考研数学 线性代数 内部讲义 金典.pdf

You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 第一章第一章 行列式行列式 一 内容提要一 内容提要 1 排列的逆序数 排列 n ppp 21 的逆序数 n i in ttttt 1 21 其中 i t为元素 i p的逆序数 逆序数为奇数的排列为奇排列 逆序数为偶数的排列为偶排列 2 对换 一次对换改变排列的奇偶性 3 n阶行列式的定义 1 二阶行列式 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 2 三阶行列式 312213322311332112312312322113332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa 3 n阶行列式 nppp t ppp nppp t nnnn n n ij n n n aaaaaa aaa aaa aaa a 2121 21 22221 11211 21 21 21 1 1 det 其中t为排列 n ppp 21 的逆序数 4 行列式的性质 性质 1 行列式与其转置行列式相等 性质 2 交换行列式的任意两行 或列 行列式改变符号 特别地 如果行列式有两 行 或列 对应元素相等或成比例 则行列式为零 性质 3 如果行列式的某一行 或列 有公因子 则该公因子可提到行列式记号外面来 性质 4 如果行列式的某一行 或列 为两组数之和 则该行列式可以分解为两个行列 式之和 注意改变的仅仅是该行 或列 其他行 或列 不变 性质 5 把行列式的某一行 或列 乘以一个常数加到另一行 或列 上去 行列式的 值不变 5 行列式按行 或列 展开定理 niAaAaAaa njinjijiij 2 1 det 2211 或 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina njAaAaAaa njnjjjjjij 2 1 det 2211 jiAaAaAa jiAaAaAa njnijiji jninjiji 0 0 2211 2211 其中 ij ji ij MA 1 为元素 ij a的代数余子式 ij M为元素 ij a的余子式 6 特殊行列式的值 1 对角行列式 n nn n n n 21 2 1 2 1 21 2 1 1 2 三角行列式 nn nn n n aaa a aa aaa 2211 222 11211 nn nnnn aaa aaa aa a 2211 21 2221 11 11 21 2 1 1 1 221 11 111 1 1 21 2 1 1 nnn nn n n nn nnnnn nn n aaa a aa aaa aaa aa a 3 nnn n mmm m nnn n mmm m bb bb aa aa bb bb aa aa 1 111 1 111 1 111 1 111 0 4 范德蒙行列式 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n xxxx xxxx xxxx You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina nij ji nnnn xx xxxxxxxxxxxx 1 122311312 二 典型例题精解二 典型例题精解 例例 1 1 求排列42 22 2 12 13 nnn的逆序数 思路分析思路分析 元素比较多 找出元素逆序数的规律元素比较多 找出元素逆序数的规律 解解 元素nn2 12 3 1 的逆序数为 0 元素22 n的逆序数为2 元素42 n的逆序数为4 元素 22 22 nn的逆序数为22 n 所求排列的逆序数 1 22 420 nnnt 例例 1 2 求多项式 xx x xx x xf 431 321 12 311 中 4 x的系数 解解 方法一 思路分析思路分析 按行列式的定义计算按行列式的定义计算 由行列式的定义 行列式的每一项是不同行与不同列的乘积 得 4 1234 44 1 xxxxxxf 所以 4 x的系数为 4 方法二 思路分析思路分析 按行列式展开定理计算按行列式展开定理计算 将行列式按第一行展开 得 31 21 2 41 321 1 43 31 12 431 32 12 x x xx xx xx xx x x x x x xxf 43 4 4 431 32 12 xxx x x x x 所以 4 x的系数为 4 注意 解答此类问题一般不要把行列式完全计算出来注意 解答此类问题一般不要把行列式完全计算出来 例 1 3 计算四阶行列式 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 1111 1111 1111 1111 x x x x D 解解 方法一 思路分析思路分析 将行列式化成三角行列式将行列式化成三角行列式 x x x x x xx xx xx x D rrxr xr xr rr rr rr 110 1010 1100 1111 1001 1010 1100 1111 00 00 00 1111 33 144 3 2 14 13 12 x x x x x x rrrr 1100 1100 1010 1111 110 1100 1010 1111 33 2432 43 000 1100 1010 1111 34 x x x x rr 注意 对于低阶行列式 都可直接化成三角行列式 但这样计算一般都比较麻烦 只有对某些特殊的行列式直接化成三角行列式才有效 注意 对于低阶行列式 都可直接化成三角行列式 但这样计算一般都比较麻烦 只有对某些特殊的行列式直接化成三角行列式才有效 方法二 思路分析思路分析 行列式的每列元素之和等于行列式的每列元素之和等于x 1111 1111 1111 1111 111 111 111 111 141 31 21 x x x x x xx xx xx D xccc cc cc 4 2 14 4 1 1 0001 001 001 001 14 13 12 xxxxx x x x x cc cc cc 方法三 思路分析 利用行列式按行 或列 展开定理降阶进行计算思路分析 利用行列式按行 或列 展开定理降阶进行计算 1111 1111 1111 1111 111 111 111 111 141 31 21 x x x x x xx xx xx D xccc cc cc You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina x xx xx xc x xx xx x x rr rr rr 00 0 0 000 00 00 1111 1 14 13 12 展开按 42 1 0 x x xx xc 展开按 注意 降阶法是计算行列式的有效方法之一 注意 降阶法是计算行列式的有效方法之一 例例 1 4 计算n阶行列式 