中考数学一轮复习 专题6 空间与图形 6.1 图形的轴对称、平移和旋转（试卷部分）课件.ppt

第六章空间与图形6 1图形的轴对称 平移和旋转 中考数学 广东专用 考点一图形的轴对称 a组2014 2018年广东中考题组 五年中考 1 2018广东 5 3分 下列所述图形中 是轴对称图形但不是中心对称图形的是 a 圆b 菱形c 平行四边形d 等腰三角形 答案d圆和菱形都是轴对称图形 也都是中心对称图形 所以a b都不符合题意 平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形 所以c不符合题意 等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形 故选d 方法总结本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合 这样的图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 如果一个图形绕某一点旋转180 后能够与自身重合 那么这个图形就叫做中心对称图形 这个点叫做对称中心 易错警示此类问题容易混淆平行四边形的对称性和特殊平行四边形的对称性 等边三角形的对称性是最容易弄错的 一不小心就会看成中心对称图形 2 2018广州 2 3分 如图所示的五角星是轴对称图形 它的对称轴共有 a 1条b 3条c 5条d 无数条 答案c如图所示 五角星的对称轴共有5条 思路分析根据轴对称图形的定义 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 分析 理解题目 方法总结轴对称图形和中心对称图形是经常考查的考点 考生需要正确理解其概念 轴对称图形是沿直线翻折后直线两旁的部分能够互相重合 中心对称图形是在平面内一个图形绕某个点旋转180 后能够与原图形重合 3 2017广东 6 3分 下列所述图形中 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 a 等边三角形b 平行四边形c 正五边形d 圆 答案d等边三角形和正五边形是轴对称图形 但不是中心对称图形 所以a c均不正确 平行四边形是中心对称图形 但不一定是轴对称图形 所以b不正确 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 故选d 4 2017深圳 4 3分 观察下列图形 其中既是轴对称又是中心对称图形的是 答案da项既不是中心对称图形 又不是轴对称图形 b项是轴对称图形 但不是中心对称图形 c项既不是中心对称图形 也不是轴对称图形 d项既是轴对称图形又是中心对称图形 故选d 5 2016深圳 4 3分 下列图形中 是轴对称图形的是 答案b根据轴对称图形的概念可知 只有b选项是轴对称图形 c选项为中心对称图形 a d选项既不是轴对称图形 也不是中心对称图形 故选b 6 2015广东 2 3分 下列所述图形中 既是中心对称图形 又是轴对称图形的是 a 矩形b 平行四边形c 正五边形d 正三角形 答案a矩形是轴对称图形 也是中心对称图形 a正确 平行四边形只是中心对称图形 不是轴对称图形 正五边形和正三角形是轴对称图形 但不是中心对称图形 7 2015深圳 5 3分 下列图形中 既是轴对称图形又是中心对称图形的是 答案da b c三项中的图形为轴对称图形 但不是中心对称图形 故选d 考点二图形的平移 1 2014茂名 3 3分 下列选项中能由如图所示图形平移得到的是 答案c平移不改变图形的形状和大小 且对应点的连线平行且相等 所以箭头通过平移后方向不变 故选c 2 2016广州 13 3分 如图 abc中 ab ac bc 12cm 点d在ac上 dc 4cm 将线段dc沿cb方向平移7cm得到线段ef 点e f分别落在边ab bc上 则 ebf的周长为cm 答案13 解析由题可得fc 7cm ef dc 4cm ef dc efb dcf ab ac dcf abc efb abc eb ef 4cm bc 12cm bf bc fc 5cm ebf的周长为eb bf ef 4 5 4 13cm 考点三图形的旋转 1 2018深圳 4 3分 下列图形中 中心对称图形是 答案d正三角形 正五角星和心形都是轴对称图形但不是中心对称图形 故a b c都不符合题意 平行四边形是中心对称图形 对称中心是对角线交点 故d正确 2 2017广州 2 3分 如图 将正方形abcd中的阴影三角形绕点a旋转90 后 得到的图形为 答案a因为 dab 90 ab ad 所以阴影三角形绕点a顺时针旋转90 后 ad与ab重合 阴影三角形的斜边在ab的左侧 故选a 3 2016广东 3 3分 下列所述图形中 是中心对称图形的是 a 直角三角形b 平行四边形c 正五边形d 正三角形 答案b由中心对称图形旋转180 后与原图形重合 可知直角三角形 正五边形和正三角形都不是中心对称图形 只有平行四边形是中心对称图形 故选b 4 2015广州 2 3分 将如图所示的图案以圆心为中心 旋转180 后得到的图案是 答案d旋转180 后得到的图案与原图案关于圆心中心对称 故选d 5 2018广东 25 9分 已知rt oab oab 90 abo 30 斜边ob 4 将rt oab绕点o顺时针旋转60 如图1 连接bc 1 填空 obc 2 如图1 连接ac 作op ac 垂足为p 求op的长度 3 如图2 点m n同时从点o出发 在 ocb边上运动 m沿o c