高中数学联赛培训讲义集合函数方程+三角变换三角不等式.pdf

1 高中数学联赛培训讲义 集合函数方程 三角变换三角不等式 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲 完全按照全日制中学 数学教学大纲 中所规定的 教学要求和内容 即高考所规定的知识范围和方法 在方法的要求上略有提高 第一讲 集合 函数 方程 例 1 集合 x 1 log x 110 2 1 1 x N 的真子集个数为 96 年全国高中联赛 分析 先求出所给集合的元素个数 那么真子集的个数为 2 n 1 解 小结 运用对数运算法则和解不等式 掌握集合 真子集 换底 同底法 分数性质 练习 已知集合 A y 2 y1 b 1 且 lg a b lga lgb 则 lg a 1 lg b 1 的值 98 年 A 等于 lg2 B 等于 1 C 等于 0 D 不是与 a b 无关的常数 设 f x 是定义在实数集 R 上的函数 且满足下列关系 f 10 x f 10 x f 20 x f 20 x 则 f x 是 92 年 A 偶函数 又是周期函数 B 偶函数 但不是周期函数 C 奇函数 又是周期函数 D 奇函数 但不是周期函数 例 3 设 x 与 y 为实数 满足 x 1 3 1997 x 1 1 y 1 3 1997 y 1 1 则 x y 97 年全国高中联赛 分析 构造函数 f t t 3 1997t 将两等式变成函数值 再利用函数性质 解 小结 巧妙地构造函数 利用函数的奇偶性 单调性 简单的函数方程 练习 已知方程 x 2n kx n N 在区间 2n 1 2n 1 上有两个不相等的实数根 则 k 的取值范围是 95 年 A k 0 B 0 k 12 1 n C 12 1 n k 12 1 n D 以上都不正确 用 x 表示不大于实数 x 的最大整数 方程 lg 2 x lgx 2 0 的实根个数 是 95 年 设函数 y f x 对一切实数 x 都满足 f 3 x f 3 x 且方程 f x 0 恰有 6 个不 同的根 则这 6 个实根的和为 91 年 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 3 第二讲 三角变换 三角不等式 例 1 设 x 2 1 0 以下三数 a cos sinx b sin cosx c cos x 1 的 大小关系是 96 年全国高中联赛 A c b a B a c b C c a b D b c a 分析 先判别符号 再比较同符号的几个 解 小结 比大小 可以先与 0 1 比较 先后利用函数单调性 比较法等 也可特值法 练习 已知 0 b 1 0 a 4 则下列三数 x sin coslogb y cos coslogb z sin sinlogb 的从小到大排列为 94 年 设 4 2 则 cos cos sin cos cos sin 从小到大的排列 为 90 年 四个数 log 1sin cos1 log 1sin tg1 log 1cos sin1 log 1cos tg1 从小到大的排列 为 95 年 例 2 在 ABC 中 角 A B C 的对边边长分别是 a b c 若 c a 等于 AC 边上的高 h 则 sin 2 AC cos 2 AC 的值等于 9 年全国高中联赛 分析 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系 通过三角变换解决问题 解 小结 正弦定理 余弦定理 三角形面积公式 三角变换 练习 cos 2 10 cos 2 50 sin40 sin80 91 年 在 ABC 中 角 A B C 的对边边长分别是 a b c 已知三内角成等差数列 且 c 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 4 a 等于 AC 边上的高 h 则 sin 2 AC 的值等于 91 年 在 ABC 中 角 A B C 的对边边长分别是 a b c b 1 且 A C A B sin sin 都是方 程 log b x logb 4x 4 的根 则 ABC 92 年 A 是等腰三角形 但不是直角三角形 B 是直角三角形 但不是等腰三角形 C 是等腰直角三角形 D 不是等腰三角形 也不是直角三角形 例 3 设 x y z 12 且 x y z 2 求 cosxsinycosz 的最大值和最小值 97 年 解 小结 积化和差 放缩法 练习 已知 0 0 都成立的充要条 件是 94 年 A a 与 b 同时为 0 且 c 0 B 22 ba c C 22 ba c 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 5 已知 x y 4 4 a R 且 0cossin4 02sin 3 3 ayyy axx 则 cos x 2y 提示 构造函数法 94 年 第三讲 数列 数列递推 数学归纳法 例 1 等比数列 an 首项 a1 1536 公比 q 2 1 用 n表示它的前 n 项之积 则 n n N 最大是 A 9 B 11 C 12 D 13 96 年全国高中联赛 分析 先求出 n的表达式 再讨论该式的最大值问题 解 小结 等比数列的通项公式 函数最值问题 分类讨论法 练习 设 x y 且两数列 x a1 a2 a3 y 和 b1 x b2 b3 y b4均为等差数列 那么 12 34 aa bb 