高二数学春季班教学讲义 教师第十讲.pdf

田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 1 页 高二数学春季班教学讲义高二数学春季班教学讲义第十讲第十讲 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 一 知识梳理 知识点一 导数和函数单调性的关系 1 若f x 0 在 a b 上恒成立 则f x 在 a b 上是 增 函数 f x 0 的解集与定义域的 交集的对应区间为 增 区间 2 若f x 0 在 a b 上恒成立 则f x 在 a b 上是 减 函数 f x 0 右侧 f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 f x 0 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程 f x 0 的根 检查f x 在方程 f x 0 的根左右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处 取得 极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 极小值 二 基础自测 1 已知f x 的定义域为 R R f x 的导函数f x 的图象如图所示 则 C A f x 在x 1 处取得极小值B f x 在x 1 处取得极大值 C f x 是 R R 上的增函数D f x 是 1 上的减函数 1 上的增函数 2 2009 广东 函数f x x 3 e x的单调递增区间是 D A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 3 2011 济宁模拟 已知函数y f x 其导函数y f x 的图象如图所示 则y f x C A 在 0 上为减函数 B 在x 0 处取极小值 C 在 4 上为减函数 D 在x 2 处取极大值 4 设p f x x 3 2x2 mx 1 在 内单调递增 q m 4 3 则 p是q的 C A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 2011 福州模拟 已知函数f x x 3 ax2 bx a2在 x 1 处取极值 10 则f 2 解 f x 3x 2 2ax b 由题意 f1 10 f 1 0 即 1 a b a 2 10 3 2a b 0 得a 4 b 11 或a 3 b 3 但当a 3 时 f x 3x 2 6x 3 0 故不存在极值 a 4 b 11 f 2 18 6 函数f x xlnx在 0 5 上的单调递增区间是 解 f x lnx 1 f x 0 lnx 1 0 lnx 1 x 1 e 递增区间为 1 5 e 三 典例讲解 知识点一 函数的单调性 例 1 已知a R R 函数f x x 2 ax ex x R R e 为自然对数的底数 1 当a 2 时 求函数f x 的单调递增区间 2 若函数f x 在 1 1 上单调递增 求a的取值范围 3 函数f x 能否为 R R 上的单调函数 若能 求出a的取值范围 若不能 请说明理由 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 2 页 解 1 当a 2 时 f x x 2 2x ex f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x 2 2 ex 0 e x 0 x2 2 0 解得 2 x0 x2 a 2 x a 0 对 x 1 1 都成立 即x 2 a 2 x a 0 对 x 1 1 恒成立 设h x x 2 a 2 x a 只须满足 h 1 0 h 1 0 解得a 3 2 3 若函数f x 在 R R 上单调递减 则f x 0 对x R R 都成立 即 x 2 a 2 x a ex 0 对 x R R 都成立 e x 0 x2 a 2 x a 0 对 x R R 都成立 a 2 2 4a 0 即 a 2 4 0 这是不可能的 故函数f x 不可能在 R R 上单调递减 若函数f x 在 R R 上单调递增 则f x 0 对x R R 都成立 即 x 2 a 2 x a ex 0 对 x R R 都成立 e x 0 x2 a 2 x a 0 对 x R R 都成立 而x 2 a 2 x a 0 不可能恒成立 故函数f x 不可能在 R R 上单调递增 综上可知函数f x 不可能是 R R 上的单调函数 练习 已知函数f x e x ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 是否存在a 使f x 在 2 3 上为减函数 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 解f x e x a 1 若a 0 则f x e x a 0 即 f x 在 R R 上递增 若a 0 e x a 0 ex a x ln a 因此f x 的递增区间是 lna 2 由f x e x a 0 在 2 3 上恒成立 a ex在 x 2 3 上恒成立 又 2 x 3 e 2 ex e3 只需 a e 3 当a e 3时 f x e x e3在 x 2 3 上 f x 0 即f x 在 2 3 上为减函数 a e 3 故存在实数a e 3 使 f x 在 2 3 上单调递减 知识点二 函数的极值 例 2 若函数f x ax 3 bx 4 当 x 2 时 函数f x 有极值 4 3 1 求函数f x 的解析式 2 若关于x的方程f x k有三个零点 求实数k的取值范围 解 1 由题意可知f x 3ax 2 b 于 2 120 4 2 8a 2b 4 3 fab f 是 解得 a 1 3 b 4 故所求的函数解析式为f x 1 3x 3 4x 4 2 由 1 可知f x x 2 4 x 2 x 2 令f x 0 得x 2 或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表所示 x 2 2 2 2 2 2 f x 0 0 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 3 页 f x 单调递增 极大 值 单调递减 极小 值 单调递增 因此 当x 2 时 f x 有极大值28 3 当x 2 时 f x 有极小值 4 3 所以函数的大致图象如图 故实数k的取值范围为 4 3 28 3 练习 设x 1 与x 2 是函数f x alnx bx 2 x 的两个极值点 1 试确定常数a和b的值 2 试判断x 1 x 2 是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 解 1 f x a x 2bx 1 1 210 2 4b 10 2 fab a f 解得a 2 3 b 1 6 2 f x 2 3x x 3 1 1 2 3 xx x 函数定义域为 0 列表 x 0 1 1 1 2 2 2 f x 0 0 