2010考研概率论讲义.doc

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称概率统计授课对象2006级本科授课题目第一讲 概率论的基本概念课时数2教学目的通过教学使学生了解概率论的基本概念理，掌握概率的常用公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式），掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算。重点难点(1) 重点是概率论的基本概念理、概率的常用公式(2) 难点是古典概型、几何概型、贝努里概型概率的计算教学提纲 第一讲 概率论的基本概念一、基本概念随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、必然事件。不可能事件，完备事件组、概率的定义、古典概型、几何概型、条件概率、事件的独立性二、事件的关系的关系与运算事件的包含关系、事件的相等、并(和)事件与积(交)、差事件、对立事件、互不相容事件（互斥事件）、事件的运算法则三、常用公式1.加法公式2.减法公式3.对立事件概率公式4.乘法公式5全概率公式6、贝叶斯公式7.贝努里概型教学过程与内容教学后记 第一讲 概率论的基本概念一、基本概念1. 随机试验2. 样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点.3随机事件中的元素称为样本点，常用表示。(1) 样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。(2) 样本空间的单点子集称为基本事件。(3) 实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。(4) 必然事件。(5) 不可能事件。(6) 完备事件组（样本空间的划分）4概率的定义（公理化定义）5古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。 =。6几何概型 7条件概率设事件B的概率.对任意事件，称P(A|B)=为在已知事件发生的条件下事件发生的条件概率。8条件概率的独立性 A、B ,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。设三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立。二、事件的关系的关系与运算.事件的包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A， 记作。. 事件的相等设A,B,若，同时有，称A与B相等，记为A=B，.并(和)事件与积(交)事件 “A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作 .“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作或.差事件 “A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作.对立事件称“”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作。 .互不相容事件（互斥事件）若两个事件A与B不能同时发生，即，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。.事件的运算法则1)交换律 2)结合律 3)分配律 4)对偶原则 ，三、常用公式1.加法公式（1）对任意两个事件A、B，有P()=P()+P()-P()（2）对任意三个事件A、B，C2.减法公式若AB 则P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.对立事件概率公式对任一随机事件A，有 P（）=1-P（A）；4.乘法公式当时: 5全概率公式定理1：设 是 一列互不相容的事件，且有,对任何事件A，有P(A)= 6、贝叶斯公式定理2：若是一列互不相容的事件，且则对任一事件有两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”7.贝努里概型贝努里试验:若试验E只有两个可能的结果A及，称这个试验为贝努里试验。贝努里概型设随机试验E具有如下特征：1）每次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件；3）每次试验的结果发生的概率相同 称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为。设事件在n次试验中发生了次，则四、举例例1.已知，求【解】 例2.已知求A,B,C至少有一个发生的概率。【解】 =例3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。【解】设A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球 基本事件总数为=15A的有利样本点数为, P(A)=6/15=2/5 B的有利样本点数为, P(B)=1/15 P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例4. （摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？