强化班讲义线性代数部分同步练习解答(2014版).pdf

1 超越考研超越考研强化班讲义线性代数部分同步练习解答强化班讲义线性代数部分同步练习解答 第一章第一章 P175 练习 1 设n阶矩阵 123 1200 1030 100 n A n 则 A 分析 特点 箭型或爪型 化三角形 解 1 1232000 12001200 2 2 10301030 100100 i nn Arr inn n nn 2 1999 2123 22212223 0 33324535 4435743 xxxx xxxx f x xxxx xxxx 的根的个数是 分析 关键是要知道 f x是关于x的几次多项式 通过行或列消x 再用拉普拉斯公式 解 1 21232101 2221222322101 2 3 4 3332453533122 44357434373 j xxxxx xxxxx f xcci xxxxxx xxxxxx 42 2100 22100 5 1 33121 4376 x x ccx x xx xx 则根的个数是 2 2 3 2012 I 100 010 001 001 a a A a a 求A 分析 特点 各行均只有两个元素不为零 可以考虑直接展开 沿边展开 解 按照第一列展开 4 100 1000 010 101101 001 00101 001 a aa a Aaaaa a a a 4 已知0 11 11 11 a a a 求 分析 此种行列式在求特征值时常用 关键是要通过行或列的变化从某行或者某列 提取 的一次公因子 使该行或者该列只剩常数不含 达到边分解边展开的目的 解 12 11110 1111 1111 aaa arra aa 110100 1 11 1 111 1112 aaa a a a 22 1 2 1 2 aaaaa 第二章第二章 P181 练习 1 3 0100 0010 0001 0000 AA 3 解 2 010001000010 001000100001 000100010000 000000000000 A 3 001001000001 000100100000 000000010000 000000000000 A 2 12 T T n a aaA 则 2 A 解 222 11 nn TTTTT ii ii AaaA 其中 2 1 n T i i atr A 3 已知 APPB 其中 100100 000 210 001211 BP 则 5 A 解 1 APPBAPBP 1 5 5515 5 100100100 210000210 211211 001 APB P 5 5 5 100100100100 210000210200 211411611 001 P182 练习 2006 I 设矩阵 21 12 AE 为 2 阶单位矩阵 且2BABE 则 B 解 2 2 244 BABEB AEEB AEEB AE 因为 11 2 1 1 AE 所以2 B 4 P183 练习 1999 IV 已知 120 210 002 ABBA B 则 A 解 020 200 001 ABBAA BEB BE 可逆 所以 1 1 11 0010 22 120020120 11 2102002100010 22 002001002 001002 AB BE P187 练习 1997 III 设A为n阶非奇异矩阵 为n维列向量 b为常数 记分块矩阵 0 TT EA PQ AAb 其中 A为A的伴随矩阵 E为n阶单位矩阵 I 计算并化简PQ II 证明Q可逆的充要条件是 1T Ab 解 I 0 TTTTT EAA PQ AAA AAA bAb 1 0 T A A bA 注注 A AA E II 注意到直接求Q是困难的 但是由 I 2 1 1 0 T T A P QPQAbA A bA 因为 PA EA 所以 1T QA bA 则 Q可逆 11 00 TT QbAAb P191 练习 2012 I II III 设A为3阶矩阵 P为3阶可逆矩阵 且 1 100 010 002 P AP 若 1231223 PQ 则 1 Q AQ 5 A 100 020 001 B 100 010 002 C 200 010 002 D 200 020 001 解 12 cc PQ 所以 100 110 001 PQ 11 11 100100100100100100 110110110010110010 001001001002001002 Q AQP AP P193 练习 1 2001 III 111 111 3 111 111 k k Ar Ak k k 解 3 111 111 33103 111 111 k k Ar AAkkk k k 或者1k 当1k 时 1r A 不合题意 故3k 2 3 01 01 01 0 Ar A 解 33 0001 000 1 00 0 Ar A 3 设A为n阶方阵 且满足AA 2 证明 nEArAr 证明 已知 2 AA 即 A AEO 则 R AR AEn 又 R AR AER AR EAR AEAn 所以 R AR AEn 6 P195 练习 2008 I II III 设A为n阶方阵 且 3 AO 则 A A不可逆 且EA 不可逆 B A可逆 但EA 不可逆 C 2 AAE 及 2 AAE 均可逆 D A不可逆 且必有 2 AO 解 3 3 0AOAA 不可逆 排除 B 3322 AOAEEAEAAEEAE AAE 均可逆 3322 AOAEEAEAAEEAE AAE 均可逆 排除 A 取 23 010 01 0 AAO AO 排除 D 正确答案为 C 第三章第三章 P203 练习 设A为n阶方阵 x为n维非零列向量 证明 若 1 0 n Ax 则0 n A x 证明 设若0 n A x 1 0 n Ax 则1n 个n维向量则 2 n