b路径匀速运动 n沿o b c路径匀速运动 当两点相遇时停止运动 已知点m的运动速度为1 5单位 秒 点n的运动速度为1单位 秒 设运动时间为x秒 omn的面积为y 求当x为何值时y取得最大值 最大值为多少 结果分母可保留根号 解析 1 60 2 根据题意 得ob oc boc 60 obc为等边三角形 bc ob 4 在rt oab中 abo 30 oa ob 2 ab ob 2 在rt abc中 ac 2 sin acb sin pao sin acb sin pao op oa 3 当0 x 时 点m在边oc上 点n在边ob上 on边上的高为omsin mon y on omsin mon x xsin60 x2 当x 时 y取得最大值 当 x 4时 如图1 点m在边bc上 点n在边ob上 bm 8 x 图1 on边上的高为bmsin mbn y x sin60 x 16 3x 当x 时 y取得最大值 当4 x 时 如图2 点m n均在bc上 图2 mn 12 x mn边上的高等于ab的长 y mn ab 2 24 5x 当x 4时 y取得最大值2 综上所述 当x 时 y取得最大值 思路分析 1 根据旋转的性质知ob oc boc等于60 从而 obc是等边三角形 可得 obc 60 2 分别求出ao ab bc ac的长 利用 acb pao 且其三角函数值也相等求解 3 首先按点m n所在的边分三类进行讨论 然后可根据三角形面积公式去求三角形omn的面积y与时间x的函数关系式 最后求一次函数与二次函数的最值即可 解后反思本题是代数与几何的综合应用 主要考查了旋转的性质 勾股定理 锐角三角函数 一次函数与二次函数的最值等知识 也考查了分类讨论等解题思想 在解决动态几何问题时 我们通常根据题意确定一个分类标准 例如 根据几何图形的形状 运动对象的相对位置 数量关系的变化趋势等的不同进行分类讨论 难点在于如何 化动为静 因此画出各个分类的图形对解决问题有着很大的帮助 当图形画出来后 动态几何问题也就转化为静态几何问题了 6 2018广州 25 14分 如图 在四边形abcd中 b 60 d 30 ab bc 1 求 a c的度数 2 连接bd 探究ad bd cd三者之间的数量关系 并说明理由 3 若ab 1 点e在四边形abcd内部运动 且满足ae2 be2 ce2 求点e运动路径的长度 解析 1 在四边形abcd中 b 60 d 30 a c 360 b d 270 2 ad2 cd2 bd2 理由 如图 将 bcd绕点b逆时针旋转60 得 bad 连接dd bd bd cd ad dbd 60 bad c bdd 是等边三角形 dd bd 又 bad c 270 bad bad 270 dad 90 ad2 ad 2 dd 2 即ad2 cd2 bd2 3 如图 将 bec绕点b逆时针旋转60 得 be a 连接ee be be ce ae ebe 60 bec be a bee 是等边三角形 be e 60 ae2 be2 ce2 be ee ce ae ae2 ee 2 ae 2 ae e 90 be a 150 bec 150 点e在以bc为弦 劣弧bc所对的圆心角为60 的圆上 以bc为边在bc下方作等边 bco 则o为圆心 半径bo 1 点e的运动路径为 不包含点b c l 思路分析 1 由四边形的内角和很容易求出答案 2 由于ad bd cd三者之间比较分散 比较难联系 所以想到把它们搬到一起 由于有ab bc这个条件 结合 等腰思旋转 想到通过旋转构造全等 将 bcd绕点b逆时针旋转60 得 bad 转移相等的线段和角 易得 dad 90 从而有ad2 cd2 bd2 3 要求点e运动路径的长度 就要确定点e的运动路径 由ae2 be2 ce2可顺着 2 的思路同样通过旋转构造全等 将 bec绕点b逆时针旋转60 得 be a 转移相等的线段和角 从而易得 be e 60 和ae2 ee 2 ae 2 可得 ae e 90 从而 bec 150 所以点e在以bc为弦 劣弧bc所对的圆心角为60 的圆上 问题可解决 解题关键本题考查四边形内角和 等边三角形的判定和性质 勾股定理及其逆定理 弧长公式等知识 解题的关键是会添加常用辅助线 旋转出等腰 等腰思旋转 当出现 共顶点 等线段 结构时 可考虑 造旋转 出全等 构造全等三角形将分散条件集中在同一个三角形中解决问题 7 2015梅州 23 10分 在rt abc中 a 90 ac ab 4 d e分别是边ab ac的中点 若等腰rt ade绕点a逆时针旋转 得到等腰rt ad1e1 设旋转角为 0 180 记直线bd1与ce1的交点为p 1 如图1 当 90 时 线段bd1的长等于 线段ce1的长等于 直接填写结果 2 如图2 当 135 时 求证 bd1 ce1 且bd1 ce1 3 设bc的中点为m 则线段pm的长为 点p到ab所在直线的距离的最大值为 直接填写结果 解析 1 2 2 2分 2 证明 等腰rt ad1e1是由等腰rt ade绕点a逆时针旋转135 得到的 ad1 ae1 d1ab e1ac 135 3分 又ab ac d1ab e1ac 4分 bd1 ce1 且 d1ba e1ca 5分 记直线bd1与ac交于点f bfa cfp 6分 cpf fab 90 bd1 ce1 7分 3 由 2 知 bcp是直角三角形 所以pm是斜边的中线 故pm bc 2 如图 作pg ab于g d1 e1在以a为圆心 ad为半径的圆上 当bd1所在直线与 a相切时 p到直线ab的距离最大 易知 