【解】用表示取到白球数P(A)= P(B)= = P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9 P(C)=1-P(B)=8/9例5（抽签原理）有个上签，个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是【证】放回抽样结论是显然的；不放回可用全概率公式证明例6：（几何概型）在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为_【解】以x和y分别表示甲乙约会的时间，则 两人到会面出时间差不超过15分钟 例7：某工厂有三条生产线生产同一中产品，该3条流水线的产量分别占总产量的20%，30%，50%，又这三条流水线的不合格品率为5%，4%，3%，现在从出厂的产品中任取一件， （1）问恰好抽到不合格品的概率为多少？ (2)已知抽到不合格品，求该产品来自一车间的概率【解】(1)设：表示产品来自第i条生产线 ：表示抽到不合格品由题意 P(A) =0.037 (2)【点评】通过该题细心体会贝叶斯公式和贝叶斯公式的用法。例8甲乙两人同时射击同一目标，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5。已知已命中目标，求是甲命中目标的概率。【分析】咋看这个题目觉得应用贝叶斯公式求解，但仔细分析个目中只有一个过程，应用条件概率求解。【解】A:甲命中，B:乙命中，C：命中，C=A+B=例9：一个盒子中有4件产品，3件一等品，1件二等品，从中任取两件，设事件表示“第一次取到一等品”， 表示“第二次取到一等品”，求。【解】这一结果的意义是明显的例10：假定某人做10个选择题，每个题做对的概率均为；求（1）该同学做对3道题的概率；(2) 该同学至少做对3道题的概率；【解】=1-=1-【点评】“至少”,通过对立事件求解。例11： 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A) (B) .(C) (D) C 例12：设为随机事件，且，则必有(A) (B) (C) (D) C 例13：设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A) (B) (C) (D) A 泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称概率统计授课对象2006级本科授课题目第二讲一维随机变量及其分布课时数2教学目的通过教学使学生了解分布函数的概念、离散型随机变量的分布律及其表示、一维连续型随机变量的概念、常见分布；掌握一维随机变量函数的分布。重点难点(1) 重点是分布函数的概念、离散型随机变量的分布律及其表示、一维连续型随机变量的概念、常见分布(2) 难点是一维随机变量函数的分布教学提纲第二讲一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1. 随机变量2. 分布函数二、离散型随机变量1.概念2.分布律及其表示三、连续型随机变量1.一维连续型随机变量的概念2.密度函数具有下述性质：四、常见分布五、一维随机变量函数的分布1.一维离散型随机变量函数的分布2.一维连续型随机变量函数的分布 教学过程与内容教学后记 第二讲一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1. 随机变量定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）唯一地对应一个实数，则称实变量为随机变量，通常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数为随机变量，的可能取值为0，1，2例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量,的可能取值为=。例3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（X,Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。2. 分布函数定义2 定义在样本空间上，取值于实数域的函数，称为是样本空间上的（实值）随机变量，并称 是随机变量的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质： （1）单调性 若则； （2） （3）右连续性 （4）二、离散型随机变量1.概念定义3：只取有限个或可列个值的变量X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。2.分布律及其表示如果离散型随机变X可能取值为()，相应的概率为随机变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。（1）分布律表示方法公式法（2）分布律表示方法列表法也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律： 分布列的性质:非负性：1）规范性：2）分布函数 例1: 已知 (1)求，(2)分布函数【解】 例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，X表示取到的黑球数。（1）求X的分布律；（2）为随机变量X的分布函数【解】X可能取值为0，1，2。,X的分布律 三、连续型随机变量1.一维连续型随机变量的概念定义1 若X是随机变量，是它的分布函数，如果存在函数，使对任意的，有，则称X为连续型随机变量，相应的为连续型分布函数.同时称是的概率密度函数或简称为密度.2.密度函数具有下述性质：（1）非负性（1）规范性（3） （4） （5）由式可知，对的连续点必有 例3：设随机变量X的分布函数为 。（1）求A，B ， (2)求 【解】 得 ， =例4：设随机变量X的概率密度函数为 。（1） (2)分布函数 （3）求 【解】 （1/6）（）四、常见分布 (1)两点（0-1）分布 设离散型随机变量的的分布列为 其中，则称服从两点分布，亦称服从（01）分布，简记为01）分布. (2)二项分布 若离散型随机变量的分布列为 其中，则称服从参数为的二项分布，简称服从二项分布，记为 易验证 显然，当=1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例. (3)普哇松（Poisson）分布 设离散型随机变量的所有可能取值为0，1，2，且取各个值的概率为 其中为常数，则称服从参数为的普哇松分布，记为.