计算物理讲义第一章 绪论.doc

第一章 绪论1.1什么是计算物理 计算物理学是物理学中实验物理学、理论物理学两大分支之外的第三大分支。它是以现代计算机为工具、应用适当的数学方法，对物理问题进行数值计算及分析，对物理过程进行数值模拟计算的一门新的物理学科分支学科，是物理学、数学与计算机科学三者相结合的交叉、综合学科。 计算物理学是随着计算机技术的飞跃进步而不断发展的一门学科，在借助各种数值计算方法的基础上，结合了实验物理和理论物理学的成果，开拓了人类认识自然界的新方法。 计算物理学作为物理学的一个独立分支，不仅与传统的 实验物理学及理论物理学一起成为现代物理学的鼎立三足，而且深入现代的实验物理学及理论物理学之中，发挥着从未有过的独特作用。理论物理没有计算无力支撑，研究难以深入；而实验物理不用计算物理的方法对实验结果进行处理，也很难甚至无法从复杂的测量结果中提取有用的物理信息，计算物理学已经成为现代物理学的基石。 当代物理学工作者，无论是从事理论物理研究还是从事实验物理研究，都必须掌握计算物理的概念和方法，具备计算物理应用能力。同样，计算物理学工作者不仅需要坚实的物理基础、熟谙实验物理学方法，更重要的是需要掌握现代计算方法和应用现代计算机，解决科学前沿领域和重大工程技术中中传统理论方法及目前技术无能为力的问题。1.2计算物理的起源，形成和发展1.2.1传统物理学的发展和面临的主要困难 传统的物理学有实验物理学和理论物理学两大分支，长期以来，这两大物理学分支相辅相成的推动着物理学科的发展。在十九世纪中叶以前，物理学基本上属于属于实验科学，大部分的物理规律都是基于实验归纳得出的，所以，实验物理常给人们形成是物理学基础的印象。然而到了1886年，麦克斯韦（Maxswell）总结归纳出电磁场麦克斯韦方程组，进而语言电磁波的存在，诗人们看到了物理理论思维和演绎归纳方法巨大威力，有别于实验物理相对独立，从而开始形成物理学的另外一个分支理论物理学。到了20世纪初，随着量子力学和相对论的诞生，使物理学进入一个全新的时代，理论物理学发展成为一支成熟的分支学科，从此传统物理学形成了理论物理与实验物理两大分支。 我们知道，理论物理是从一些里基本物理原理出发，对研究问题作出适当的近似，给出合理的物理模型，列出数学方程，然后用传统的解析方法求出解析解，进而通过这些解析解得到的结论与实验结果的比较分析，解释已知的物理实验现象，揭示物理机制并预测未来的发展。 实验物理则是以实验和观测为手段来发现全新的物理现象，为理论物理提供进一步深入研究，总结发现物理规律的实验依据，检验理论物理推论的正确程度以及应用范围。 理论与实验（实践）相互结合，相互促进，不仅使物理学科本身发展到一个从未有过的新阶段，而且引发了20世纪科学技术的重大革命，取得了一系列重要成果，改变着人类社会的进程。 然而，在漫长的物理学发展过程中，随着研究体系的复杂性大大增加，理论物理与实验物理遇到了很多难以克服的困难。客观实际的需要，迫使物理学寻找新的研究方法和研究手段。而20世纪重大科技发明成果中，电子计算机的发明使人类社会生活发生深刻的变化，它的应用深入到人类生活的各个方面，也为物理学的研究提供了有效的手段。面临新的挑战和机遇，物理学必然与电子计算机相结合，形成研究法复杂体系新的、重要的途径，促进了计算物理学的产生与发展。 研究体系的复杂性，就理论物理范畴而言,表现在以下方面的变化和发展：（1）由单体问题转变到多体问题；（2）由线性系统发展到非线性系统；（3）由低维体系到多维体系；（4）由标量系统扩展到矢量系统；（5）由常微分方程转变到偏微分方程；（6）由低级微扰转变到高级微扰；（7）由理想简化模型转变为高级微扰模型；（8）由单一物理学科发展到综合学科（与化学、数学、工程等相结合）研究。 体系的复杂性在实验物理学重则主要体现在两个方面： （1）研究对象和范围的拓广：从宏观到微观，从低速到高速，从稳态到暂态，从常温和极温（低温、高温），从常压到极压（低压、高压）等； （2）研究的极限精度更高，设备更复杂等等。 