此时四边形ad1pe1是正方形 pd1 2 则bd1 2 故 abp 30 pb 2 2 点p到ab所在直线的距离的最大值pg pb 1 深度解析本题主要考查了旋转的性质 1 对应线段相等 2 对应点与旋转中心连线的夹角相等 3 对应点到旋转中心的距离相等 由旋转的性质容易求解第 1 问和第 2 问 对于第 3 问 由性质知点d1和e1在以a为圆心的一个圆上 把这个圆画出来后 观察图形就容易发现 当pb与圆相切时 点p到直线ab的距离最大 考点一图形的轴对称 b组2014 2018年全国中考题组 1 2018重庆 2 4分 下列图形中一定是轴对称图形的是 答案d根据轴对称图形的概念可得矩形一定是轴对称图形 故选d 解题关键判断轴对称图形的关键是寻找对称轴 2 2018辽宁沈阳 4 2分 在平面直角坐标系中 点b的坐标是 4 1 点a与点b关于x轴对称 则点a的坐标是 a 4 1 b 1 4 c 4 1 d 1 4 答案a关于x轴对称的点 横坐标相同 纵坐标互为相反数 3 2017四川绵阳 2 3分 下列图案中 属于轴对称图形的是 答案aa选项是轴对称图形 共有5条对称轴 b d选项既不是轴对称图形 也不是中心对称图形 c选项是中心对称图形 不是轴对称图形 故选a 4 2017内蒙古呼和浩特 3 3分 下图中序号 1 2 3 4 对应的四个三角形 都是 abc这个图形进行了一次变换之后得到的 其中是通过轴对称得到的是 a 1 b 2 c 3 d 4 答案a根据轴对称的性质可知 序号 1 对应的三角形与 abc的对应点所连的线段被一条直线 对称轴 垂直平分 故选a 5 2015北京 4 3分 剪纸是我国传统的民间艺术 下列剪纸作品中 是轴对称图形的为 答案d选项a b既不是中心对称图形也不是轴对称图形 选项c是中心对称图形 不是轴对称图形 选项d是轴对称图形 故选d 6 2015江苏南京 13 2分 在平面直角坐标系中 点a的坐标是 2 3 作点a关于x轴的对称点 得到点a 再作点a 关于y轴的对称点 得到点a 则点a 的坐标是 答案 2 3 解析点a 2 3 关于x轴的对称点a 的坐标是 2 3 点a 2 3 关于y轴的对称点a 的坐标是 2 3 考点二图形的平移 1 2018江西 5 3分 小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作 他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形 如图所示 现在他将正方形abcd从当前位置开始进行一次平移操作 平移后的正方形的顶点也在格点上 则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有 a 3个b 4个c 5个d 无数个 答案c如图所示 正方形abcd可以向上 向下 向右以及沿射线ac或bd方向平移 平移后的两个正方形组成轴对称图形 故选c 2 2016山东青岛 5 3分 如图 线段ab经过平移得到线段a b 其中点a b的对应点分别为点a b 这四个点都在格点上 若线段ab上有一个点p a b 则点p在a b 上的对应点p 的坐标为 a a 2 b 3 b a 2 b 3 c a 2 b 3 d a 2 b 3 答案a线段ab向左平移2个单位长度 再向上平移3个单位长度得到线段a b 由此可知线段ab上的点p a b 的对应点p 的坐标为 a 2 b 3 故选a 3 2015江苏镇江 12 2分 如图 abc和 dbc是两个具有公共边的全等的等腰三角形 ab ac 3cm bc 2cm 将 dbc沿射线bc平移一定的距离得到 d1b1c1 连接ac1 bd1 如果四边形abd1c1是矩形 那么平移的距离为cm 答案7 解析作ae bc于点e 则be ec 1cm 设平移的距离为xcm 在rt abe中 ae 2cm 当四边形abd1c1为矩形时 bac1 90 在rt abc1中 ac1 cm ab ac1 ae bc1 所以 3 2 x 2 整理得x2 4x 77 0 解得x1 7 x2 11 舍去 所以平移的距离为7cm 4 2017安徽 18 8分 如图 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 给出了格点 abc和 def 顶点为网格线的交点 以及过格点的直线l 1 将 abc向右平移两个单位长度 再向下平移两个单位长度 画出平移后的三角形 2 画出 def关于直线l对称的三角形 3 填空 c e 解析 1 如图所示 d1e1f1即为所求 3分 2 如图所示 a1b1c1即为所求 6分 3 45 8分 提示 a1c1f1 c e 连接a1f1 易证三角形a1f1c1是等腰直角三角形且 a1c1f1 45 5 2015安徽 17 8分 如图 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 给出了格点 abc 顶点是网格线的交点 1 请画出 abc关于直线l对称的 a1b1c1 2 将线段ac向左平移3个单位 再向下平移5个单位 画出平移得到的线段a2c2 并以它为一边作一个格点 a2b2c2 使a2b2 c2b2 解析 1 a1b1c1如图所示 4分 2 线段a2c2和 a2b2c2如图所示 符合条件的 a2b2c2不唯一 8分 考点三图形的旋转 1 2018天津 4 3分 下列图形中 可以看作是中心对称图形的是 答案a在平面内 把一个图形绕着某个点旋转180 如果旋转后的图形能与原来的图形重合 那么这个图形叫做中心对称图形 