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2015 年考研数学第 42 48讲 数一 多元积分 第第 42 讲讲 向量代数撑 空解 向量代数撑 空解 平解 依靠平面直角坐标系 重在 轨迹 与方程 空解 依靠空间直角坐标系 通常将 x 轴正向指向我们 y 轴正向指向右 z 轴正向 指向上 空解 的第一工具是 向量代数 其主要内容是 三维空间的 自由向量集与 该集合上的线性运算 加法和数乘 向量的数量积和向量积 向量的投影 1 向量代数 向量代数 自由向量可以在空间中任意平行移动 而保持大小及方向不变 自由向量的两要素自由向量的两要素 模长和指向模长和指向 规定零向量的模长为零 方向不定 向量的两要素表示法向量的两要素表示法 若把向量a的模长记为 a 与 a 同方向的单位向量 记为 0 a 则 向量 a 有两要素表示法两要素表示法 0 aaa 自由向量自由向量a的坐标的坐标 分别选与三坐标轴同方向的单位向量 i j k 或记为 1 e 2 e 3 e 为基向 量组 这是三维向量空间的一个规范正交最大无关组 任意一个自由自由向量a 不妨认为其 起点是原点 总可以唯一地被基向量组线性表示 即 kajaiaa 321 就称有序 实 系数组 321 aaa 为 向量a的坐标 潜台词 对比一下 向量组的 最大无关组 本质上就是一组 斜 坐标基 向量向量 21M M的坐标为 121212 zzyyxx 潜台词 终点坐标 起点坐标 方向余弦方向余弦 单位向量 0 a的三个坐标 恰好是该方向分别与三坐标轴夹角的余弦 从而向量的两要素表示法又可以记为 cos cos cos aa cos cos cos 称为向量 a 的方向余弦 向量的数量积向量的数量积 向量 321 aaaa 和 321 bbbb 的数量积 又 称为点积 是两个向量按照规则对应于一个确定的数 即 332211 cos babababababa 向量数量积的物理模型向量数量积的物理模型 常力 F使物体有位移矢量L 所做的功 等于向量 F 与L 的数量积 向量的向量积向量的向量积 向量 321 aaaa 和 321 bbbb 向量积是一个向 量 它的模长 0 绕z 轴旋转产生园锥面 22 yxkz 它是球坐标系的 又一坐标曲面簇 数k 是园锥面的半顶角的余切 锥面 22 yxkz 向上无限伸展 显然 锥面上各点处的外法向与 z 轴成钝角 内法 向与z 轴成锐角 其中 外法向为 2222 yx ky yx kx 1 例例 22 已知点A 1 0 0 与点 B 0 1 1 把线段 AB绕 z 轴旋转一周所成的旋转面记为 S 求S 和平面 z 0 z 1 所围成的立体体积 分析分析 立体的任意一个水平剖面为一个园盘 x2 y2 R2 z 0 z 1 其中 半径R z 就是直线段AB 上点 M x y z 和 点 园心 0 0 z 之间的距离 因而 关键的工作是求出 直线段直线段 ABAB 的以的以 z z 为参数的参数方程为参数的参数方程 实际上 向量AM与AB线性相关 x 1 y z t 1 1 1 线段AB 有参数方程 x 1 t y t z t 即 x 1 z y z z z 10 由微元分析法知 zdzRdV 2 从而 1 0 2 zdzRV 3 2 V 例例 23 求曲面 zzyx n 222 n 为自然数 所围成的立体体积 分析分析 曲面即为 n zzyx 1222 由基本初等函数 u z 2 和 n zu 1 的知识可以判 定 0 z 1 否则 若 z 1 则 n zz 12 与方程式矛盾 对旋转体作微元分析 zdzRdV 2 0 z 1 2 12 zzzR n 从而有 1 0 2 1 3 1 1 n n zdzzV n 2 空间曲线在 空间曲线在 xoy 坐标面上的投影坐标面上的投影 怎样求得空间区域 在 xoy 面上的投影呢 正如在本讲首节柱面柱面 与 投影柱面 投影柱面 所 言 你先得将它表示为一张 母线平行于 z 轴的柱面 与另一张曲面的交线 空间曲线在空间曲线在 xoy坐标面上的投影坐标面上的投影 是投影柱面是投影柱面 过空间曲线且母线平行于 z 轴的柱 面 与与 xoy 面的交线 面的交线 由空间曲线一般式中的两个方程消去变元 z 就得到将曲线向 xoy 面投影的投影柱面 H x y 0 投影方程为 H x y 0 z 