研究体系的复杂性，涉及到十分复杂的非线性方程组，需要在短时间内进行大量的、复杂的数值计算，使传统的解析方法不敷应用甚至无能为力，通常的实验手段和试验设备也勉为其难，而借助于计算机进行研究往往是唯一可能的方法。复杂性是科学进展的必然结果，计算物理的产生和发展也就成了必然趋势。1.2.2计算物理学的诞生和发展 计算物理学作为一门新兴的学科，诞生与上世纪40年代，形成于60年代，发展壮大于当代。计算物理的诞生与最初的发展，不论是国外发达国家，还是我国，都经历了相同的历程：首先是由于客观实际需要，特别是和科学技术的发展核武器研制的需要，迫使科技工作者开辟计算物理学的方法，以现代计算机为工具，对复杂物理过程首先进行数值计算和模拟研究，然后进行实验取得成功，计算物理起到了理论和实验不可代替的作用。因此，可以说，计算物理学是在核科学与技术的发展过程中催生，并迅速扩展到其他相关学科，成为物理，数学与计算机相结合的一门独立学科。 在20世纪40年代，美国为了在战争中取得决胜权，首先在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）国家实验室着手研究原子弹，在研究过程中，遇到了太阳与恒星演化研究同样的问题：面对流体动力学，核反应、中子输运、物质变化交织在一起的复杂的非线性方程问题，必须进行大量的数值计算，传统的解析方法已经无能为力。另外，核反应或者说核爆炸是在极高温度和极高气压下进行，产生的巨大能量又在极短时间（微妙量级）释放出来，进行核试验不仅有极大的危险而且并非能在短时间内观测核反应内部细致的过程，而多次核试验又有着及其现实因素的制约。因此，首先应用计算机进行足够的有价值的模拟结果后在进行核试验，这就成为了科学家们必须采取的技术路线和方案。 在这样的形势下，1944年洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）国家实验室应用哈佛大学研制的第一台“自动序列程控计算”（Mark1）进行了原子弹核爆炸模拟连锁反应级联过程与中子输运过程模拟。虽然计算速度缓慢，但这是一个本质上突破性的进展。这是计算物理最早的实践。 在军事上军事弹道学弹道轨迹计算的迫切要求下，于1946年2月，美国宾夕法尼亚大学（University of Pensylvania）研制成功第一台电子数学计算机ENIAC（Electronic Numerical Integrator and Computer）用于弹道轨迹问题的计算。美国天才科学家von Neumann提出了程序储存的概念，现代计算机由此诞生。现代计算机的出现，为计算物理奠定了基础，也标志着计算物理诞生。从此物理和工程问题的科学计算与计算机相结合，开始了迅猛的发展。 也有另外一种看法，认为计算物理的正式起点是美国籍意大利科学家费米及其同事Los Alamos 研究报告LA-1940的面世。 费米（Fermi 19011954）：美籍意大利物理学家，对统计物理、原子物理、原子核物理、粒子物理、中子物理都有重要贡献。由于中子核反应的发现，1938年获得诺贝尔物理学奖。费米是20世纪上半叶国际上最有才华的科学家之一，在第二次世界大战期间，他领导建设了第一个实现原子核链锁裂变的反应堆。战后费米对计算机发生兴趣，经常去访问Los Alamos ，这个地方一直拥有世界上最强大的计算能力。他和乌勒姆(S. Ulerm)，巴斯塔(J. Pasta)等人讨论计算机的未来应用。他首先想到的是研究非线性系统长时间行为和大尺度性质（这是用解析方法无法处理的问题），并于1952年夏天设计了一个计算机实验，一年后，在当时用来进行氢弹设计的MANIAC计算机上实现。 1954年11月，费米逝世，他的合作者继续工作，于1955年5月写出Los Alamos 研究报告LA-1940。这篇秘密报告历经多年、解密后被正式收入费米全集。这篇具有重大意义的报告，被许多人认为是计算物理的正式起点，因为它提出了许多问题，带来了当时谁也未曾想到的重大发展。