选项a中的图形符合中心对称图形的定义 故选a 2 2017福建 10 4分 如图 网格纸上正方形小格的边长为1 图中线段ab和点p绕着同一个点做相同的旋转 分别得到线段a b 和点p 则点p 所在的单位正方形区域是 a 1区b 2区c 3区d 4区 答案d连接aa bb 分别作aa bb 的垂直平分线 两条直线相交于点o 点o就是旋转中心 旋转角为90 连接op op绕点o逆时针旋转90 即可得到op 可知点p 落在4区 故选d 3 2016天津 3 3分 下列图形中 可以看作是中心对称图形的是 答案b根据中心对称图形的定义 一个图形如果绕着某个点旋转180 可以和原图形重合 则这个图形为中心对称图形 知只有b符合 故选b 4 2017沈阳 16 3分 如图 在矩形abcd中 ab 5 bc 3 将矩形abcd绕点b按顺时针方向旋转得到矩形gbef 点a落在矩形abcd的边cd上的点g处 连接ce 则ce的长是 答案 解析解法一 连接ag 在rt bcg中 cg 4 gd cd cg 1 在rt adg中 ag abg gbc 90 gbc cbe 90 abg cbe 又 abg cbe 即 ce 解法二 过点c作ch be于点h gbc cbh 90 gbc bgc 90 bgc cbh 又 bcg chb bcg chb 即 ch 在rt bch中 bh he be bh 在rt che中 ce 方法指导解法一 利用相似三角形求ce的长 解法二 利用勾股定理求ce的长 5 2018福建 21 8分 如图 在rt abc中 c 90 ab 10 ac 8 线段ad由线段ab绕点a按逆时针方向旋转90 得到 efg由 abc沿cb方向平移得到 且直线ef过点d 1 求 bdf的大小 2 求cg的长 解析 1 线段ad由线段ab绕点a按逆时针方向旋转90 得到 dab 90 ad ab 10 abd 45 efg由 abc沿cb方向平移得到 ab ef bdf abd 45 2 由平移的性质可得ae cg ab ef 且ae cg dea dfc abc ade dab 180 dab 90 ade 90 acb 90 ade acb ade acb ac 8 ab ad 10 ae cg ae 解后反思本题考查图形的平移与旋转 平行线的性质 等腰直角三角形的判定与性质 解直角三角形 相似三角形的判定与性质等基础知识 考查运算能力 推理能力 数形结合思想 化归与转化思想 考点一图形的轴对称 c组教师专用题组 1 2018天津 10 3分 如图 将一个三角形纸片abc沿过点b的直线折叠 使点c落在ab边上的点e处 折痕为bd 则下列结论一定正确的是 a ad bdb ae acc ed eb dbd ae cb ab 答案d由折叠的性质知 bc be ae cb ab 故选d 2 2018吉林 5 2分 如图 将 abc折叠 使点a与bc边中点d重合 折痕为mn 若ab 9 bc 6 则 dnb的周长为 a 12b 13c 14d 15 答案a由折叠性质可得an dn dn nb an nb ab 9 d为bc中点 db 3 dnb的周长为12 思路分析利用折叠性质易推出an dn 从而三角形dnb的周长即为ab bd的长 3 2018黑龙江齐齐哈尔 1 3分 下列 数字图形 中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案c中心对称图形 不是轴对称图形 既是轴对称图形 又是中心对称图形 符合题意的图形有3个 故选c 4 2016北京 7 3分 甲骨文是我国的一种古代文字 是汉字的早期形式 下列甲骨文中 轴对称图形的是 答案d选项a b c都是轴对称图形 故选d 5 2016重庆 2 4分 下列图形中是轴对称图形的是 答案d根据轴对称图形的概念 如果一个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形叫做轴对称图形 知选项d中的图形是轴对称图形 符合题意 故选d 6 2016四川南充 3 3分 如图 直线mn是四边形ambn的对称轴 点p是直线mn上的点 下列判断错误的是 a am bmb ap bnc map mbpd anm bnm 答案b根据轴对称的性质 可知am bm map mbp amn bmn map mbp anm bnm a c d正确 故选b 7 2015湖南郴州 8 3分 如图 在矩形abcd中 ab 3 将 abd沿对角线bd对折 得到 ebd de与bc交于点f adb 30 则ef a b 2c 3d 3 答案a 在矩形abcd中 ad bc dbc adb 30 由题意知 dbe dba 60 e a 90 be ab 3 fbe 30 在rt bef中 ef be tan ebf 3 故选a 8 2015福建福州 7 3分 如图 在3 3的正方形网格中有四个格点a b c d 以其中一点为原点 网格线所在直线为坐标轴 建立平面直角坐标系 使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称 则原点是 a a点b b点c c点d d点 答案b以点b为坐标原点 网格线所在直线为坐标轴 建立平面直角坐标系 则点a c关于坐标轴对称 故选b 9 2015河北 3 3分 一张菱形纸片按图1 图2依次对折后 再按图3打出一个圆形小孔 则展开铺平后的图案是 答案c可以动手操作 也可根据对折的顺序及菱形的对称性来判断 选c 10 2014湖南郴州 5 3分 