0 特别的是 空间曲线 0 0 yxG zyxF 在 xoy 面上的投影就是 0 yxG 按 投影柱面 投影柱面 思路可以扩展一步 求直线在任一平面内的投影 直线在平面内的投影直线在平面内的投影 直线在平面内的投影 是投影平面 过直线且垂直于已知 平面的平面 与已知平面的交线 例例 26 求直线L 1 1 11 1 zyx 在平面 012 zyx 上的投影直线 L0 并 求L0 绕 y 轴旋转一周所得曲面的方程 分析分析 按作图步骤计算 按作图步骤计算 先求投影柱面 本题中即是过L且垂直于已知平面的平面 用 单参数平面族 方法 将过L 的平面方程记为 实际上不包含平面 01 zy 0 1 1 zyyx 1 1 n 要 n 和 2 1 1 1 n 垂直 用点积公式算出2 所求投影直线 L0有一般式方程 0123 012 zyx zyx 或 1 2 yz yx 2 1 设旋转面上任意一点为 x y z 必在相应的一个园周上 从而有 半径 半径 2222 1 2 1 2 yyzx 即 0124174 222 yzyx 11 例例 27 1 曲线 Rxyx Rzyx 2 2222 2 在 xoy 坐标面上的投影为 22 Rxyx 2 曲线 2 2 6 yxz yxz 2 2 在 xoy坐标面上的投影为 4 22 yx 分析分析 曲线 1 是园柱面与球面的交线 园柱面是它的投影柱面 求曲线 2 在 xoy坐标面上的投影 要先从两张曲面方程中消去 z 还要以 22 yxr 为未知量 解一元二次方程得 2 22 yx 空间曲面块S 在x o y 面上的一对一投影一对一投影 就是 S的边界曲线在xoy 面上的投影所围成 的区域 例27中曲线 1 的投影所围成的区域Rxyx 22 即是上半球面 222 yxRz 被柱面Rxyx 22 所截下的部份 在x o y 面上的一对一投影一对一投影 例27中曲线 2 的投影所围成的区域4 22 yx 即是开口向下的旋转抛物面 被 锥面所截下的部份 在x o y 面上的一对一投影一对一投影 也是锥面被旋转抛物面所截下的部份 在 x o y面上的一对一投影一对一投影 例例 28 求空间区域 在xoy 面上的投影 1 由 222 Ryx 和 222222 44yxRzyxR 所限区域 1 2 由曲面 0 1 222 zyxyyxz 围成的区域 2 分析分析 1的上 下边界面分别是上半 下半球面的部分块 它以园柱面 222 Ryx 为 侧面 1所相应的投影区域 Dx y 是 222 Ryx 2 的下边界面显然是z 0 而上边界面 22 yxz 它有两张母线平行于 z 轴的柱 面组成的側面 且此側面在 xoy面上的投影是一条封闭曲线 所以 这条曲线所围平面区域 就是 2的投影 即 Dxy 0 y 1 yxy 潜台词 都是广义的曲顶柱体 例例 29 计算曲线 0 0 zyxG zyxF 在 xoy 坐标面的投影上点 yxM处的切线斜率 解解 设方程F x y z 0确定了隐函数z z x y 又设想将它代入下一方程得 G x y z x y 0 这是一张母线平行于这是一张母线平行于 z z 轴的柱面轴的柱面 它与F x y z 0联列 还表示原 曲线 因而它和xoy 面的交线即是曲线的投影 投影方程还是 G x y z x y 0 用公式法求隐函数的导数 在投影上任意一点 yxM 12 z x F F x z z y F F y z yzzy xzzx zy zx y x FGFG FGFG y z GG x z GG G G dx dy 画外音 如果读者求出曲线在 M x y z 处的切线 并继续求出切线在 xoy面上的投 影 就会得到一个有趣的结论 曲线的切线在曲线的切线在 xoy 面上的投影 恰好是它的投影在相面上的投影 恰好是它的投影在相 应投影点处的切线 应投影点处的切线 这是一个很好的综合计算题 一般情况下 我们可以作 在yoz 面 或 zox 面 上的剖面图 截痕图 来具体 观察 也可以分析已知曲面方程 先判定区域的上下边界面及側面 第第 44讲讲 先一后二 算 三重 先一后二 算 三重 从微元法思路出发 处理平面区域D 上二重积分 或求 D 向 x 轴的投影区间 对 D 作 竖直分割 化二重积分为先对y 后对 x的逐次积分 或求D 向 y 轴的投影区间 对 D 作水平 分割 化二重积分为另一顺序的逐次积分 同样 从微元法思路出发 