从此，物理问题的计算与计算机相互促进，开始蓬勃发展。1950年，全世界还只有15台计算机，到1962年9月，仅美国就有了16817台。现在的计算机不计其数. 科学家们从原子弹研制使用计算机求解复杂问题取得的成功受到启发，迅速将这种方法扩展到其他各个领域如：基本粒子物理，天体物理，大气物理，核物理，原子分子物理，固体物理，等离子体物理，统计物理等各个领域，而且进一步扩展到气象，海洋，地震，化工，生物等各个科技领域。1963年，美国的Beini，Alder等人开始编辑出版计算物理方法丛书，内容涉及统计物理、量子力学、流体力学、核物理、天体物理、固体物理、等离子体物理、地球物理和大气环流等。 1966年，Journal of Computational Physics在美国创刊；1969年，Computer Physics Communication在西欧创刊。 1977年，美国和西欧的学者开始编辑出版计算物理施普林格系列丛书，到1988年已出17本； 1965年，Harlow和Fromm在Scientific American杂志发表“流体力学的计算机实验”一文。几乎同时，Macagno在法国La Haulille Blanche杂志上发表“水力学模拟的某些新方面”的论文。第一次提出了计算机实验和数值模拟的概念。 与此同时，为计算物理服务的许多程序库和数据库也相继建立。这些工作迅速地推进了计算物理的普及和发展。 这些新概念的提出、新物理现象的发现，说明计算物理的目的不仅是计算出结果，还在于理解、预言和发现新的物理现象，寻求物理规律。在这一点上，它与传统的实验物理和理论物理没有什么不同，差别只在于工具和方法。 我国计算物理的发展经历了和国外相似的道路，也形成于我国研制第一颗原子弹时期。在上世纪50年代西北大漠深处，我国一批杰出的物理学家和数学家在大漠深处同样应用初期的计算机对核反应进程进行模拟计算和大量科学计算，保证了我国第一颗原子弹终于在1964年10月研制成功。当时采用的手摇式计算机，程序数据穿孔机和第一代电子管计算机还都陈列在我国有关科研部门的展览厅里，他们曾经为我国核武器研制和发展立下了不可磨灭的功勋，也见证了计算物理在我国和物理研制发展过程中的不朽功勋。我国著名物理科学家，两弹元勋邓稼先和著名数学家秦元勋就是我国计算物理学的奠基人和开拓者。 1982年8月成立中国计算物理学会，已建立了7个专业委员会和6个地方分会。1984年，中国计算物理杂志创刊。1989年，开始出版计算物理丛书。1991年，开始出版科学与工程计算丛书1.2.3计算物理的进一步发展从计算物理到科学计算、战略计算（一）科学计算（美国科学计算计划） 1983年，在美国国防部、能源部、国家科学基金会和国家航天局主持下，以美国著名数学家拉克斯为首的不同学科的专家委员会向美国政府提出报告，强调“科学计算是关系到国家安全、经济发展和科技进步的关键性环节，是事关国家命脉的大事”。 1984年，美国政府大幅度增加对科学计算经费的支持，国家科学基金会成立了“先进科学计算办公室”，制订全面高级科学计算发展规划，新建成五个国家级高级计算中心。 1987年起，国家科学基金会把“科学与工程计算”、“生物工程”、“全局性的科学”作为三大优先重点支持领域。 1990年，美国国家研究委员会发表“振兴美国数学：90年代的计划”的报告，建议对由计算引发的数学给予特殊的鼓励和资助。报告指出，大存储量、高速计算机的使用已导致了科学与技术方面的两大突出进展 1.大量用于设计工作的实验被数学模型逐步取代，如航天飞机设计、反应堆设计、人工心瓣膜设计等 2.能获取和存储空前大量的数据，并能提取出隐含的信息，如计算机层析X射线摄影，核磁共振等。 1991年，以美国总统的名义提出“高性能计算与通信计划”。投资重点(43%)是发展先进的软件技术与并行算法，关键技术是可扩展的大规模并行计算。 1993年美国总统发布“发展信息高速公路”的总统令 1994年美国总统发布“建立国家（地球）空间数据基础设施”的总统令。所有这些计划，都是为大规模科学计算创造条件，促使科学计算高速发展。