广东省深圳市翠园中学高考数学模拟试卷 文（含解析）.doc

2015年广东省深圳市翠园中学高 考数学模拟试卷（文科）一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项1已知a，br，i是虚数单位，若a+i=2bi，则（a+bi）2=（） a 34i b 3+4i c 43i d 4+3i2设集合a=x|x22x0，b=x|1x4，则ab=（） a （0，2 b （1，2） c 1，2） d （1，4）3函数f（x）=的定义域为（） a （0，2） b （0，2 c （2，+） d 2，+）4用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（） a 方程x2+ax+b=0没有实根 b 方程x2+ax+b=0至多有一个实根 c 方程x2+ax+b=0至多有两个实根 d 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根5已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（） a x3y3 b sinxsiny c ln（x2+1）ln（y2+1） d 6已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（） a a1，c1 b a1，0c1 c 0a1，c1 d 0a1，0c17已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） a 2 b c 0 d 8为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据（单位：kpa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（） a 6 b 8 c 12 d 189对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（） a f（x）= b f（x）=x2 c f（x）=tanx d f（x）=cos（x+1）10已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（） a 5 b 4 c d 2二填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上11执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为12函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为13一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为一、选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分（坐标系与参数方程选做题）14在平面直角坐标系中，曲线c：（t为参数）的普通方程为一、几何证明选讲选做题15（2015深圳校级模拟）（几何证明选讲选做题）如图，ab是圆o的直径，bc是圆o的切线，切点为b，oc平行于弦ad，若ob=3，oc=5，则cd=三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）（2014山东）海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区 a b c数量 50 150 100（）求这6件样品来自a，b，c各地区商品的数量；（）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率17（13分）（2014山东）abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosa=，b=a+（）求b的值；（）求abc的面积18（13分）（2014山东）如图，四棱锥pabcd中，ap平面pcd，adbc，ab=bc=ad，e，f分别为线段ad，pc的中点（）求证：ap平面bef；（）求证：be平面pac19（13分）（2014山东）在等差数列an中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设bn=a，记tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn，求tn20（13分）（2014山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数（）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性21（15分）（2014山东）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，直线y=x被椭圆c截得的线段长为（）求椭圆c的方程；（）过原点的直线与椭圆c交于a，b两点（a，b不是椭圆c的顶点）点d在椭圆c上，且adab，直线bd与x轴、y轴分别交于m，n两点（i）设直线bd，am的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1=k2，并求出的值；（ii）求omn面积的最大值2015年广东省深圳市翠园中学高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项1已知a，br，i是虚数单位，若a+i=2bi，则（a+bi）2=（） a 34i b 3+4i c 43i d 4+3i考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 数系的扩充和复数分析： 利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值解答： 解：a+i=2bi，a=2、b=1，则（a+bi）2=（2i）2=34i，故选：a点评： 本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题2设集合a=x|x22x0，b=x|1x4，则ab=（） a （0，2 b （1，2） c 1，2） d （1，4）考点： 交集及其运算 专题： 集合分析： 分别解出集合a和b，再根据交集的定义计算即可解答： 解：a=x|0x2，b=x|1x4，ab=x|1x2故选：c点评： 本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题3函数f（x）=的定义域为（） a （0，2） b （0，2 c （2，+） d 2，+）考点： 函数的定义域及其求法 专题： 函数的性质及应用分析： 分析可知，解出x即可解答： 解：由题意可得，解得，即x2所求定义域为（2，+）故选：c点评： 本题是对基本计算的考查，注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时，被开方数要大于等于0”，及“分母不为0”，即可确定所有条件高考中对定义域的考查，大多属于容易题4用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（） a 方程x2+ax+b=0没有实根 b 方程x2+ax+b=0至多有一个实根 c 方程x2+ax+b=0至多有两个实根 d 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根考点： 反证法与放缩法 专题： 证明题；反证法分析： 直接利用命题的否定写出假设即可解答： 解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：a点评： 