f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减 x 1 是f x 的极小值点 x 2 是f x 的极大值点 知识点三求闭区间上函数的最值 例 3 2011 六安模拟 已知函数f x x 3 ax2 bx c 曲线 y f x 在点x 1 处的切线为l 3x y 1 0 若x 2 3时 y f x 有极值 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解 1 由f x x 3 ax2 bx c 得 f x 3x 2 2ax b 当x 1 时 切线l的斜率为 3 可得 2a b 0 当x 2 3时 y f x 有极值 则 f 2 3 0 可得 4a 3b 4 0 由 解得a 2 b 4 又切点的横坐标为x 1 f 1 4 1 a b c 4 c 5 2 由 1 得f x x 3 2x2 4x 5 f x 3x2 4x 4 令f x 0 得x 2 或x 2 3 f x 0 的解集为 2 2 3 即为f x 的减区间 3 2 2 1 3 是函数的增区间 又f 3 8 f 2 13 f 2 3 95 27 f 1 4 y f x 在 3 1 上的最大值为 13 最小值为95 27 练习 已知函数f x ax 3 x2 bx 其中常数 a b R R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值和最小值 解 1 由题意得f x 3ax 2 2x b 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 4 页 因此g x f x f x ax 3 3a 1 x2 b 2 x b 因为函数g x 是奇函数 所以g x g x 即对任意实数x 有a x 3 3a 1 x 2 b 2 x b ax3 3a 1 x2 b 2 x b 从而 3a 1 0 b 0 解得a 1 3 b 0 因此 f x 的表达式为f x 1 3x 3 x2 2 由 1 知g x 1 3x 3 2x 所以 g x x 2 2 令 g x 0 解得x1 2 x2 2 则当x 2时 g x 0 从而g x 在区间 2 2 上是减函数 当 2 x0 从而g x 在区间 2 2 上是增函数 由前面讨论知 g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值只能在x 1 2 2 时取得 而g 1 5 3 g 2 4 2 3 g 2 4 3 因此 g x 在区间 1 2 上的最大值为g 2 4 2 3 最小值为g 2 4 3 题型四 综合运用 例 4 2009 辽宁 已知函数f x 1 2x 2 ax a 1 ln x a 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 证明 若a 5 则对任意x1 x2 0 x1 x2 有 12 12 1 f xf x xx 解 1 f x 的定义域为 0 f x x a a 1 x x 2 ax a 1 x 1 1 xxa x 若a 1 1 即a 2 时 f x 2 1 x x 故f x 在 0 上单调递增 若a 11 故 1 a 2 时 则当x a 1 1 时 f x 0 故f x 在 a 1 1 上单调递减 在 0 a 1 1 上单调递增 若a 1 1 即a 2 时 同理可得f x 在 1 a 1 上单调递减 在 0 1 a 1 上单调递增 6 分 2 证明考虑函数g x f x x 1 2x 2 ax a 1 ln x x 则g x x a 1 a 1 x 2x a 1 x a 1 1 a 1 1 2 由于 1 a0 即g x 在 0 上单调递增 从而当x1 x2 0 时 有g x1 g x2 0 即f x1 f x2 x1 x2 0 故 12 12 1 f xf x xx 当 0 x1 1 综上 若a0 因此 h x 在 0 1 上是增函数 故 h x h 0 0 所以 f x 1 x x 0 1 要证 x 0 1 时 1 x e 2x 1 1 x 只需证明 e x x 1 记 K x e x x 1 则 K x ex 1 当 x 0 1 时 K x 0 因此 K x 在 0 1 上是增函数 故 K x K 0 0 所以 f x 1 1 x x 0 1 综上 1 x f x 1 1 x 练习 设函数x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 1 求正实数a的取值范围 2 设1 0 ab 求证 ln 1 b ba b ba ba 解 1 0 1 2 ax ax xf对 1 x恒成立 x a 1 对 1 x恒成立又1 1 x 1 a为所求 2 取 b ba x 1 0 1 b ba ba 一方面 由 1 知x ax x xfln 1 在 1 上是增函数 0 1 f b ba f 0ln 1 b ba b ba a b ba 即 bab ba 1 ln 另一方面 设函数 1 ln xxxxG 1 0 11 1 x x x x xG xG在 1 上是增函数且在 0 xx 处连续 又01 1 G 当1 x时 0 1 GxG xxln 即 b ba b ba ln 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 6 页 综上所述 ln 1 b ba b ba ba 四 课后练习 一 选择题 1 2011 大连模拟 设f x g x 是 R R 上的可导函数 f x g x 分别为f x g x 的导函数 且f x g x f x g x 0 则当a xf b g x B f x g a f a g x C f x g x f b g b D f x g x f a g a 2 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象 如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 3 2011 嘉兴模拟 若函数y a x 3 x 在区间 33 33 上为减函数 则a的取值范围是 A a 0B 1 a1D 0 a3 2 C m 3 2 D m 3B a 1 3 D a0 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 7 页 参考答案 1 C2 A3 A4 A5 B 6 3 解 f x x 2 a x 1 x 2 a x 1 x 2 a x 1 x 1 2 x 2 2x a x 1 2 又 x 1 为函数的极值 f 1 0 1 2 1 a 0 即a 3 7 解 观察函数f x 的导函数f x 的图象 由单调性 极值与导数值的关系直接判断 8 3 6 解 f x 3x 2 2mx m 6 0 有两个不等实根 则 4m2 12 m 6 0 m 6 或 m0 得x 2 或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 2 由f x 0 得 0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x