1995年，美国为了确保核库存的性能、安全性、可靠性和更新需要，开始实施“加速战略计算创新计划”，通过逼真的建模和模拟计算来取代传统的反复试验的工程处理方法，这主要依赖于先进的数值计算和模拟能力，应用程序必须达到高分辨、三维、全物理和全系统的水平。为确保战略计算目标的实现，采取五项策略措施1.在三个防务计划实验室基础上成立“战略计划和模拟办公室”，由国家统一指挥。2.致力于开发高级应用软件3.致力于发展高性能计算机4.建立解决问题的环境5.促进战略联合与协作（二）战略计算（美国战略计算计划） 美国为实施“战略计算创新计划” 实施日程表： 1995年8月22日能源部采购一台世界上最快的计算机（运算速度超过万亿次）交付Sendia实验室1995年10月20日，建成三个防务实验室之间第一个高速数据网络。 1996年2月20日，能源部公开招标，采购两台运算速度达3万亿次的计算机交给Los Alamos和Livermore，并竞争下一代系统：10万亿次。结果，2004年实现了100万亿次计算机。 1997年，总统提出1.216亿美元预算实施战略计算。 1997年8月，战略计算创新计划的学术战略合作计划（ASAP），通过招标和签订合同方式，建立五家合作中心：斯坦福大学的湍流综合模拟中心，加州理工学院的模拟材料动态特性的计算中心，芝加哥大学的天体物理、热核反应瞬间闪光研究中心，犹他大学的意外火灾与爆炸模拟中心和伊利诺斯州州立大学的助推火箭模拟中心。 1998年美国副总统戈尔在加利福尼亚科学中心发表了题为“数字地球21世纪认识地球的方式”的演讲，指出，“在发明计算机之前，用实验和理论的方法来研究都很受限制。许多实验科学家想研究的现象都很难观察到，它们不是太小就是太大，不是太快就是太慢，有的一秒钟之内就发生了十亿次，而有的十亿多年才发生一次。另一方面纯理论又不能预报复杂的自然现象所产生的结果，如雷雨或飞机上空的气流”。“有了高速计算机这个新工具，我们就可能模拟以前不可能观察到的现象，同时能更准确地理解观察到的数据。这样，计算科学使我们能超越实验与理论科学的局限，建模与模拟给了我们一个深入理解正在收集的有关地球的各种数据的新天地”。 1999年初，美国总统信息技术顾问委员会提出一项题为“21世纪的信息技术：对美国未来的大胆投资”的报告。重点投资的三个领域是 (1)长期信息技术研究； (2)用于科学、工程和国家的高级计算； (3)信息革命的经济和社会意义研究该报告设想，通过努力在超级计算机、数学模拟、网络等方面取得突破性进展，从而开创一个迈向自然世界的窗口，使得计算作为科学发现的一种工具，与实验和理论有同等的价值。 由此可见“计算”的重要性以及美国对计算的重视程度。我们也应该注意到，这些富有挑战、功能强大的“计算工作”是在计算物理的基础上逐步发展、演变而来的。1.3计算物理的研究对象，研究范围和研究方法 美国学者A.J.Freeman曾说：计算物理学始复杂物理体系的数值研究。简要的提出了关于计算物理的研究对象复杂物理体系和研究方法数值研究这两个最基本的问题。我国数学家秦元勋说：计算物理是利用现代大型快速计算机对物理过程的进行数值模拟的科学。而欧洲物理学会计算物理学会分会主席D.Biskamp则认为计算物理包含了物理学中应用计算机的一切方面。 从本质上来说,计算物理是对复杂体系的物理规律、物理性质进行研究（特别是数值研究）的一个重要手段。计算物理的研究课题无论是属于理论的范畴还是实验结果的分析处理范畴，都使原来的理论物理和实验物理研究状况有很大的改善。 1.3.1计算物理的研究范围 计算物理研究内容涉及面很广，它广泛渗透到物理学的各个领域，原则上，计算物理的研究范围包括以下一些方面：（1）复杂体系的数值计算与模拟（2）复杂物理体系的解析计算与分析（3）物理实验数据的采集，分析与处理；（4）物理实验过程与实验系统的模拟与控制（5）物理图像的获得、识别与处理 以上各项，前两项属于理论物理范畴，物理体系的解析计算与分析是近年来的发展成果；后面三项则属于计算实验物理范畴，特别是实验数据的处理已经成为近代物理实验必不可少的组成部分。