在直角坐标系或柱坐标系下 在直角坐标系或柱坐标系下 计算具有连续体密度 f x y z 的空间区域 的质量 即三重积分 需要先求出 在 xoy面上的投影D x y 对 作竖 直分割 先对z 作定积分 再于 D x y 二重积分 1 在直角坐标系或柱坐标系下计算 在直角坐标系或柱坐标系下计算三重积分三重积分 假设过 D x y 上任意一点 x y 且垂直于 xoy 面的直线 最多只和区域 的边界曲面 有两个交点 即区域 可以表示为 21 yxzzyxzDyxzyx xy 其中 z z1 x y 称为 的下边界面 z z2 x y 为上边界面 这时 三重积分可以通过 先一后二 降维法 先一后二 降维法化为三次定积分 在直角坐标系及柱坐标系下分别有 dvzyxf dzzyxfdxdy yxz yxz D 2 1 dvzyxf dzzrrfdrdr rrz rrz D sin cos sin cos sin cos 2 1 潜台词 粗想柱坐标 即 竖直方向对 z 积分 投影上用极坐标作二重积分 例例 32 试证明曲面 1 22 yxz 上任意一点 M 处的切平面和曲面 22 yxz 所围 成的体积为定值 分析分析 所讨论区域由上下边界面围成 上下边界面围成 显然 曲面 1 22 yxz 的切平面是区域的 上边界面 曲面 22 yxz 是区域的下边界面 设切点为 000 zyx 用替换法得到切平面方程 1 1 2 2 0 2 0000 0 yxzyyxx zz 即 2 0 2 000 122yxyyxxz 13 上 下边界面方程联列消z 得 Dxy为 1 2 0 2 0 yyxx 体积 V xy D yxyyx yx dzdxdydv 2 0 2 000 22 122 D dxdyyyxx 1 2 0 2 0 由于积分区域和被积函数具有相同的园对称性积分区域和被积函数具有相同的园对称性 所以我们用 平移极坐标 来处理 这个二重积分 即令 rdrddxdyryyrxx 20 sin cos 00 易算得 2 0 1 0 2 2 1 rdrrdV 所求体积和切点 000 zyx的位置无关 例例 33 计算 x 2在 上的三重积分 由柱面 222 Ryx 和 222 Rzx 围成的空间 区域 分析分析 柱面 222 Ryx 是母线平行于 z 轴的柱面 且是 的侧面 另一个柱面自然要 剖分为两半 分别是下上边界面 即 D x y 222 Ryx 2222 xRzxR 进而 原积分 xyxy D xR xR D dxdyxRxdzdxdyx 22 22 2222 2 5 15 16 R 有趣的是 尽管 D x y是园域 本题用直角坐标计算较为简单 用极坐标计算反而繁杂 2 用球坐标系计算三重积分 用球坐标系计算三重积分 球坐标系球坐标系是较为复杂的曲线坐标 我们可以这样来实际联想球坐标 即 1 空间中任意一点 M x y z 必定在以原点为心 半径为 r 的唯一球面上 故r 成为 球坐标系下动点M 的第一个坐标数 实际上 222 zyxr 0 r 0 D t 为 222 tyxyx 1 讨论F t 在 0 上的单调性 2 证明 t 0 时 2 tGtF 分析分析 分别分别应用球坐标和极坐标系 将定积分变元统一为 r 并利用对称性 算得 16 0 t时 t t t t drrf rdrrf tG rdrrf drrrf tF 0 2 0 2 0 2 0 22 2 1 运用商函数求导法则 2 0 2 0 22 2 t t rdrrf rdrrtrfttf tF 已知 0 xf 故 tF F单增 2 作 2 tGtFtH 要证明0 t时0 tH 由于 tF与 tG都 是有正分母的分式函数 只需通分后证明分子 2 1 tH是正函数 0 2 1 2 2 1 222 0 2 0 2 0 2 00 22 0 222 2 0 2 0 22 0 2 1 dxdyyxyfxf ydyyfxdxxfdxxfdyyyfdyyfdxxxf rdrrfdrrfdrrrftH D tttttt ttt 其中 我们把定积分的乘积 转换成了坐标矩形区域上 被积函数变量分离的二重积 分 比如 上述2 1 tH的后一项 xydxdyyfxfydyyfxdxxfrdrrf D ttt 222 0 2 0 2 0 2 也可以应用单调法单调法 验证 0 1 tH 且0 0 1 H 3 应用对称性计算高维标量积分 