（普通班）2017届高三数学一轮复习 第四篇 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用基础对点练 理.doc

第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,3,7,10与面积相关的问题4,8,11,12判断三角形的形状2,5,9实际问题与综合问题6,13,14,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015石景山区模拟)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c, a=4,b=43,a=30,则b等于(b)(a)60(b)60或120(c)30(d)30或150解析:因为a=4,b=43,a=30,由正弦定理asina=bsinbsin b=bsinaa=32,因为b是三角形的内角,且ba,所以b=60或120.2.(2016广州四校联考)在abc中,已知2sin acos b=sin c,那么abc一定是(c)(a)直角三角形(b)等腰直角三角形(c)等腰三角形(d)正三角形解析:在三角形中,2sin acos b=sin c=sin(a+b)=sin acos b+cos asin bsin acos b-cos asin b=sin(a-b)=0,所以a=b,即三角形为等腰三角形.3.(2016山东省实验中学高三第二次诊断)abc中,a=,bc=3,则abc的周长为(d)(a)43sin(b+)+3(b)43sin(b+)+3(c)6sin(b+)+3(d)6sin(b+)+3解析:由正弦定理得,acsinb=absinc=3sin3=23,所以三角形的周长ab+ac+bc=23sin b+23sin c+3=23sin b+23sin(23-b)+3=33sin b+3cos b+3=6sin(b+)+3,故选d.4.在abc中,a=60,ab=2,且abc的面积为32,则bc的长为(b)(a)32(b)3(c)23(d)2解析:s=abacsin 60=232ac=32,所以ac=1,所以bc2=ab2+ac2-2abaccos 60=3,所以bc=3.5.设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若bcos c+ccos b=asin a,且sin2b=sin2c,则abc的形状为(d)(a)等腰三角形(b)锐角三角形(c)直角三角形(d)等腰直角三角形解析:因为bcos c+ccos b=asin a,所以由正弦定理得sin bcos c+sin ccos b=sin2a,所以sin(b+c)=sin2a,sin a=sin2a,sin a=1,即a=.又因为sin2b=sin2c,所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,故abc为等腰直角三角形.6.(2016合肥模拟)设abc的内角a,b,c所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin a=5sin b,则角c等于(b)(a)(b)23(c)34(d)56解析:因为3sin a=5sin b,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a=b.因为b+c=2a,所以c=b,所以cos c=a2+b2-c22ab=-.因为c(0,),所以c=23.7.(2015高考安徽卷)在abc中,ab=6,a=75,b=45,则ac=解析:因为a=75,b=45,所以c=60.由正弦定理可得acsin45=6sin60,解得ac=2.答案:28.(2015高考天津卷)在abc中,内角a,b,c 所对的边分别为a,b,c.已知abc的面积为315 ,b-c=2,cos a=-, 则a 的值为.解析:因为cos a=-,0a,所以sin a=1-cos2a=154.由315=bcsin a得bc=24.又因为b-c=2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=36+16+12=64.故a=8.答案:89.设abc的三个内角a,b,c成等差数列,且(ba+bc)ac=0,则abc的形状是 . 解析:由题得2b=a+c,3b=得b=,设ac中点d,则(ba+bc)ac=2bdac=0,即bdac得a=c.所以abc为等腰三角形,又因为b=,所以abc为等边三角形.答案:等边三角形10.(2015黑龙江四校联考)abc的三个内角a,b,c对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csin a+3acos c=0.(1)求c的值;(2)若cos a=,c=53,求sin b和b的值.解:(1)因为csin a+3acos c=0,由正弦定理得2rsin csin a+2r3sin acos c=0,由sin a0,所以tan c=-3,又c(0,),所以c=23.(2)由cos a=,a(0, ),得sin a=1-cos2a=,sin b=sin(-a-c)=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c=(-)+32=33-410.由bsinb=csinc,得b=csinbsinc=33-4.11.(2015高考陕西卷)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b)与n=(cos a,sin b)平行.(1)求a;(2)若a=7,b=2,求abc的面积.解:(1)因为mn,所以asin b-3bcos a=0,由正弦定理得sin asin b-3sin bcos a=0,又sin b0,从而tan a=3,由于0a0,所以c=3.故abc的面积为bcsin a=332.法二由正弦定理得7sin 3=2sinb,从而sin b=217,又由ab知ab,所以cos b=277.故sin c=sin(a+b)=sin(b+)=sin bcos +cos bsin =32114.所以abc的面积为absin c=332.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016武威一中模拟)在abc中,如果a+c=2b,b=30,abc的面积为,那么b等于(b)(a)1+32(b)1+3(c)2+32 (d)2+3解析:由三角形面积公式sabc=acsin b=ac=,所以ac=6,由余弦定理b2=a2+c2-2accos b=a2+c2-63,而已知4b2=(a+c)2=a2+c2+12,两个式子作差得到3b2=12+63,所以b=1+3.13.(2015济南模拟)在200米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔高为(c)(a)2003 m(b)20033 m(c)4003 m(d)40033 m解析:如图,设ab表示山高,cd表示塔高,则dbc=60-30=30,abc=90-60=30,连接ac,在rtbac中,cosabc=abbc,所以bc=abcosabc=200cos30=4003,在bdc中,dbc=30,dcb=90-60=30,所以bdc=180-dbc-dcb=120,由正弦定理得,bcsinbdc=dcsindbc,故dc=4003sin30sin120=4003.14.(2014高考江苏卷)若abc的内角满足sin a+2sin b=2sin c,则cos c的最小值是.解析:由正弦定理可得a+2b=2c,又cos c=a2+b2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=3a2+2b2-22ab8ab26ab-22ab8ab=6-24,当且仅当3a=2b时取等号,所以cos c的最小值是6-24.答案:6-2415.某炮兵阵地位于地面a处,两观察所分别位于地面c和d处,已知cd=6 km,acd=45,adc=75,目标出现于地面b处时,测量得bcd=30,bdc=15,如图,求炮兵阵地到目标的距离.解:在acd中,cad=180-acd-adc=60,cd=6,acd=45,根据正弦定理有ad=cdsin45sin60=23cd.同理,在bcd中,cbd=180-bcd-bdc=135,cd=6,bcd=30,根据正弦定理得bd=cdsin30sin135=22cd.又在abd中,adb=adc+bdc=90,根据勾股定理有ab=ad2+bd2=23+12cd=426cd=42(km).所以炮兵阵地到目标的距离为42 km.16.(2015高考山东卷)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.若f()=0,a=1,求abc的面积的最大值.解:(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos(2x+2)2=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-.由-+2k2x+2k,kz,可得-+kx+k,kz;由+2k2x32+2k,kz,可得+kx34+k,kz.所以f(x)的单调递增区间是-+k,+k(kz);单调递减区间是+k,34+k(kz).(2)由f()=sin a-=0,得sin a=,由题意知a为锐角,所以cos a=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此bcsin a2+34.所以abc面积的最大值为2+34.精彩5分钟1.(2015浏阳一中模拟)已知abc内角a,b,c的对边分别是a,b,c,若cos b=,b=2,sin c=2sin a,则abc的面积为(b)(a)156(b)154(c)152(d)15解题关键:关键求a,c,选用abc面积公式sabc=acsin b.解析:由正弦定理asina=csinc,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得4=a2+c2-2ac,由得a=1,c=2,又sin b=1-cos2b=154,所以sabc=acsin b=12154=154.2.(2015临沂模拟)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在a处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45距离为10海里的c处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