易验证 定理（普哇松定理）在重贝努里试验中，事件在一次试验中出现的概率为（与试验总数有关）如果当时，常数），则有 (4)几何分布 设是一个无穷次贝努里试验序列中事件首次发生时所需的试验次数，且可能的值为而取各个值的概率为 其中，则称服从几何分布.记为.易验证 (5)均匀分布若随机变量的概率密度函数为 时，则称随机变量服从上的均匀分布.显然的两条性质满足.其分布函数为 记为.(6)指数分布若随机变量的分布函数为 概率中称服从参数为的指数分布.而随机变量的概率密度为 (7)正态分布设随机变量X的概率密度为 （*）是两个常数，则称设随机变量X服从的正态分布，记为相应的分布函数为 并且称为正态分布，记作.如果一个随机变量X的分布函数是正态分布，也称X是一个正态变量.分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以表示，相应的分布函数则记作，所以 (1)是偶函数，图像关于y轴对称，关于对称； （2）在，在取得最大值； （3）是的拐点，是的拐点； （4）若，则 （5）例5：设随机变量服从正态分布，（1）求.（2）求常数使【解】（2），所以 ；五、一维随机变量函数的分布1.一维离散型随机变量函数的分布例6，已知， 求的分布列。【解】2.一维连续型随机变量函数的分布 设为一通常的连续函数，令，其中X为随机变量，那么Y也是随机变量，并称它为随机变量X的函数. （1）.分布函数法 例7：已知，求的概率密度。【解】 = 例8：已知随机变量的概率密度为 求的概率密度。 解题步骤： （1）求出x的有效作用范围（的范围）， 并根据 求出Y的有效作用范围 ;(2)当时， 当时， 当时， （3）求出概率密度。【解】（1）时， ，;(2)当时， 当时， 当时，= （3）例9：设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【解】易见，当x8 时，F(x)=1.对于，有 设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当时，G(y)=0；当时，G(y)=1. 对于， =于是，Y=F(X)的分布函数为 例10：设随机变量的概率密度为，令求的概率密度【解】 设的分布函数为，即，则1) 当时，；2) 当时， .3) 当时，.4) 当，.所以.（2）公式法 定理 设是一个连续型随机变量，其密度函数为，又严格单调，其反函数有连续导数，则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 其中 证明 不妨设是严格单调上升函数，这时它的反函数也是严格单调上升函数，于是 由此得的密度为 同理可证当严格单调下降时，有 由此定理得证. 例11： 设，又，易验证这时定理3.1的条件满足，又因为的反函数为，所以有 由此可见.近年考试题例12随机变量X的分布为，则 例13：设随机变量X的分布函数其中为标准正态分布的分布函数，则【 C 】0.0.3. 0.7.1.例14：设随机变量X和Y相互独立，且，的概率分布为记为随机变量的分布函数，则的间断点的个数为【 B 】0.1. 2.3.泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称概率统计授课对象2006级本科授课题目第三讲：多维随机变量及其分布课时数4教学目的通过教学使学生了解二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性。掌握二维随机变量函数的分布。重点难点(1) 重点是二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性(2) 难点是二维随机变量函数的分布教学提纲第三讲：多维随机变量及其分布一、基本概念联合分布函数，联合分布函数的性质、边缘分布函数二、离散型二维随机变量离散型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性三、连续型二维随机变量连续型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性四、二维随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布2.连续型随机变量函数的分布教学过程与内容教学后记第三讲：多维随机变量及其分布一、基本概念1联合分布函数设（）是二维离散型随机变量，是任意实数，二维随机变量（）的联合分布函数。2.联合分布函数的性质（1）单调性关于x(y)单调不减；（2）,；(3) 关于x(y)右连续；(4)3边缘分布函数设（）是二维离散型随机变量的联合分布函数为，则，二维随机变量（）的边缘分布函数。二、离散型二维随机变量1. 离散型二维随机变量的分布律设是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为令 称是二维离散型随机变量的联合分布. 二维联合分布的三个性质： 2. 离散型二维随机变量的分布函数 3. 离散型二维随机变量的边缘分布设二维随机变量（）的联合概率分布=中对固定的关于求和而得到 4. 离散型二维随机变量的条件对于固定的若，称为在的条件下，随机变量的条件概率. 同样定义为在的条件下，随机变量的条件概率. 条件概率符合概率的性质 5. 离散型二维随机变量的独立性设离散型随机变量的联合概率分布列与边缘分布为：， 定理1：离散型随机变量独立的充分必要条件是对于任意的都有 例1 从1，2，3，4种任取一个记为，在从1种任取一个记为，(1)求二维随机变量（）的联合分布律 XY123411/400021/81/80031/121/12/1/12041/161/161/161/16(2)求二维随机变量（）的边缘分布律。 (3)求的条件下，X的概率分布(4) 随机变量独立吗？ 不独立。例2 ，且，求随机变量（）的联合分布律及。【解】X Y 0 101 0.3 0.2 0.1 0.40.50.5 0.4 0.6例3 已知X,Y独立，完成下表： X Y 1 2 312 例4 已知（X,Y）的分布律为： X Y 0 101 0.4 a b 0.1已知独立，求a,b【解】(1) (2) 由（）（）的三、连续型二维随机变量1定义与性质如果联是一个合分布函数，若存在函数，使对任意的，有 成立，则称是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的是的联合概率密度函数或简称为密度.如果二维随机变量的联合分布函数是连续型分布函数，就称是二维的连续型随机变量.密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数必具有下述性质：反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：（3）若在点连续，是相应的分布函数，则有 （4）若是平面上的某一区域，则 2连续型随机变量的边缘分布若（）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X与Y的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数求得，概率密度 3. 连续型随机变量条件分布 若（）概率密度为，边缘概率密度，称 为在的条件下，随机变量的条件概率密度.类似地，称 为在的条件下，随机变量的条件概率密度.设随机变量的联合分布为，如果对任意的都 则称是独立的4.随机变量的独立性设随机变量的联合分布为，如果对任意的都 则称是独立的定理2：如果是二维连续型随机变量，则X与也都是连续型随机变量，它们的Y密度函数分别为，这时容易验证X与Y独立的充要条件为： 几乎处处成立。说明：(1)或点点成立，则X与Y独立。 (2)X与Y独立,则点点成立不一定点点成立。 (3)在个别点，则X与Y可能还独立；在一点，则X与Y一定不独立。例：已知随机变两（X,Y）的概率密度为(1)求A (2)求分布函数 当时， 其他， （3）求 (4) 求边缘概率密度 (5) 求条件概率密度 当时，不存在； 当时，(6) 求 (7)独立吗？点点成立，则X与Y独立。例6：已知随机变量（X,Y）时区域D上的分布，D由围成，问X,Y是否独立？解： 同理： 所以X,Y不否独立。例7：甲乙两人到达同一地点的时间X,Y服从7,8上的均匀分布，X,Y独立，求X，Y的差不超过小时的概率。 X,Y独立例8若二维连续随机变量的联合概率密度为 （ ）则称服从二维正态分布，记作 。说明：（1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布，；（2）二维随机变量的边缘分布都是是一维正态分布，则不一定服从二维正态分布；（3）是相关系数，独立的充分必要条件是；（），且独立，则 四、二维随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布例已知二维随机变量的分布为X Y121 1/41/621/31/4求：(1) (2) (3) 【解】(1) (2) (3) 2.连续型随机变量函数的分布已知（）联合概率密度，求的概率密度。这类问题主要通过分布函数法求解。具体过程如下：(1)划出的区域D；(2)作等值线(3)平行移动等值线，寻找等值线与D相交的关键点。(4)当时，=0,当时，=1,当时 (5) 例10:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求： 的概率密度【解】令，当时，；当时， =; 3) 当时，即分布函数为： 故所求的概率密度为：例11: X,Y独立且都服从0,1上的均匀分布，求的概率密度。【解】 X,Y独立，所以当时，；当时，；当时， =;当时， 例12：练习册 10题例13：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求： 的概率密度例14设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量Z=X+Y的概率密度.【解】 (因为X与Y独立) 例15: 的分布【解】；设随机变量X与Y独立；设随机变量X与Y独立，=近年考试题设二维连续随机变量（）的概率密度，求及(1)分别求出Y的边缘概率密度。条件概率密度设袋中有1个红球、2 个黑球与3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以X,Y,Z分别表示所取得的红球、黑球与白球的个数。（1）求（2）求二维随机变量(X,Y)的概率分布。设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求（2）求的概率密度设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . .设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (I) 求； (II) 求Z+的概率密度. 6设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 7.设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度().泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称概率统计授课对象2006级本科授课题目第四讲 随机变量的数字特征课时数4教学目的通过教学使学生了解随机变量的数学期望、方差、协方差与相关系数的概念，掌握数学期望、方差、协方差与相关系数的求法。