x Ax A xA x线性无关 事实上 设 2 012 0 n n k xk Axk A xk A x 上式两边左乘 n A知 0 0k 从而一定有 2 12 0 n n k Axk A xk A x 再左乘 1n A 知 1 0k 依此类推可知 01 0 n kkk 从而 2 n x Ax A xA x线性无关 这与1n 个n维向量一定线性相关矛盾 所以若 1 0 n Ax 则0 n A x 注 由此可知 若A为n阶方阵 则齐次线性方程组 1 0 n Ax 与0 n A x 同解 从而 1 nn r Ar A P205 练习 设 3 2 矩阵 12 12 AB 其中 12 12 是 3 维列向量 若 12 线性 无关 则 12 线性无关的充要条件是 答案 C A 12 能由 12 线性表示 B 12 能由 12 线性表示 C 矩阵A与B等价 D 向量组 12 与 12 等价 7 解 A 12 能由 12 线性表示 12 12 2 2 rr 得到 12 线性无关 但 若 12 线性无关 12 线性无关 12 能由 12 线性表示 例如12 10 0 1 00 与 12 10 0 0 01 均无关 但是 2 不能由 12 线性表示 B 12 能由 12 线性表示 12 线性无关 例如取1 12 反之若 12 线性无关 12 线性无关也 12 能由 12 线性表示 例如 12 10 0 1 00 与 12 10 0 0 01 C 矩阵A与B等价 A B 同型且 2r Ar B 12 线性无关 12 线性无关 选 C 由 A B 的分析知 D 不正确 第四章第四章 P209 练习 设 123 是0Ax 的基础解系 则该方程的基础解系还可以表示成 A 123 的一个等价向量组 B 123 的一个等秩向量组 C 123312 D 123312 解 要证明是基础解系需证明三点 是0 xA nm 的解 线性无关 Arns 或者任何一个解均可以由 12 s 线性表示 基础解系不唯一 本题中0Ax 的任意三个线性无关的解均可以作为基础解系 A 123 的一个等价向量组未必为三个向量 B 123 的一个等秩向量组未必是0 xA nm 的解 也未必是三个向量 C显然满足上述三条 可以作为基础解系 D是线性相关的向量组 不能作为基础解系 8 P211 练习 1 设n阶方阵A的各行元素之和均为零 且1 nAr 求0Ax 的通解 提示 答案 1 1 1 1 Tk 解 由题意 0Ax 的基础解系中含 1nr A 个向量 由于 10 10 10 A 从而可以取 1 1 1 作为基础解系 则0Ax 的通解为 1 1 1 1 Tk 其中k为任意常数 2 设 121 n 为n阶方阵A的列向量组的极大无关组 A 为A的伴随矩阵 则线性方程组 0A x的通解为 解 由题意 11r Anr A 0A x的基础解系含有1n 个向量 由 A AA EO 取出A中的任意1n 列线性无关的向量即可作为 0A x的基础解系 故通解为 121 121 n ni cccc x 任意 P213 练 习 2000 III 设 1 2 10 Ta 2 2 1 5 T 3 1 1 4 T 1 Tb c 试问当a b c满足什么条件时 1 可由 321 线性表示 且表示唯一 2 不能由 321 线性表示 3 可由 321 线性表示 但表示不唯一并求出一般表达式 解 设 112233 xxx 注意到 123 21 211 1054 a A 为方阵 且 21 2114 1054 a Aa 1 04Aa 时有唯一解 从而表示唯一 9 4a 时 123 42112111 21100121 105400013 r Abb ccb 2 4 130acb 时 2 3r Ar A 不能由 321 线性表示 3 4 130acb 时 2r Ar A 可由 321 线性表示 123 112233 3 21 21 xxx xxx xb 令 1 xk 得 123 21 21 kkbbk 任意 P214 练习 2013 I II III 设 1 10 a A 01 1 B b 当 a b为何值时 存在矩阵C使得 ACCAB 并求所有矩阵C 解 设 12 34 xx C xx 则 121324 3412 1 10 xxxaxxaxa AC xxxx 12121 34343 1 10 xxxxaxa CA xxxxax 由 23124 13423 01 1 xaxaxxax ACCA xxxxaxb 得线性方程组 23 124 134 23 0 1 1 xax axxax xxx xaxb 又 010010111 1010101 1011100001 01000001 a aaaa a abba 行 要存在矩阵C使得ACCAB 则有 10 10 a ba 解得 1 0 a b 进而 010010111 10101100 1011100000 01000000 a aa ab 行 得线性方程组 134 23 1 0 xxx xx 令 31 42 xk xk 则 112 21 1 xkk xk 所以 121 12 1 kkk C kk 其中 12 k k为任意常数 10 P218 练习 1 2014 设 1234 0111 1203 A E为3阶单位矩阵 求方程组0Ax 的一个基础解系 求满足ABE 的所有矩阵B 解 1001 0102 0013 A 行 所以0Ax 的一个基础解系为 1 2 3 1 12341001001261 0111010 0102131 12030010013141 A E 行 1 0 0 Ax 的通解为 1 12 21 31 10 k 0 1 0 Ax 的通解为 2 16 23 34 10 k 0 0 1 Ax 的通解为 3 11 21 31 10 k 故满足ABE 的所有矩阵B为 123 123 123 123 261 123212 