1.3.2计算物理的研究内容和方法 一般来说，计算物理学主要由物理建模（modeling）、模拟（simulation）和计算（computation）三大部分组成。 这里建模“modeling”偏重于物理、数学模型的建立，这是计算物理的基础。通常称作计算及模拟的“simulation”是指对物理过程的描述、对物理现象的表达和对物理规律的探索。而表述为计算的“computation”就是应用计算机的数值研究，包括数值计算和数值分析，即对理论问题的数值研究和对实验数据的数值分析。计算机模拟与数值计算构成了计算物理学两大基本核心内容。 其研究方法主要包括以下四个方面（1）确定物理模型 计算物理的出发点应该是被研究的物理对象。研究的第一步是要对物理问题进行分析，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，建立起相应的物理模型。（2）选取数学方法在物理模型建立之后，就要选取合适的数学方法，并使之在计算机上实现。对于特定的数学问题，可以采用数值或者非数值计算来求解。由于现代程序存储式通用数字计算机的单指令型或者数据流程型的内在特点，决定它只能实现离散型的代数运算和逻辑操作，而实际的，复杂的物理模型性往往是以复杂的、连续的代数方程、微分或者积分方程形式。表面上，计算机所能提供的执行能力与我们所求解的问题差距是相当大的。 解决这一问题的就是算法。所谓算法，可以认为是在解决具体问题时，计算机所能执行的步骤。算法将一个复杂的问题化为简单的问题，将简单的化为基本的，基本的在化为计算机能执行的运算。算法的好坏直接影响到能否计算出结果、计算结果精度的高低或者计算量的大小的关键。（3）分析计算结果对计算得到的数据结果进行分析综合与研究，以求得到有价值的物理信息。同事，必须考虑到数值计算所产生的误差（模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差），以及计算的收敛性和稳定性问题。（4）得出物理结论在整理大量计算数据的基础上，最终还是要得到相关的物理结论，这些物理结论最好是以某种解析形式的近似解来表达，这样才有利于这样才有利于直接反应物理规律和揭示物理机制，进而可能给出理论预言。1.3.3计算物理的操作流程 在实际操作，求解或者模拟一个确定物理问题时，计算物理与工程计算有关的科学一样，遵循一条普遍共同的规律，其求解过程有四个环节冯康物理机理：如各种物理量的守恒规律、运动规律等，也包括具体的条件，如参数、几何形状和其它原始资料。 数学提法：通常表示为连续形式的微分(积分)方程和相应的定解条件。 离散模型：通常表示为离散形式的代数方程，如差分方程。 算法程序：即离散方程求解的算术步骤。1.物理问题阶段 由于人们对自然规律认识的局限性，加上外界条件的多变性，物理学家在形成物理模型时，只能抓住其主要矛盾和矛值的主要方面，必然要进行各种近似。计算物理工作者应对所建立或所采用的物理模型做到心中有数，至少对数量变化范围有粗估结果。 2.数学模型阶段 根据物理机理或者规律，给出物理问题的数学表示形式，实际的发杂的物理模型往往是以复杂的、连续的代数方程或者积分方程等形式表示。在很多时候，不但没有解析解，甚至连数值解也无法计算，此时，则要根据物理和数学条件对方程简化。有时宁可保留守恒型的微分（积分）方程，不必进一步简化，以利于离散化后能保持守恒的性质。为了便于探索各种物理机理，边界条件应尽可能考虑到各种可能性，不致于发生为计算不同的模型而经常修改程序大型程序修改非常复杂3.离散模型阶段（求解方法） 要注意根据不同的实际问题选择不同的计算方法。总的原则是：较弱的稳定性限制、较高的精度、便于编写程序、较高的计算效率，不要片面追求逼近阶太高，以致逻辑复杂。但是，如果逻辑太简单，可能稳定性要求太严，以致机器计算机时间太多。计算格式的选取应以物理机理为背景，以能否正确反映微分方程所描述的物理现象为依据。 4.