重点难点(1) 重点是数学期望、方差、协方差与相关系数的概念与求法(2) 难点是协方差与相关系数的概念与求法教学提纲第四讲 随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望1数学期望的定义2随机变量函数的数学期望3.随机变量的数学期望的性质 二、方差1.方差的定义 常用的计算方差的公式 2方差的性质 3.常见分布的方差三、协方差与相关系数1.随机变量的协方差2.二维随机变量的相关系数教学过程与内容教学后记第四讲 随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望1数学期望的定义(1)离散型随机变量可能取值为其分布列为，则. (2)设是一个连续型随机变量，密度函数为，则。 2随机变量函数的数学期望 (1)若是一个离散型随机变量，如果，则有，(2)若是连续性随机变量，密度函数为，且 ，则有 (3)若是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为 ， (4)设是二维连续型随机变量，密度函数为， 3.随机变量的数学期望的性质 (1)若是一个常数，则.(2)若存在，则对任意的实数、，存在且 (3)若是相互独立的且存在，则存在且 4常见几种分布的数学期望（1）两点分布的期望（2）二项分布的期望(3）普哇松分布的数学期望 (4) 均匀分布的数学期望 .(5) 指数分布的数学期望.(6)正态分布的数学期望例1:已知,求 【解】例2设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (1)求, (2) 求【解】（1）解法1, 解法2, （2） =二、方差1.方差的定义定义：设是一个离散型随机变量，数学期望存在，如果存在，则称为随机变量的方差，并记作. 方差的平方根称为标准差或根方差，在实际问题中标准差用得很广泛。 常用的计算方差的公式 2方差的性质 （1）若是常数，则；（2）若是常数，则；(3) （4）若相互独立且存在，则存在且 性质（4）可以推广到维随机变量的情形,并且 3.常见分布的方差(1)两点分布的方差 ，(2) 普哇松分布的方差 (3) 均匀分布的方差 (4) 指数分布的方差 (5)二项分布的方差 (6)正态分布的方差设X服从分布，求例3:已知,求 【解】例设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求【解】 三、协方差与相关系数1.随机变量的协方差 定义 若是一个二维随机变量，称为与的协方差，并记作，即 公式： 由协方差的定义即知它具有下述性质： (1) 0(2) 对称性：(3)线性性： ；(4) (5)若X,Y独立，则2.二维随机变量的相关系数定义，若是一个二维随机变量，则称为随机变量与的相关系数 相关系数的性质（1）；（2），当且仅当存在常数，使得； 说明：(1)时，称与不相关，时，称与正相关，时，称与负相关 (2)若X,Y独立，则相关系数。反过来，关系数，X,Y不一定独立。(3)二维正态分布中的为X,Y的相关系数，当且仅当X,Y独立。例: 二维随机变量的概率分布为：0 1 0 1 求：与的相关系数 ; 【解】因为，所以与的相关系数例：已知随机变量（X，Y）的概率密度为,求【解】 = = = 例：设， ，X,Y相互独立，令，求。【解】 （X与Y独立） 例：设A,B为随机事件，且，令 求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数【解】（I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1 0 1 (II) X, Y的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P P 则，DY=, E(XY)=,故 ，从而 例：已知，求，。【解】 ， =0例10:设随机变量，令 (1)求 (2) 【解】 () , , 同理， 的取值为-1，1 = = 泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称概率统计授课对象2006级本科授课题目第五讲 大数定律与中心极限定理课时数2教学目的通过教学使学生了解切比雪夫不等式、切比雪夫定理和伯努利定理，了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛拉普拉斯定理。重点难点(1) 重点切比雪夫不等式、切比雪夫定理、伯努利定理、独立同分布的中心极限定理和棣莫佛拉普拉斯定理次型的概念；(2) 难点切比雪夫定理证明。教学提纲第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律一、 契比雪夫不等式二、 契比雪夫大数定律（Chebyshev Law of Large Number）三、 贝努里大数定律（Bernoulli Law of Large Number）5.2 中心极限定理一、林德贝格-勒维(Lindeberg-Levy)定理。二、德莫佛拉普拉斯定理DeMovire-Laplace 定理教学过程与内容教学后记第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳定与一个确定的常数。对某个随机变量进行大量的重复观测，所得到的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于这类稳定性都是在对随机现象进行大量重复试验的条件下呈现出来的，因而反映这方面规律的定理我们就统称为大数定律。一、 契比雪夫不等式 定理1 设随机变量的均值及方差存在，则对于任意正数，有不等式我们称该不等式为契比雪夫（Chebyshev）不等式。证明: （我们仅对连续性的随机变量进行证明）设为的密度函数，记，则 从定理中看出，如果越小，那么随机变量取值于开区间中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心(distribution center)的集中程度的数量指标。