abbb babb bbab bbba Dn 思路分析思路分析 将行列式化成三角行列式将行列式化成三角行列式 方法一 行列式的每行元素之和为bna 1 则 abbbna babbna bbabna bbbbna D nj cc n j 1 1 1 1 3 2 1 1 3 2 1 000 000 000 1 1 n ni rr babna ba ba ba bbbbna i 方法二 将行列式化成箭式行列式 baab baab baab bbba D ni rr n i 00 00 00 3 2 1 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 1 3 2 1 000 000 000 1 1 n nj cc babna ba ba ba bbbbna j 注意注意 形如 nn n n ac ac ac bbba D 00 00 00 33 22 321 称为箭式行列式 它总可以通过变换 3 2 1 njc a c c j j j 化成上三角行列式 n n i i ii n n n nn n aaa a cb a a a a bbb a cb a cb a cb a D 32 2 1 3 2 32 3 33 2 22 1 例例 1 5 计算n阶行列式 0 1111 1111 1111 1111 213 2 1 n n n aaa a a a a D 解解 方法一 思路分析思路分析 将行列式化成三角行列式将行列式化成三角行列式 将行列式的第i行提取因子 2 1 niai 得 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina nnnn nn aaaa aaaa aaaa aaaa aaaD 1 1 111 11 1 11 111 1 1 1111 1 3333 2222 1111 21 把行列式的第i ni 3 2 行加到第一行 并从第一行提取公因子 得 nnnn n i i nn aaaa aaaa aaaa a aaaD 1 1 111 11 1 11 111 1 1 1111 1 1 3333 2222 1 21 把行列式的第 njj 3 2 减去第一列 得 n i i n n n i i nn a aaa a a a a aaaD 1 21 3 2 1 21 1 1 100 1 010 1 001 1 0001 1 1 方法二 思路分析思路分析 将行列式化成箭式行列式将行列式化成箭式行列式 把行列式的第i ni 3 2 行减去第一行 得 n n aa aa aa a D 00 00 00 1111 1 31 21 1 将第 3 2 njj 列乘以 3 2 1 nj a a j 加到第一列 得 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina n i n i n n n n n aaa a aaa a a a a a a a a a a a a a a a a a D 1 2132 1 3 1 2 1 1 3 2 1 3 1 2 1 1 1 1 1 0 00 1111 方法三 思路分析思路分析 用加边法将行列式化成箭式行列式用加边法将行列式化成箭式行列式 1 11 2 3 1 22 11111111 0111100 0111100 0111100 ir r in n nn aa Daa aa 12 1 1 2 111 1111 1 000 000 2 3 1 000 n j n aaa c a a a jn a 12 12 111 1 n n a aa aaa 方法四 思路分析思路分析 用分项法建立递推公式 再解之 用分项法建立递推公式 再解之 21221121 212211211121 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 111 111 111 1000 100 100 100 111 0111 0111 0111 1111 1111 1111 1111 nnnnnn nnnnnnnn n n n n nn n Daaaaaaaaa DaaaaaaaaDaaaa a a a a a a a a a a a a a a D You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 即 21 1 21 11 nnn nn nn Daa aa aaaD 递推 得 1 111 1 111 111 111 11 21 121 21 21 121 21 21 321 21 21 aaa aaa aaaa aaa aaa Daaa aaa aaa Daaa aaa aaaD nn n nn nn n nn nn n nnnn nnn nn 例例 1 6 计算三对角行列式 ba abba ba abba abba Dn 1000 000 0010 001 000 ba 思路分析思路分析 行列式的元素排列很有规律 可用递推法求解行列式的元素排列很有规律 可用递推法求解 解解 把行列式按第一行展开 得 21 nnn abDDbaD 整理得 12 2 32 2 211 aDDb aDDbaDDbaDD n nnnnnn 即 n nn baDD 1 行列式关于ba 对称 则 n nn abDD 1 由上两式解得 ba ba D nn n 11 例例 1 7 计算四阶行列式 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina cbadbadcadcb dcba dcba dcba D 2222 3333 4 思路分析思路分析 利用范德蒙行列式求解利用范德蒙行列式求解 1111 1 1111 3333 2222 123 2222 3333 4 2222 3333 4 34 cdbdbcadacabdcba dcba dcba dcba dcba dcba dcba dcba dcbadcbar dcbadcbadcbadcba dcba dcba dcba D rr 例例 1 8 解方程 0 321 321 941 321 11111 1111 22 nnnn nnnn xn xn xn xn xf 解 方法一 思路分析思路分析 xf为范德蒙行列式 可先计算为范德蒙行列式 可先计算 xf 1 1 2 1 2 2 23 1 1 13 12 n i inxxx nxxnxnxf 所以方程的解为niix 2 1 方法二 思路分析思路分析 利用行列式的性质利用行列式的性质 由行列式的性质知 当niix 2 1 时 行列式的值为零 由行列式的定义 xf 是x的n次多项式 在实数范围最多有n个根 所以方程的解为niix 2 1 You Stupid Cunt cunnilingus penis vagina 注意注意 求解含有行列式的方程 一般是利用上面两种方法 即 1 利用行列式的性质直接解方程 2 求出行列式 再解方程 例例 1 9