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 a 等腰三角形b 平行四边形c 矩形d 等腰梯形 答案c等腰三角形 等腰梯形只是轴对称图形 平行四边形只是中心对称图形 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形 故选c 11 2014江苏南京 1 2分 下列图形中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 答案c选项a d是轴对称图形 不是中心对称图形 选项b是中心对称图形 不是轴对称图形 只有c符合题意 故选c 12 2014浙江宁波 3 4分 用矩形纸片折出直角的平分线 下列折法正确的是 答案d按a b中的对折方法 易知两角和都小于90 故排除a b 当如选项c所示折叠时 折痕不经过矩形任何一角的顶点 所以不可能是直角的平分线 故本选项错误 当如选项d所示折叠时 两角的和是90 由折叠的性质可知其折痕必是直角的平分线 正确 故选d 13 2014天津 3 3分 下列标志中 可以看作是轴对称图形的是 答案da b c三个选项中的图形是中心对称图形 d选项中的图形是轴对称图形 故选d 14 2014辽宁沈阳 6 3分 正方形是轴对称图形 它的对称轴有 a 2条b 4条c 6条d 8条 答案b如图所示 正方形有4条对称轴 故选b 15 2014安徽 8 4分 如图 rt abc中 ab 9 bc 6 b 90 将 abc折叠 使a点与bc的中点d重合 折痕为mn 则线段bn的长为 a b c 4d 5 答案c设bn x 由折叠的性质可得dn an 9 x d是bc的中点 bd 3 在rt bnd中 x2 32 9 x 2 解得x 4 故线段bn的长为4 故选c 16 2014甘肃兰州 1 4分 在下列绿色食品 循环回收 节能 节水的四个标志中 属于轴对称图形的是 答案aa选项是轴对称图形 符合题意 b c d选项都不是轴对称图形 故选a 17 2014山东济南 5 3分 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 答案da选项是轴对称图形但不是中心对称图形 b选项既不是中心对称图形也不是轴对称图形 c选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形 d选项既是轴对称图形又是中心对称图形 故选d 18 2014广东 2 3分 在下列交通标志图中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 答案ca项既不是轴对称图形 也不是中心对称图形 故a项错误 b项既不是轴对称图形 也不是中心对称图形 故b项错误 c项既是轴对称图形 又是中心对称图形 故c项正确 d项是轴对称图形 但不是中心对称图形 故d项错误 故选c 19 2014黑龙江哈尔滨 22 6分 如图 方格纸中每个小正方形的边长均为1 四边形abcd的四个顶点都在小正方形的顶点上 点e在bc边上 且点e在小正方形的顶点上 连接ae 1 在图中画出 aef 使 aef与 aeb关于直线ae对称 点f与点b是对称点 2 请直接写出 aef与四边形abcd重叠部分的面积 解析 1 如图所示 3分 2 6 6分 20 2014河北 25 11分 图1和图2中 优弧所在 o的半径为2 ab 2 点p为优弧上一点 点p不与a b重合 将图形沿bp折叠 得到点a的对称点a 1 点o到弦ab的距离是 当bp经过点o时 aba 2 当ba 与 o相切时 如图2 求折痕bp的长 3 若ba 与优弧只有一个公共点b 设 abp 确定 的取值范围 图1 图2 解析 1 1 2分 60 4分 2 过点o作oc ab于点c 连接ob 如图 ba 与 o相切 oba 90 在rt obc中 ob 2 oc 1 sin obc obc 30 abp aba oba obc 60 obp 30 6分 过点o作od bp于点d 则bp 2bd bd ob cos30 bp 2 7分 3 点p a不重合 0 由 1 得 当 增大到30 时 点a 在优弧上 当0 30 时 点a 在 o内 线段ba 与优弧只有一个公共点b 由 2 知 增大到60 时 ba 与 o相切 即线段ba 与优弧只有一个公共点b 当 继续增大时 点p逐渐靠近点b 但点p b不重合 obp 90 oba obp oba 30 120 当60 120 时 线段ba 与优弧只有一个公共点b 综上所述 的取值范围是0 30 或60 120 11分 考点二图形的平移 1 2018河北 15 2分 如图 点i为 abc的内心 ab 4 ac 3 bc 2 将 acb平移使其顶点与i重合 则图中阴影部分的周长为 a 4 5b 4c 3d 2 答案b如图 连接ai bi 点i为 abc的内心 ai平分 bac bi平分 abc ac ie cai aie eai aie ae ei 同理 bf fi 阴影部分的周长 ei fi ef ae bf ef ab ab 4 阴影部分的周长为4 故选b 2 2014山东济南 20 3分 如图 将边长为12的正方形abcd沿其对角线ac剪开 再把 abc沿着ad方向平移 得到 a b c 当两个三角形重叠部分的面积为32时 它移动的距离aa 等于 答案4或8 解析设aa x 则a d 12 x 则有x 12 x 32 解得x 4或8 经检验均符合题意 3 2014江西 11 3分 如图 在 abc中 ab 4 bc 