二次函数讲义.doc

二次函数1二次函数形如 (a,b,c是常数，a0)的函数，叫做x的二次函数。它的图像是一条抛物线。例题：（1）下列函数中，是二次函数的有 。 （2）当k为何值时，函数为二次函数？（3）已知正方形的面积为，周长为x（cm）。请写出y与x的函数关系式； 判断y是否为x的二次函数。练习：（1）对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（ ）A B C D（2）已知函数是二次函数，求m的值。（3）已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式若圆柱的底面半径x为3，求此时的y。作业：（1）在下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（ ）A 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D 圆的周长与圆的半径之间的关系（2）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃设花圃的一边AB为xm，面积为ym2 求y与x的函数关系式。如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？2的图像与性质（1）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）。（2）当a0时，图像开口向上，函数有最小值。当x0时，y随x的增大而增大。当ao时，图像开口向下，函数有最大值。当x0时，y随x的增大而减小。例题：（1）在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并回答问题。 抛物线的对称轴是 ，开口 ，顶点坐标是 ，当x ，曲线自左向右下降；当x ，曲线自左向右上升。抛物线的对称轴是 ，开口 ，顶点坐标是 ，当x ，曲线自左向右下降；当x ，曲线自左向右上升。（2）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大 求k的值； 求顶点坐标和对称轴。（3）已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2求S和C之间的函数关系式，并画出图象；根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；根据图象，求出C取何值时，S4 cm2。练习：（1）抛物线，当x= 时，y有最 值，是 。（2）已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增大。（3）已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象。作业：（1）已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值。（2）二次函数与直线交于点P（1，b） 求a、b的值； 写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小。（3）一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2） 求出这个函数的关系式并画出函数图象； 写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出MON的面积3的图像与性质（1）由向上（或向下）平移k个单位得到的。（2）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,k）。（3）当a0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=0时，y=k。当x0时，y随x的增大而增大。当ao时，图像开口向下，函数有最大值，即当x=0时，y=k。当x0时，y随x的增大而减小。例题：（1）抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的。（2）函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小当x 时，函数取得最 值，最 值y= 。（3）一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式。练习：（1）抛物线是由抛物线向 平移 个单位得到的。（2）若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值这个函数有最大还是最小值？是多少？（3）在同一直角坐标系中与的图象的大致位置是( ) 作业：（1）已知二次函数，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式。（2）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_。（3）某涵洞时抛物线，它的截面如图所示，现测得水面宽AB=1.6米，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，求涵洞所在抛物线的函数解析式。4的图像与性质（1）由向左（或向右）平移h个单位得到的。（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，0）。（3）当a0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=0。当xh时，y随x的增大而增大。当ao时，图像开口向下，函数有最大值, 即当x=h时，y=0。当xh时，y随x的增大而减小。例题：（1）对于抛物线，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ，它的图像是由抛物线向 平移 个单位得到的，如果要得到抛物线，应将抛物线向 平移 个单位。（2）将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求的值。练习：（1）顶点为（-6,0）开口向下，形状与函数的图像相同的抛物线所对应的函数是（ ）A. B. C. D. （2）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位，所得图像对应的解析式为 。作业：（1）将抛物线y12x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= 。（2）抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的。5（a0）的图像与性质（1）（a0）由（a0）先向右（或向左）平移h个单位，再向上（或向下）平移k个单位得到的。（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。（3）当a0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=k。当xh时，y随x的增大而增大。当ao时，图像开口向下，函数有最大值, 即当x=h时，y=k。当xh时，y随x的增大而减小。(4)二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k（a0）中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径此外，图象的平移与平移的顺序无关。例题：（1）将抛物线如何平移可得到抛物线（ ）A向左平移4个单位，再向上平移1个单位B向左平移4个单位，再向下平移1个单位C向右平移4个单位，再向上平移1个单位D向右平移4个单位，再向下平移1个单位（2）y=-2(x-1)5 的图象开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴是 ，当x1时，y值随着x值的增大而 。（3）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 。练习：（1）二次函数，无论k取什么实数，图像顶点必在（ ）A 直线y=x上 B x轴上C 直线y=x上 D y轴上（2）将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为_，新函数的对称轴是 ，顶点坐标是 。（3）二次函数y=(x1)22的图像的对称轴是直线_作业：（1）在同一个坐标系中，画出函数和函数的图像，并回答下列问题：分别指出这两条抛物线的对称轴和顶点坐标；抛物线经过怎样的平移可得到抛物线？6通过配方把二次函数化成+k（a0）的形式，即（1）对称轴，顶点坐标（）（2）当a0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=时，y=。当x时，y随x的增大而增大。当ao时，图像开口向下，函数有最大值, 即当x=时，y=。当x时，y随x的增大而减小。例题：（1）利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 （2）抛物线的顶点是，则= ，c= 。（3）二次函数的图象的对称轴是 ，顶点坐标是 。练习：（1）若一次函数y=(m+1)x+m的图像经过第一、三、四 象限，则函数（ ）A 有最大值 B 有最大值C有最小值 D有最小值（2）已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值。作业：（1）抛物线的顶点横坐标是-2，则= 。（2）当时，抛物线的顶点在第 象限。（3）已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标7最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a0有最小值，a0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果。例题：（1）求下列函数的最大值或最小值。 ； （2）已知二次函数有最小值 1，则a与b之间的大小关系是 （ ）Aab Ba=b Cab D不能确定（3）有一根长为40的铁丝，把它弯成一个矩形框，当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？（4）某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。 写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？练习：（1）若抛物线位于x轴的上方，则m的取值范围是 。（2）若为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是 。（3）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？作业：（1）从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度为 米。（2）图为二次函数的图象，给出下列说法正确的有 。；方程的根为；当时，y随x值的增大而增大；当时，。（3）不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围。8会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求。例题：（1）抛物线过（0，-2），（1,0），（2,3）三点，求此抛物线方程。（2）已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式。练习：（1）已知二次函数的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），该二次函数的关系式为 。（2）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到 如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式； 设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。例题：（1）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）（2）已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式。练习：（1）已知抛物线的顶点在y轴上，函数的最大值是4，并且经过点（1,3）则这个函数的解析式为 。（2）已知二次函数，当x=3时，有最大值4，则m= ，n= 。 作业：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度225m若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？若水流喷出的抛物线形状与相同，水池的半径为35m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到01m）（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求。例题：（1）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）。（2）某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为44m现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面28m，装货宽度为24m请判断这辆汽车能否顺利通过大门练习：（1）已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2。 求二次函数的函数关系式； 设此二次函数图象的顶点为P，求ABP的面积作业：（1）抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为（ ）A、 B、C、 D、9抛物线与直线的交点一次函数与二次函数交点的个数由方程组的解得个数决定。当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点。当方程组无解时，两函数图像没有交点。例题：（1）抛物线与y轴交点的坐标是 ，该交点到x轴的距离是 。（2）直线y=m+x，和抛物线都经过点A(1,0)，B（3,2），求m的值和抛物线的解析式；（3）一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？练习：（1）如图所示，已知二次函数与一次函数的图像相交于点A(-2,4)，B（8,2）,则要使成立的x的取值范围是 。（2）利用函数的图像求下列方程组的解 10二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数，当y=0时，二次函数就转化为一元二次方程。（2）抛物线与x轴交点的个数就由一元二次方程中的决定。若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。若，抛物线与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，抛物线在x轴下方。例题：（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两