本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查5已知实数x，y满足axay（0a1），则下列关系式恒成立的是（） a x3y3 b sinxsiny c ln（x2+1）ln（y2+1） d 考点： 指数函数的图像与性质 专题： 函数的性质及应用分析： 本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键解答： 解：实数x，y满足axay（0a1），xy，a当xy时，x3y3，恒成立，b当x=，y=时，满足xy，但sinxsiny不成立c若ln（x2+1）ln（y2+1），则等价为x2y2成立，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立d若，则等价为x2+1y2+1，即x2y2，当x=1，y=1时，满足xy，但x2y2不成立故选：a点评： 本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键6已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a0，a1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（） a a1，c1 b a1，0c1 c 0a1，c1 d 0a1，0c1考点： 对数函数图象与性质的综合应用 专题： 函数的性质及应用分析： 根据对数函数的图象和性质即可得到结论解答： 解：函数单调递减，0a1，当x=1时loga（x+c）=loga（1+c）0，即1+c1，即c0，当x=0时loga（x+c）=logac0，即c1，即0c1，故选：d点评： 本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础7已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） a 2 b c 0 d 考点： 数量积表示两个向量的夹角 专题： 平面向量及应用分析： 由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值解答： 解：由题意可得cos=，解得 m=，故选：b点评： 本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题8为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据（单位：kpa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（） a 6 b 8 c 12 d 18考点： 频率分布直方图 专题： 概率与统计分析： 由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；解答： 解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人故选：c点评： 本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题9对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（） a f（x）= b f（x）=x2 c f（x）=tanx d f（x）=cos（x+1）考点： 抽象函数及其应用 专题： 函数的性质及应用分析： 由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可解答： 解：对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准偶函数，函数的对称轴是x=a，a0，选项a函数没有对称轴；选项b、函数的对称轴是x=0，选项c，函数没有对称轴函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项d正确故选：d点评： 本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查10已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a0，b0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（） a 5 b 4 c d 2考点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用分析： 由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b2=0a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案解答： 解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：a（2，1）化目标函数为直线方程得：（b0）由图可知，当直线过a点时，直线在y轴上的截距最小，z最小2a+b=2即2a+b2=0则a2+b2的最小值为故选：b点评： 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题二填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上11执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可解答： 解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x24x+3=00，满足判断框条件，x=2，n=1，x24x+3=10，满足判断框条件，x=3，n=2，x24x+3=00满足判断框条件，x=4，n=3，x24x+3=30，不满足判断框条件，输出n：3故答案为：3点评： 本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力12函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期解答： 解：函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为 =，故答案为：点评： 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题13一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积 专题： 空间位置关系与距离；立体几何分析： 判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积解答： 解：一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则，h=1，棱锥的斜高为：=2，该六棱锥的侧面积为：=12故答案为：12点评： 本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题一、选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分（坐标系与参数方程选做题）14在平面直角坐标系中，曲线c：（t为参数）的普通方程为xy1=0考点： 直线的参数方程 专题： 选作题；坐标系和参数方程分析： 利用两式相减，消去t，从而得到曲线c的普通方程解答： 解：曲线c：（t为参数），两式相减可得xy1=0故答案为：xy1=0点评： 