等式各除以得中的不等式各除以得 ba 1 b a mf x dxM ba 此式说明数值介于函数的最大 值和最小值之间 由闭区间连续函数的介值定理 在 此式说明数值介于函数的最大 值和最小值之间 由闭区间连续函数的介值定理 在 1 b a f x dx ba f x a b 上存在点 使得上存在点 使得 1 b a f x dxfab ba 两端同乘即有两端同乘即有 ba b a f x dxfba y x o yf x ab 积分中值定理的几何解释 积分中值定理的几何解释 由积分中值公式由积分中值公式 1 b a f x dxf ba 称为函数在区间称为函数在区间 a b 上的平均值 上的平均值 f x 二 微积分基本公式二 微积分基本公式 1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 有一物体在一直线上运动 在这直线上取定原点 正向及长度单位 使它成一数轴 设时刻 时物体所在 位置为 速度为 有一物体在一直线上运动 在这直线上取定原点 正向及长度单位 使它成一数轴 设时刻 时物体所在 位置为 速度为 t s t v t 在上一目中 物体在时间间隔在上一目中 物体在时间间隔 T1 T2 内经过的路程 可以用速度在 内经过的路程 可以用速度在 T1 T2 上的定积分上的定积分 2 T T sv t dt 来表示 另一方面 这段路程又可用位置函数在区 间 来表示 另一方面 这段路程又可用位置函数在区 间 T1 T2 上的增量上的增量 s t 21 s Ts T 来表示 由此可见位置函数与速度函数之间有 如下关系 来表示 由此可见位置函数与速度函数之间有 如下关系 s t v t 2 1 21 T T v t dts Ts T 又因所以关系式 表示 速度函数在 区间 又因所以关系式 表示 速度函数在 区间 T1 T2 上的定积分等于的原函数在区间上的定积分等于的原函数在区间 s tv t v t v t s t T1 T2 上的增量上的增量 21 s Ts T 上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出来的上述从变速直线运动的路程这个特殊问题中得出来的 关系 在一定条件下具有普遍性 我们将在下一段中证关系 在一定条件下具有普遍性 我们将在下一段中证 明这个事实 明这个事实 2 积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 设函数在在区间设函数在在区间 a b 上连续 并且设 为上连续 并且设 为 a b 上的一点 则在上的一点 则在 a x 上的定积分上的定积分 f x x f x x a f x dx 确定了区间确定了区间 a b 上的一个新的函数 由于该积分与变量 有关 故称此函数为函数在区间 上的一个新的函数 由于该积分与变量 有关 故称此函数为函数在区间 a b 上的积分 上限函数 记为 上的积分 上限函数 记为 x f x x a xf t dtaxb 定理定理1 如果函数在区间如果函数在区间 a b 上连续 则积分上限 函数 上连续 则积分上限 函数 f x x a xf t dt 在区间在区间 a b 上可导 且其导数为上可导 且其导数为 x a d xf t dtf x dx 作为该定理的更一般形式 我们有作为该定理的更一般形式 我们有 x x f t dtx fxx fx 3 牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 定理定理2 如果函数是连续函数在区间如果函数是连续函数在区间 a b 上 的一个原函数 则 上 的一个原函数 则 F x f x b a f x dxF bF a 证已知函数是连续函数的一个原函数 又积分上限函数 证已知函数是连续函数的一个原函数 又积分上限函数 F x f x x a xf t dt