6 b 60 将 abc沿射线bc的方向平移2个单位后 得到 a b c 连接a c 则 a b c的周长为 答案12 解析 b c bc 6 cc 2 b c b c cc 4 a b ab 4 b c a b 又 a b c b 60 a b c是等边三角形 a b c的周长是12 4 2017吉林 23 8分 如图 bd是矩形abcd的对角线 abd 30 ad 1 将 bcd沿射线bd方向平移到 b c d 的位置 使b 为bd中点 连接ab c d ad bc 如图 1 求证 四边形ab c d是菱形 2 四边形abc d 的周长为 3 将四边形abc d 沿它的两条对角线剪开 用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形 直接写出所有可能拼成的矩形周长 解析 1 证明 四边形abcd是矩形 ad bc ad bc 易知ad b c ad b c 四边形ab c d为平行四边形 2分 dab 90 abd 30 ad bd b 为bd中点 ab bd ad ab 3分 四边形ab c d为菱形 4分 2 dab 90 abd 30 bd 2 ab 易证abc d 是菱形 四边形abc d 的周长是4 6分 3 如图 周长为2 3 6 如图 周长为2 3 2 8分 5 2016安徽 17 8分 如图 在边长为1个单位长度的小正方形组成的12 12网格中 给出了四边形abcd的两条边ab与bc 且四边形abcd是一个轴对称图形 其对称轴为直线ac 1 试在图中标出点d 并画出该四边形的另两条边 2 将四边形abcd向下平移5个单位 画出平移后得到的四边形a b c d 解析 1 点d及四边形abcd另两条边如图所示 4分 2 得到的四边形a b c d 如图所示 8分 6 2015福建龙岩 22 12分 下列网格中的六边形abcdef是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得 该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形 1 根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长 2 如图甲 把六边形abcdef沿eh bg剪成 三部分 请在图甲中画出将 与 拼成的正方形 然后标出 变动后的位置 并指出 属于旋转 平移和轴对称中的哪一种图形变换 图甲图乙 3 在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线 并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形 解析 1 由剪拼前后面积相等可知 拼成的正方形的边长 4 3分 2 都是平移变换 8分 画图2分 标注 各1分 3 如下图两种只需对一种就给满分4分 裁剪线画对给2分 画图对给2分 12分 7 2015山东聊城 19 8分 在如图所示的直角坐标系中 每个小方格都是边长为1的正方形 abc的顶点均在格点上 点a的坐标是 3 1 1 将 abc沿y轴正方向平移3个单位得到 a1b1c1 画出 a1b1c1 并写出点b1的坐标 2 画出 a1b1c1关于y轴对称的 a2b2c2 并写出点c2的坐标 解析 1 a1b1c1的位置如图所示 3分 点b1的坐标是 2 1 4分 2 a2b2c2的位置如图所示 7分 点c2的坐标是 1 1 8分 考点三图形的旋转 1 2018乌鲁木齐 6 4分 在平面直角坐标系xoy中 将点n 1 2 绕点o旋转180 得到的对应点的坐标是 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 答案a将点n绕点o旋转180 后得到的对应点与点n关于原点对称 故对应点的坐标为 1 2 故选a 2 2017四川成都 5 3分 下列图标中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 答案d根据图形特点知 a中图形既不是轴对称图形 也不是中心对称图形 b中图形仅是中心对称图形 c中图形仅是轴对称图形 d中图形既是轴对称图形 又是中心对称图形 故选d 3 2017天津 9 3分 如图 将 abc绕点b顺时针旋转60 得 dbe 点c的对应点e恰好落在ab的延长线上 连接ad 下列结论一定正确的是 a abd eb cbe cc ad bcd ad bc 答案c abc绕点b顺时针旋转60 得到 dbe abd cbe 60 ab bd abd是等边三角形 dab 60 dab cbe ad bc 故选c 解题关键熟练掌握旋转的性质是解题的关键 4 2016河南 8 3分 如图 已知菱形oabc的顶点o 0 0 b 2 2 若菱形绕点o逆时针旋转 每秒旋转45 则第60秒时 菱形的对角线交点d的坐标为 a 1 1 b 1 1 c 0 d 0 答案b由题意知菱形每8秒旋转一周 60秒旋转7周余4秒 4秒旋转180 即旋转60秒后得到的图形与原图形关于原点成中心对称 因为b 2 2 所以d 1 1 d关于原点对称的点的坐标为 1 1 故选b 5 2015黑龙江哈尔滨 9 3分 如图 在rt abc中 bac 90 将 abc绕点a顺时针旋转90 后得到 ab c 点b的对应点是点b 点c的对应点是点c 连接cc 若 cc b 32 则 b的大小是 a 32 b 64 c 77 d 87 答案c ac ac cac 90 cc