1 3431 3 kkk kkk B kkk kkk 其中 123 k k k为任意实数 2 设方程组 I 123 123 123 230 2350 0 xxx xxx xxax 和 II 123 2 123 0 2 1 0 xbxcx xb xcx 满足 I 的解都是 II 的解 但 II 的解并不完全是 I 的解 求常数求a b c的值 解 222 123100 235210 11112 1121 21241 c A aa B bcbcb bcbcb 11 由2 2 A r Arr B B 知2a 或者2 0 1abc 3 设方程组 I 1 111 2211 2 112 2222 1122 nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxa xb 有解 证明 方程组 II 1112121 1212222 1122 0 0 0 mm mm nnmnm a ya ya y a ya yay a ya yay 的任意一个解 12 T m y yy 必满足方程 III 1 122 0 mm b yb yb y 解 已知 Axb 0 T A y 要证 0 T b y 方法一 Axb 取转置再右乘y即可 TTTTTT Axbx Abx A yb y 因为00 TT A yb y 方法二 即证明 II 与 II III 同解 即证 T T T A r Ar b 由题意Axb 有解 T T T T A r Ar Abr Ar Abr b 第五章第五章 P226 练习 1 2012 I II III 设 为三维单位向量 E为三阶单位矩阵 则矩阵 T E 的 秩为 解 记 T A 显 然 2 1 T rAAA AA 可 得A的 特 征 值 为1 0 0 记 T BEEA T BB B的特征值为0 1 1 可知 T BEEA 的秩为2 2 设A是 3 阶矩阵 特征值是1 2 3 A与B相似 则以下矩阵中为可逆矩阵的是 A BE B 2BE C 3BE D 2BE 解 由题意B的特征值为1 2 3 则BE 的特征值为0 1 4 0BE 2BE 的特征值为3 4 1 20BE 3BE 的特征值为4 5 0 30BE 2BE 的特征值为1 0 5 20BE 可逆阵为2BE 故选 B 12 P228 练习 2000 IV 设 111 4 335 Aab 已知A有三个线性无关的特征向量 2 是A的二重特 征值 试求可逆阵P 使得APP 1 为对角阵 解 A有三个线性无关的特征向量表明A可以对角化 则 212 2r AEab 所以A的特征值 123 2 6 解 20AE x 得特征向量 12 11 1 0 01 解 60AE x 得特征向量 3 1 2 3 取 123 111 102 013 P 有 1 2 2 6 PAP 注 P不唯一 P231 练习 2010 II III 设 01 4 13 40 Aa a 正交矩阵Q使得 T Q AQ为对角阵 若Q的第一列为 1 1 1 2 1 6 T 求 a Q 解 显然Q的第一列为A的特征向量 令 1 1 2 1 由 1111 1014121 213252 1401241 AAaa aa 知 1 2 1a 01414 131 1312540 41041 AEA 123 2 5 4 分别解 50 40 EA xEA x 得特征向量 23 11 1 0 11 再单位化得 13 111 632 21 0 63 111 632 Q 2 5 4 T Q AQ P231 练习 2014 证明n阶矩阵 1 11 1 11 1 11 与 001 002 00n 相似 证明 设 1 11 1 11 1 11 A 则A为对称阵 所以A可对角化 同时A的特征值为 0 0n 设 001 002 00 B n 则B的特征值为 0 0n 又因为 0 1r BEr B 所以对应1n 重 特征值0有1n 个线性无关的特征向量 从而B可对角化 故 A B均可对角化 且特征值均为 0 0n 所以 A B相似 第六章第六章 P237 练习 1 222 1231 2231 3 222fxxxx xx xx x 经正交变换xPy 化成 22 23 2fyy 其中 123 T xxxx 和 123 Tyyyy 是 维列向量 P是 阶正交阵 试求常数 解 二次型矩阵 11 1 11 AA 的特征值为0 1 2 由00AAE 14 2 2012 I II III 已知 101 011 10 01 A a a 二次型 123 TT f x x xxA A x 的秩为2 求实数a的值 求正交变换xQy 将f化为标准形 解法一 由 2 T r A Ar A 得1a 从而 101 011 101 011 A 202 022 224 T A A 2 6 T EA A T A A有三个特征值0 2 6 分别解三个线性齐次方程组 0 T A Ax 2 0 T EA A x 6 0 T EA A x 求得特征向量后 再单位化得正交阵Q 263 263 263 263 63 0 33 Q 对角阵 200 060 000 正交变换xQy f的标准型为 22 12 26yy 解法二 若不知 T r A Ar A 也可做但很繁 2 2 201 011 113 T a A Aaa aaa 22 1 3 T A Aaa 3 2013 I II III 设二次型为 22 1231 1223 31 1223 3 2 f x x xa xa xa xbxb xb x 记 11 22 33 ab ab ab 证明二次型f对应的矩阵为2 TT A 若 正交且均为单位 向量 证明f在正交变换下的标准型为 22 12 2yy 15 证明 22 1231 122331 12233 2 f x x xa xa xa xbxb xb x 22 2 2 TTTTTTTT x