算法程序阶段 实际包括逻辑设计和程序编制两大部分，是一件十分细致和繁琐的工作。应考虑到程序的易读性和通用性，采用“结构化”的方法编制程序，以利于大型程序的编写和未来发展。科学计算程序大多采用FORTRAN语言编制。(5)上机计算阶段 实际上应包括程序调试和正式计算两步。程序调试过程中要和已有的数据进行对比。 (6)结果分析阶段 首先要对计算结果的合理性和可信性作出判断；其次要对结果作出物理解释，需要旁敲侧击，斟酌再三。 综上所述，计算物理研究的全过程，应该包括提出和分析问题、建立物理模型和数学模型、选择计算方法、误差估计、收敛性和稳定性论证、编写和调试程序、上机计算、计算出结果，对结果进行评价等一系列环节。最后强调，由于实际问题的复杂性，计算物理的全过程是一个循环往复、渐趋正确的过程。计算物理工作者既要有严谨、清晰的分析方法，又要有耐心细致的工作作风。1.4计算物理的特点1.4.1计算物理的研究内容 凡是局部瞬时的物理规律已知或被假设，要想求得大范围长时间的物理现象的发展过程，便属于计算物理学的范围。从局部关系到大范围依赖于计算机的大容量，由瞬时规律发展为长时间的过程依赖于计算机的高速度。1.4.2计算物理相对于理论物理的优越性 理论物理中利用数学方程组求解物理问题时，通常将问题大加简化，这些简化包括：（1）复杂问题只考虑少数主要因素：质点，黑体近似等（2）动态过程只考虑最后达到的静态状况：热平衡等（3）将非线性因素硬作线性化处理（4）将变系数硬作常系数处理（5）将复杂的边界简化为规则的边界等等 将问题简化到能够求出显式解析解，需要对事物的本质有很深的理解和相当高超的推导技巧。简化过程中也可能抛弃一些本质特征。 计算物理利用计算机能恢复对客观事物本质的描述和模拟：如可以多考虑一些因素，可以模拟动态过程，可以保持非线性特性，可以保留变系数特点，可以考虑较复杂的边界条件等。 这些优点使计算物理即可对物理过程进行仿真，发现物理现象，提供新的信息，又可对物理问题进行数值分析，为理论物理提供反映物理规律的数据。计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理，同时又是用计算机武装起来的理论物理。1.4.3计算物理相对于实验物理的优越性第一，计算机实验比物理实验省钱省时 例如大型风洞，设备投资巨大，建设周期长，使用时耗电多，所以目前在飞机、导弹等设计方面大都先采用计算选型，然后再选几个模型进行吹风试验，最后定型，这比早先单纯靠风洞吹风的办法要经济、有效得多。再如加速器实验，每小时耗电3万元。新元素的合成，几个月发生一个事件。 第二，计算机实验比物理实验有更大的自由度和灵活性，也很安全，它不存在物理实验中的测量误差和系统误差，没有测试探头的干扰问题，还可以较自由地选取参数。 如地下核试验问题，由于不确定性因素太多，有些测量的误差是很难进行分析的。如电子双缝衍射实验，看到电子的运动轨迹，就无衍射条纹 第三，在物理实验很困难甚至不能进行的场合，仍可进行计算机实验如测量中子星的密度，测量星体内部的温度分布、天体演化，理想情况实验等。1.4.4计算物理的局限性： 第一，计算物理主要用来求解物理理论的数学方程，得出实际问题所需要的数值结果，对物理定律的建立和物理理论的构成可起到帮助探索的作用。但归根结底仍取决于研究人员的实际知识水平和抽象思维的概括能力。数学方程要靠理论物理提供，计算结果的正确与否，既要由实践来检验，也要用理论物理的定律来作分析判断。 第二，计算物理的数值方法虽然比理论物理和解析方法适应性强，应用面广，更能满足实际需要，但计算所用到的基本方程在各种具体问题中都有不同程度的简化和近似。 第三，计算数学的现有理论，如微分方程数值解的收敛性、稳定性理论，还远不能满足各种复杂实际问题的需要，在求解实际问题时往往缺乏严格的稳定性分析、误差估计和收敛性证明，甚至连解的存在和唯一性问题都可能没有严格的论证。因此，数值模拟可能成功也可能失败，即使成功了，得到了较为合理的结果，仍必须由实验来验证。