a 45 ac b 45 32 13 又 acb ac b b 90 acb 90 13 77 故选c 6 2015天津 11 3分 如图 已知 abcd中 ae bc于点e 以点b为中心 取旋转角等于 abc 把 bae顺时针旋转 得到 ba e 连接da 若 adc 60 ada 50 则 da e 的大小为 a 130 b 150 c 160 d 170 答案c在 abcd中 因为 adc 60 所以 cba 60 在 aeb中 因为 eba 60 aeb 90 所以 eab 30 又因为ad bc ada 50 所以 ba d 180 50 130 由旋转的性质知 e a b eab 30 所以 da e 130 30 160 故选c 7 2017湖北黄冈 14 3分 已知 如图 在 aob中 aob 90 ao 3cm bo 4cm 将 aob绕顶点o按顺时针方向旋转到 a1ob1处 此时线段ob1与ab的交点d恰好为ab的中点 则线段b1d cm 答案1 5 解析 在 aob中 aob 90 ao 3cm bo 4cm ab 5cm 点d为ab的中点 od ab 2 5cm 将 aob绕顶点o按顺时针方向旋转到 a1ob1处 ob1 ob 4cm b1d ob1 od 1 5cm 故答案为1 5 思路分析先在直角 aob中利用勾股定理求出ab的长 再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出od ab 根据旋转的性质得到ob1 ob 由b1d ob1 od求得结果 解题关键本题考查了旋转的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理 熟练掌握这些知识点是解题关键 8 2015福建福州 16 4分 如图 在rt abc中 abc 90 ab bc 将 abc绕点c逆时针旋转60 得到 mnc 连接bm 则bm的长是 答案 1 解析如图 连接am 易知 amc是等边三角形 所以cm am 易证 bmc bma 所以 cbm abm 45 cmb amb 30 所以 cdm cdb 90 在rt cdb中 cd cb sin45 1 所以bd cd 1 在rt cdm中 dm cm sin60 所以bm bd dm 1 9 2014山东青岛 11 3分 如图 abc的顶点都在方格线的交点 格点 上 如果将 abc绕c点按逆时针方向旋转90 那么点b的对应点b 的坐标是 答案 1 0 解析由题图知 cb与直线x 1的夹角是45 cb 与cb关于直线x 1成轴对称 又 b的坐标是 3 0 b 的坐标是 1 0 10 2014江苏镇江 10 2分 如图 将 oab绕着点o逆时针连续旋转两次得到 oa b 每次旋转的角度都是50 若 b oa 120 则 aob 答案20 解析 b oa 2 50 aob 所以 aob 120 100 20 11 2018四川成都 27 10分 在rt abc中 acb 90 ab ac 2 过点b作直线m ac 将 abc绕点c顺时针旋转得到 a b c 点a b的对应点分别为a b 射线ca cb 分别交直线m于点p q 1 如图1 当p与a 重合时 求 aca 的度数 2 如图2 设a b 与bc的交点为m 当m为a b 的中点时 求线段pq的长 3 在旋转过程中 当点p q分别在ca cb 的延长线上时 试探究四边形pa b q的面积是否存在最小值 若存在 求出四边形pa b q的最小面积 若不存在 请说明理由 解析 1 由旋转的性质得ac a c 2 acb 90 ab ac 2 bc acb 90 m ac a bc 90 cos a cb a cb 30 aca 60 2 m为a b 的中点 a cb 90 ma mb mc a cm ma c 由旋转的性质得 ma c a a a cm tan pcb tan a pb bc tan bqc tan pcb bq bc 2 pq pb bq 3 s四边形pa b q s pcq s a cb s pcq s四边形pa b q最小即s pcq最小 s pcq pq bc pq 取pq的中点g 连接cg pcq 90 cg pq 当cg最小时 pq最小 cg pq 即cg与cb重合时 cg最小 cgmin pqmin 2 s pcq min 3 s四边形pa b q min 3 思路分析 1 在rt abc中 由勾股定理得bc 根据旋转知a c ac 2 解直角 a bc 得 a cb 30 所以 aca 60 2 根据m为a b 的中点 可得 a cm ma c a 且 a bqc 解rt pbc rt bqc 求出pb bq 2 进而得出pq pb bq 3 依据s四边形pa b q s pcq s a cb s pcq 得当s pcq最小时 s四边形pa b q最小 又s pcq pq bc pq 求出pq最小值即可得到s pcq的最小值为3 则四边形pa b q的最小面积是3 解后反思本题是以直角三角形旋转为背景的几何综合题 主要考查了旋转的性质 平行线的性质 解直角三角形 直角三角形的性质等 根据直线m ac以及旋转变换中相等的线段和相等的角 求 pqc中角的大小和边长是解题的关键 12 2017内蒙古包头 25 12分 如图 在矩形abcd中 ab 3 bc 4 将矩形abcd绕点c按顺时针方向旋转 角 得到矩形a b cd b c与ad交于点e ad的延长线与a d 交于点f 1 如图 当 60 时 连接dd 求dd 和a f的长 2 