本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化一、几何证明选讲选做题15（2015深圳校级模拟）（几何证明选讲选做题）如图，ab是圆o的直径，bc是圆o的切线，切点为b，oc平行于弦ad，若ob=3，oc=5，则cd=4考点： 与圆有关的比例线段 专题： 立体几何分析： 利用圆的切线的性质和勾股定理可得bc，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得cd=cb即可得出解答： 解：ab是圆o的直径，bc是圆o的切线，obbc在rtobc中，=4adoc，a=boc，ado=coda=ado，boc=doc又ob=od，oc为公共边bocdoccd=cb=4点评： 本题考查了圆的切线的性质和勾股定理、平行线的性质和全等三角形的性质，属于基础题三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）（2014山东）海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区 a b c数量 50 150 100（）求这6件样品来自a，b，c各地区商品的数量；（）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率考点： 古典概型及其概率计算公式 专题： 概率与统计分析： （）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自a，b，c各地区商品的数量；（）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案解答： 解：（）a，b，c三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k=，故a地区抽取的商品的数量为：50=1；b地区抽取的商品的数量为：150=3；c地区抽取的商品的数量为：100=2；（）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件a，则这2件商品可能都来自b地区或c地区，则a中包含=4种不同的基本事件，故p（a）=，即这2件商品来自相同地区的概率为点评： 本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题17（13分）（2014山东）abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知a=3，cosa=，b=a+（）求b的值；（）求abc的面积考点： 正弦定理 专题： 解三角形分析： （）利用cosa求得sina，进而利用a和b的关系求得sinb，最后利用正弦定理求得b的值（）利用sinb，求得cosb的值，进而根两角和公式求得sinc的值，最后利用三角形面积公式求得答案解答： 解：（）cosa=，sina=，b=a+sinb=sin（a+）=cosa=，由正弦定理知=，b=sinb=3（）sinb=，b=a+cosb=，sinc=sin（ab）=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=（）+=，s=absinc=33=点评： 本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用18（13分）（2014山东）如图，四棱锥pabcd中，ap平面pcd，adbc，ab=bc=ad，e，f分别为线段ad，pc的中点（）求证：ap平面bef；（）求证：be平面pac考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题： 空间位置关系与距离；立体几何分析： （）证明四边形abce是平行四边形，可得o是ac的中点，利用f为线段pc的中点，可得paof，从而可证ap平面bef；（）证明beap、beac，即可证明be平面pac解答： 证明：（）连接ce，则adbc，bc=ad，e为线段ad的中点，四边形abce是平行四边形，bcde是平行四边形，设acbe=o，连接of，则o是ac的中点，f为线段pc的中点，paof，pa平面bef，of平面bef，ap平面bef；（）bcde是平行四边形，becd，ap平面pcd，cd平面pcd，apcd，beap，ab=bc，四边形abce是平行四边形，四边形abce是菱形，beac，apac=a，be平面pac点评： 本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键19（13分）（2014山东）在等差数列an中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设bn=a，记tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn，求tn考点： 数列的求和；等差数列的性质 专题： 等差数列与等比数列分析： （）由于a2是a1与a4的等比中项，可得，再利用等差数列的通项公式即可得出（）利用（）可得bn=a=n（n+1），因此tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn=1（1+1）+2（2+1）+（1）nn（n+1）对n分奇偶讨论即可得出解答： 解：（）a2是a1与a4的等比中项，在等差数列an中，公差d=2，即，化为，解得a1=2an=a1+（n1）d=2+（n1）2=2n（）bn=a=n（n+1），tn=b1+b2b3+b4+（1）nbn=1（1+1）+2（2+1）+（1）nn（n+1）当n=2k（kn*）时，b2kb2k1=2k（2k+1）（2k1）（2k1+1）=4ktn=（b2b1）+（b4b3）+（b2kb2k1）=4（1+2+k）=4=2k（k+1）=当n=2k1（kn*）时，tn=（b2b1）+（b4b3）+（b2k2b2k3）b2k1=n（n+1）=故tn=点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题20（13分）（2014山东）设函数f（x）=alnx+，其中a为常数（）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 专题： 导数的综合应用分析： （）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为yf（1）=f（1）（x1），代入计算即可（）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a0，a0，a三种情况分别讨论即可解答： 解：，（）当a=0时，f（1）=，f（1）=0曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=（x1）（）（1）当a0时，由x0知f（x）0，即f（x）在（0，+）上单调递增；（2）当a0时，令f（x）0，则0，整理得，ax2+（2a+2）x+a0，令f（x）0，则0，整理得，ax2+（2a+2）x+a0以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a0.，对称轴方程当a时，0，g（x）0恒成立（x0）当a0时，此时，对称轴方程0，g（x）=0的两根均大于零，计算得当x时，g（x）0；当0x或x时，g（x）0综合（1）（2）可知，当a时，f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，f（x）在（，）上单调递增，在（0，），（，+）上单调递减；当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增点评： 导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的