1.4.5计算物理方法区别于计算数学方法的特点： 1）计算物理从物理问题出发，以物理结论为结果，以与实验数据的对比为其结束；而计算数学则是从数学方程出发，以求得方程的近似解告终。 计算物理工作者选用计算方法时要考虑算法和结果的物理意义；而计算数学工作者最感兴趣的是算法的逼近阶，计算精度和稳定性等问题。 例如：在常微分方程数值解法中，欧拉折线法是原始的低阶方法，龙格库塔法则是高阶（四阶）的精确方法。从计算数学的角度看，后者好；但从计算物理的角度看，实际问题中的未知函数并不总存在高阶导数，利用高阶方法计算往往得不出正确结果，更不用说精确了。而欧拉法却有明显的物理意义，便于分析和寻求规律性，因此常常宁可用低阶的欧拉法，或者在低阶方法取得一定的规律性后再用高阶方法作对比计算或大规模计算。2）计算物理的任务是寻求物理规律，解决物理问题，可以不拘泥于数学方法。 物理问题归结为微分方程时，实际上是由原始的差分关系取极限得来的，原始差分关系中的每一项都有物理意义。从计算物理角度看，未必一定要把它变成微分方程，再人为地离散化为差分方程，它可以直接由原始差分关系编程上机计算。再比如，有些物理问题用蒙特卡罗方法求解的话，那更是直接对物理问题进行模拟。4）计算物理方法受物理问题本身的启示，常可利用对物理现象的直观概念，创造新的计算方法。如流体动力学的“人为粘性法”就是一个典型例子。5）在分析整理大量计算数据的基础上，计算物理工作者还常常关心构造近似解析解，以利于科学家和工程师应用，并且这也是寻求和反映物理规律的一种方法。1.5计算物理的误差分析1.5.1计算物理中误差的主要来源计算物理，往往给人们以不严格、不精确或不完美的误解。但无论是实验物理还是理论物理近似都非常普遍，误差也是不可避免的，根本不存在绝对的严格和精确。计算物理中的误差来自四个方面:模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差。（a）模型误差。将实际问题归结为数学问题时，总要忽略一些主观上认为是次要的因素，附加若干限制。例如点粒子近似。人们对客观事物的认识是逐步深入的，这样建立的“理想化”的数学模型，虽然具有“精确”而“完美”的外表，实质却只是客观现象的近似而粗糙的描述，这种近似描述就隐含着误差，这就是模型误差。如自由落体运动忽略了空气的阻力。（b）观测误差。在数学模型中，往往包含有若干参变量，如物体密度，物态方程与本构方程参数，热量交换系数等等。这些参量一般是通过实验观测确定的，因而不可避免会存在观测误差。如自由落体运动中的时间和重力加速度就是观测值。观测值的精度依赖于仪器和人的操作。（c）方法误差。在实际解题过程中，数学模型常常比较复杂，不能获得精确解。另外，有些运算只能用极限过程来定义，而计算机却只能进行有限次运算，这就造成计算结果与方程的实际解有差别。需要建立一套有效的计算方法（即数值方法）。模型的准确解和数值方法的准确解之差称为方法误差，或叫截断误差。例如：指数函数ex可展开成下列幂级数形式但在实际计算时，不可能计算无穷多项，只能截取有限项：用Sn(x)作为ex的近似值，其截断误差为（d）舍入误差。实际计算受计算机字长限制，只能按有限个有效数字进行(计算机中的实数都是近似的)，每步计算都可能有舍入，这种误差称为舍入误差。少量运算的舍入误差微不足道，但一般计算物理所要求解的问题都要进行千千万万次运算，舍入误差的积累可能是惊人的。如(1.0/3.0)*3.011.4减小运算误差的若干原则计算物理中出现的误差，有时会严重“泛滥”，完全“淹没”所要求的真值，所以对任何一项计算，都必须考虑精度，选取或设计好的计算方法。但并不是精度越高越好，精度高意味着运算时间长。对于具体的问题，运算次数数以千万。尽管每一步计算都可能发生误差，但要对每一步所产生的误差都去分析是不可能做到的，因此人们针对一些普遍性问题提出若干注意事项，以提高计算的可靠性。1.5.2减小误差的若干原则（a）两个相近的近似数相减时，有效数字会严重损失，实际计算时要尽量避免。例如，当x充分大时，计算下面表达式的值。