88 年 设 x y z 是实数 3x 4y 5z 成等比数列 且 x 1 y 1 z 1 成等差数列 则 z x x z 的 值是 92 年 设等差数列 an 满足 3a8 5a13 且 a1 0 Sn 为前 n 项之和 则 Sn n N 中最大 的是 A S10 B S11 C S20 D S21 95 年 例 2 已知数列 an 满足 3a 1 n an 4 n 1 且 a1 9 其前 n 项之和为 Sn 则满 足不等式 Sn n 6 125 1 的最小整数 n 是 94 年全国高中联赛 分析 先求 Sn 解 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 6 小结 构造法 数列前 n 项和公式 练习 设等差数列的首项及公差均为非负整数 项数不少于 3 且各项的和为 97 2 则这样的 数列共有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 97 年 对于每个自然数 n 抛物线 y n 2 n x 2 2n 1 x 1 与 x 轴交于 An Bn两点 以 AnBn 表示该两点间距离 则 A1B1 A2B2 A1992B1992 92 年 一个正数 若其小数部分 整数部分和其自身成等比数列 则该数为 89 年 例 3 设正数列 a0 a1 a2 an 满足 2 nna a 21 nn aa 2a 1 n n 2 且 a0 a1 1 求 a100 a99的值 分析 将已知的代数式进行变形 构造一个新的数列使问题简化 解 小结 构造法 练习 将正奇数集合 1 3 5 由小到大按第 n 组有 2n 1 个奇数进行分组 第一组 1 第二组 3 5 7 第三组 9 11 13 15 17 则 1991 位于第 组中 91 年 已知数列 xn 满足 x 1 n xn x 1 n n 2 x1 a x2 b 记 Sn x1 x2 xn 则下列结论正确的是 97 年 A x100 a S100 2b a B x100 b S100 2b a C x100 b S100 b a B x100 a S100 b a 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 7 已知集合 M x xy lg xy N 0 x y 并且 M N 那么 x y 1 x 2 2 1 y x 3 3 1 y x 2001 2001 1 y 的值等于 87 年 2001 年全国高中数学联合竞赛试题 第一试 2001 年 10 月 14 日 8 00 9 40 一 选择题 每小题 6 分 满分 36 分 1 已知 a 为给定的实数 那么集合 M x x2 3x a2 2 0 x R 的子集的个数为 A 1 B 2 C 4 D 不确定 2 命题 1 长方体中 必存在到各顶点距离相等的点 命题 2 长方体中 必存在到各棱离相等的点 命题 1 长方体中 必存在到各面离相等的点 以上三个命题中正确的有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3 在四个函数 y sin x y cos x y ctgx y lg sinx 中以 为周期 在 0 2 上单调 递增的偶函数是 A y sin x B y cos x C y ctgx D y lg sinx 4 如果满足 ABC 60 AC 12 BC k 的 ABC 恰有一个 那么 k 的取值范围是 A k 83 B 0 k 12 C k 12 D 0 k 12 或 k 83 5 若 1 x x2 1000的展开式为 a0 a1x a2x2 a2000 x2000 则 a0 a3 a6 a9 a1998的值为 A 3333 B 3666 C 3999 D 32001 6 已知 6 枝玫瑰花与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元 二 4 枝玫瑰花与 5 枝康乃馨的价格 之和小于 22 元 则 2 枝玫瑰花的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是 A 2 枝玫瑰花价格高 B 3 枝康乃馨价格高 C 价格相同 D 不确定 二 填空题 每小题 9 分 满分 54 分 7 椭圆 cos2 1 的短轴长等于 8 若复数 z1 z2满足 z1 2 z2 3 3z1 2z2 2 3 i 则 z1z2 京师博雅园 w w w j s y b y x t c o m 8 9 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 则直线 A1C1与 BD1的距离是 10 不等式 2 3 2 xlog 1 2 1 的解集为 11 函数 y x 2x3x2 的值域为 12 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 如图 要求同一块种种植一 种植物 相邻的两块种植不同的植物 现有 4 种不同的植物可供选择 则有 种栽种方案 三 解答题 每小题 20 分 满分 60 分 13 设 an 为等差数列 bn 为等比数列 且 b1 a12 b2 a22 b3 a32 a1 a2 又 n lim b1 b2 bn 2 1 试求 an 的首项与公差 14 设曲线 C1 2 2 2 y a x 1 a 为正常数 与 C2 y2 2 x m 在 x 轴上方仅有一个公共