高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点课件2 新人教A版必修1.ppt

1 函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴的交点和相应方程ax2 bx c 0 a 0 的根的关系 2 1 0 2 1 2 函数的零点 1 定义 对于函数y f x 我们把使 成立的实数x叫做函数y f x 的零点 2 几何意义 函数y f x 的图象与 的交点的 就是函数y f x 的零点 3 结论 方程f x 0有 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 知识点拨 并非所有的函数都有零点 例如 函数f x x2 1 由于方程x2 1 0无实数根 故该函数无零点 f x 0 x轴 横坐标 实数根 交点 零点 3 函数零点的判定定理 知识点拨 判断函数y f x 是否存在零点的方法 1 方程法 判断方程f x 0是否有实数解 2 图象法 判断函数y f x 的图象与x轴是否有交点 3 定理法 利用零点的判定定理来判断 连续不断 答案 b 解析 f x 2x m的零点为4 所以 2 4 m 0 m 8 答案 b 解析 函数f x x2 2x a没有零点 即方程x2 2x a 0没有实数根 所以 4 4a 0 得a 1 答案 3 解析 令2x 6 0 解得x 3 答案 1 解析 由f a f b 0知f x 0在 a b 上至少有一个实数根 又f x 在 a b 上为单调函数 从而可知必有唯一实数根 命题方向一求函数的零点 规律总结 1 正确理解函数的零点 1 函数的零点是一个实数 当自变量取该值时 其函数值等于零 2 根据函数零点定义可知 函数f x 的零点就是f x 0的根 因此判断一个函数是否有零点 有几个零点 就是判断方程f x 0是否有实根 有几个实根 即函数y f x 的零点 方程f x 0的实根 函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 2 函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 与函数y f x 的图象联系起来 图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 命题方向二判断函数零点所在的区间 规律总结 判断函数零点所在区间的方法 一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值 进行符号判断即可得出结论 此类问题的难点往往是函数值符号的判断 可运用函数的有关性质进行判断 命题方向三函数零点个数的判断 规律总结 判断函数零点个数的主要方法 1 利用方程根 转化为解方程 有几个根就有几个零点 2 画出函数y f x 的图象 判定它与x轴的交点个数 从而判定零点的个数 3 结合单调性 利用f a f b 0 可判定y f x 在 a b 上零点的个数 4 转化成两个函数图象的交点问题 命题方向四函数零点的应用 当f 0 0时 m 0 方程化为x2 x 0 根为x1 0 x2 1 满足题意 当f 1 0时 m 2 方程可化为x2 3x 4 0 根为x1 1 x2 4 满足题意 综上所述 实数m的取值范围为 2 0 规律总结 1 解决一元二次方程根的分布问题 要利用数形结合 结合判别式 对称轴 区间端点的函数值的正负等情况进行求解 2 二次函数零点的分布问题二次函数零点的分布即一元二次方程根的分布 一般为下面两个方面的问题 1 一个区间内只有一个根 2 一个区间内有两个根 由于我们在初中学过方程根的情况 有时可以根据判别式及根与系数的关系判断 但在多数情况下 还要结合图象 从对称轴 判别式 区间端点的函数值等方面去探究 具体解法如下表 设二次函数y ax2 bx c a 0 对应的方程的根为x1 x2 错解 错解一 由题意 得f 1 2 0 f 4 2 0 因此函数f x x2 5x 6在 1 4 上没有零点 即零点个数是0 错解二 f 1 2 0 f 2 5 0 250 f 2 5 0 25 0 函数在 2 5 4 内有一个零点 函数在 1 4 上有两个零点 错因分析 对于错解一 是错误地类比零点存在定理 f a f b 0时 a b 中的零点情况是不确定的 而错解二出现了逻辑错误 当f a f b 0时 a b 中存在零点 但个数不确定 思路分析 要想准确地判断函数零点的个数 要么把它们全部求出来 要么利用函数图象来判断 这才是正确的方法 正解 由题意 得x2 5x 6 0 x 2 x 3 函数的零点是2 3 函数在 1 4 上的零点的个数是2 答案 d 解析 从图中观察知 只有d中函数图象与x轴没有交点 故选d 规律总结 根据函数零点的概念 函数有零点 即函数的图象与x轴有交点 函数图