如图 当矩形a b cd 的顶点a 落在cd的延长线上时 求ef的长 3 如图 当ae ef时 连接ac cf 求ac cf的值 解析 1 矩形abcd绕点c按顺时针方向旋转 角得到矩形a b cd a d ad b c bc 4 cd cd a b ab 3 a d c adc 90 60 dcd 60 cdd 是等边三角形 dd cd 3 2分 如图 连接cf 在rt cdf和rt cd f中 rt cdf rt cd f dcf d cf dcd 30 在rt cd f中 tan d cf fd a f a d fd 4 4分 2 在rt a cd 中 d 90 a c2 a d 2 cd 2 a c 5 a d 2 da f d a c a df d a df a d c df 同理 可证 cde cb a ed ef ed df 8分 3 如图 过点f作fg ce于点g 四边形a b cd 是矩形 gf cd cd 3 s ecf ef cd ce gf ef ce 又 ae ef ae ec ef eac eca ecf efc 2 eca 2 ecf 180 acf 90 adc acf 90 又 cad fac cad fac ac2 ad af 在rt abc中 ac 5 af s acf ac cf af cd ac cf af cd 12分 方法规律图形的旋转变换是全等变换 变换过程中不改变图形的形状和大小 要紧紧抓住图形变换前后不变的量来解决问题 13 2016天津 24 10分 在平面直角坐标系中 o为原点 点a 4 0 点b 0 3 把 abo绕点b逆时针旋转 得 a bo 点a o旋转后的对应点为a o 记旋转角为 1 如图 若 90 求aa 的长 2 如图 若 120 求点o 的坐标 3 在 2 的条件下 边oa上的一点p旋转后的对应点为p 当o p bp 取得最小值时 求点p 的坐标 直接写出结果即可 解析 1 点a 4 0 点b 0 3 oa 4 ob 3 在rt abo中 由勾股定理 得ab 5 根据题意 a bo 是 abo绕点b逆时针旋转90 得到的 由旋转的性质 可得 a ba 90 a b ab 5 在rt a ba中 aa 5 2 如图 根据题意 由旋转的性质 可得 o bo 120 o b ob 3 过点o 作o c y轴 垂足为c 则 o cb 90 在rt o cb中 由 o bc 180 o bo 60 得o c o b sin o bc o b sin60 bc o b cos o bc o b cos60 有oc ob bc 点o 的坐标为 3 深度解析本题考查了旋转的性质的应用 是一道几何变换的综合题 前两问根据旋转的性质 结合勾股定理或锐角三角函数即可解出 第 3 问由于是求最小值问题 一般考虑运用二次函数或轴对称的性质来求解 结合旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等 易知bp bp 运用轴对称的性质 作出点b关于x轴对称的点c 易知bp o p cp o p o c 14 2016北京 28 7分 在等边 abc中 1 如图1 p q是bc边上两点 ap aq bap 20 求 aqb的度数 2 点p q是bc边上的两个动点 不与b c重合 点p在点q的左侧 且ap aq 点q关于直线ac的对称点为m 连接am pm 依题意将图2补全 小茹通过观察 实验 提出猜想 在点p q运动的过程中 始终有pa pm 小茹把这个猜想与同学们进行交流 通过讨论 形成了证明该猜想的几种想法 想法1 要证pa pm 只需证 apm是等边三角形 想法2 在ba上取一点n 使得bn bp 要证pa pm 只需证 anp pcm 想法3 将线段bp绕点b顺时针旋转60 得到线段bk 要证pa pm 只需证pa ck pm ck 请你参考上面的想法 帮助小茹证明pa pm 一种方法即可 解析 1 abc为等边三角形 b 60 apc bap b 80 ap aq aqb apc 80 2 补全的图形如图所示 证法一 过点a作ah bc于点h 如图 由 abc为等边三角形 ap aq 可得 pab qac 点q m关于直线ac对称 qac mac aq am pab mac am ap pam bac 60 apm为等边三角形 pa pm 证法二 在ba上取一点n 使bn bp 连接pn cm 如图 由 abc为等边三角形 可得 bnp为等边三角形 an pc anp 120 由ap aq 可得 apb aqc 又 b acb 60 abp acq bp cq 点q m关于直线ac对称 acm acq 60 cm cq np bp cq cm pcm acm acq 120 anp pcm pa pm 证法三 将线段bp绕点b顺时针旋转60 得到bk 连接kp ck mc 如图 bpk为等边三角形 kb bp pk kpb kbp 60 kpc 120 由 abc为等边三角形 可得 abp cbk ap ck 由ap aq 可得 apb aqc ab ac abc acb 60 abp acq bp cq 点q m关于直线ac对称 bcm 2 acq 120 cq cm pk mc pk 四边形pkcm为平行四边形 ck pm pa pm 15 2015江苏连云港 26 12分 在数学兴趣小组活动中 小明进行数学探究活动 将边长为2的正方形abcd与边长为2的正方形aefg按图1位置放置 ad与ae在同一条直线上 ab与ag在同一条直线上 1 小明发现dg be