利用契比雪夫不等式，我们可以在随机变量的分布未知的情况下估算事件的概率。例1：设随机变量的数学期望，方差，估计的大小。 因而 不会小于.二、 契比雪夫大数定律（Chebyshev Law of Large Number）定理 5.2 设相互独立的随机变量分别具有均值 及方差，若存在常数，使 ，则对于任意正整数，有Proof： 由于相互独立，那么对于任意的，相互独立。于是令 ，则由契比雪夫不等式（Chebyshev inequality）有令， 则有 即 .推论1: 设相互独立的随机变量有相同的分布，且 ，存在，则对于任意正整数，有. （Let be a sequence of independent and identically distributed random variables，and ， exist ,then,for any value ，.）定理5.2我们称之为契比雪夫大数定理，推论5.1是它的特殊情况，该推论表明，当很大时，事件的概率接近于1。一般地，我们称概率接近于1的事件为大概率事件(large probability event)，而称概率接近于0的事件为小概率事件(small probability event)，在一次试验中大概率事件几乎肯定要发生，而小概率事件几乎不可能发生，这一规律我们称之为实际推断原理(fact infer principle)。三、 贝努里大数定律（Bernoulli Law of Large Number）定理 5.3 设是次独立重复试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则对于任意正整数，有 . 证明： 令，是个相互独立的随机变量，且.又 ，因而由推论5.1有定理5.3我们称之为贝努利大数定律（Bernoulli Law of Large Number），它表明事件发生的频率依概率收敛于事件的概率，也就是说当很大时事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。根据实际推断原理，当试验次数很大时，就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件的概率。5.2 中心极限定理中心极限定理(Central Limit 定理)是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和的分布收敛于正态分布的问题。定理 5.4 设相互独立的随机变量服从同一分布，且 ，则对于任意，随机变量的分布函数趋于标准正态分布函数，即有定理的证明从略。该定理我们通常称之为林德贝格-勒维(Lindeberg-Levy)定理。推论2 设相互独立的随机变量服从同一分布，已知均值为，方差为.单分布函数未知，当充分大时，近似服从正态分布. 推论3 设相互独立的随机变量服从同一分布，已知均值为，方差为.单分布函数未知，当充分大时, 近似服从正态分布. 由推论5.3知，无论是什么样的分布函数，他的平均数当充分大时总是近似地服从正态分布。 例2 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候? Solution 令，是260个相互独立的随机变量，且，表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的使成立。由上面定理，有查得，故，取，于是也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。例3 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500克的概率。解：设一箱味精净重为克，箱中第袋味精的净重为克，.是200个相互独立的随机变量，且，因而有 定理 5. （德莫佛拉普拉斯定理DeMovire-Laplace 定理）设表示次独立重复试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率。则对于任意区间，恒有这两个定理表明二项分布的极限分布是正态分布。一般来说，当较大时，二项分布的概率计算起来非常复杂，这是我们就可以用正态分布来近似地计算二项分布。例4 设随机变量服从，求.解 例.5 设电路共电网中内有10000盏灯，夜间每一盏灯开着的概率为0.7，假设各灯的开关彼此独立，计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率。解： 记同时开着的灯数为，它服从二项分布，于是.泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称概率统计授课对象2006级本科授课题目第六讲数理统计的基本概念课时数4教学目的通过教学使掌握母体、子样、统计量等数理统计的基本概念了解 分布、t分布和F分布的定义和性质及统计量的分布。重点难点教学重点和难点是统计量的概念及其分布，特别是正态总体的有关统计量的分布。教学提纲第六讲数理统计的基本概念6.1 随机样本一、母体与个体二、简单随机子样三、经验分布函数6.2 抽样分布统一、统计量的概念1、定义2、常用统计量二、 三个重要分布三、统计量的分布教学过程与内容教学后记第6章数理统计的基本概念引言：概率论与数理统计的区别： (1) 数理统计以概率论为讨论基础； (2)概率论研究中随机变量的分布式已知的，讨论分布函数或密度函数的性质、数字特征、随即变量函数的分布等内容；数理统计所讨论的随机变量的分布式未知的，通过抽样的方法，估计分布的类型、分布中位置参数的取值、或验证关于随即变量的假设是否正确。一、母体与个体(1)在数理统计学中我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为母体或总体,而组成母体的每一单元成员称为个体。例如:要研究某灯泡厂生产的一批灯泡的平均寿命。这批灯泡就构成了一个母体，其中每一只灯