应用对称性计算高维标量积分 1 积分区域关于某坐标轴 平面情形 或坐标面 空间情形 具有对称性 积分区域关于某坐标轴 平面情形 或坐标面 空间情形 具有对称性 2 被积函数关于相应的自变元具有 奇偶性 被积函数关于相应的自变元具有 奇偶性 例如 如果积分区域关于y o z 坐标面为对称 而被积函数恰好是关于变元 x 的奇函数 则重积分值为零 若被积函数是关于变元 x 的偶函数 则重积分值 2倍于该函数在对称半 区域上的重积分 例例 40 是上半球域1 222 xyx z 0 而 1是其位于第一卦限部份 则 A xdv 4 xdv 1 B xdv 4 ydv 1 C zdv 4 zdv 1 D xyzdv 4 xyzdv 1 分析分析 答案 C 因为区域 既关于 xoz 面又关于yoz 面对称 即 既是左 右对称 又前 后对称 而被积函数z 既是关于自变元 y 也是关于 x 的偶函数 A B D 的左端都为零 而右端都是正函数的积分 其值当然大于 0 潜台词 同理 本题可改为上半球面及其位于第一卦限部份的标量曲面积分 17 第第 45讲 讲 曲面积分曲面积分预备预备多多 高维积分先投影 弯曲微元 要转换 第一型曲面积分通过 面积微元转换 直接 转换为其一对一投影区域上的二重积分 预备工作预备工作 1 曲面块向曲面块向 x o y 坐标面坐标面投影投影 如果曲面块如果曲面块 S 和它在和它在 x o y坐标面上的投影坐标面上的投影 D x y 成成一对一 一对一 则则 D x y 就是曲面块的边就是曲面块的边 周线在周线在 x o y 平面上的投影所包围的平面区域平面上的投影所包围的平面区域 否则分块投影 或向另一坐标面投影 预备工作预备工作 2 微面积元转换微面积元转换 设曲面设曲面 F x y z 0 在在 x o y 面内有一对一的投影面内有一对一的投影 D x y 首先用坐标线把D x y分割成排列整齐的矩形微元 d 再过各分割线作竖直坐标面 也就是投影柱面 就能把曲面块截分割成若干微元dS 用曲面微元上任意一点处相应的切平面微片来替代曲面微元dS以计算面积 潜台词 切平面微片与微面积元投影 d 就象直角三角形的斜边与直角边 cos cos d dSdSdSd 切曲切 于是 其中 是所取切平面和xoy 平面的夹角 也就是两个平面的法方向之间的夹角 若光滑曲面块有方程z f x y 则切平面法向 1 yx ffn 微面积元转换式微面积元转换式 dffdS yx 2 2 1 对于常用的锥面 常用的锥面 22 yxz 球面 球面 2222 Rzyx 上半或下半 和 柱面 柱面 222 Ryx 前半或后半 读者不妨记住它们的面积微元转换式不妨记住它们的面积微元转换式 顺次为 dxdydS2 222 yxR Rdxdy dS 22 yR Rdydz dS 预备工作预备工作 3 用曲面方程用曲面方程 z f x y 替换被积替换被积函数式中的变元函数式中的变元 z z 潜台词 若向另一坐标面投影 函数变元也有相应变化 三项预备完毕 在一对一投影区域 D x y上 标量曲面积分转化为二重积分 dxdyzzyxzyxfdSzyxf SD yx xy 2 2 1 取密度函数 1 f 就得到面积公式 18 通常可以作曲面块在 y o z 坐标面上的剖面图 观察和讨论曲面块的投影是否一对一 例例 43 求锥面 22 yxz 被园柱面 222 Rzx 截下部份的面积 分析分析 锥面块与它在xoy面上的投影显然是一对一的 且 dxdydS2 联列锥面和柱面方程 即为曲面块的边周线方程 两方程消 z 求得投影柱面 222 2Rzx 进而知锥面块的投影 D x y 为 222 2Ryx 椭园域D x y面积 2 2 2 2 RR R 锥面块面积 xy D dxdy 2 R 2 例例 44 锥面 22 yxz 被抛物柱面 z 2 2y 截下部份的面积为 2 分析分析 锥面块的一对一投影 D x y 为 yyx2 22 且 dxdydS2 与上例一样算得 锥面块的面积 2 例例 45 求曲面 zyx 22 夹在曲面 yyx 22 和yyx2 22 之间部份的面积 分析分析 这是锥面的一个有限段 曲面块的内 外边界线正好都是母线平行于z 轴的柱面与 锥面的交线 因而能直接得到其投影区域 0 2 22 yyyxyyxDxy 从而 0 sin2 sin 4 23 22rdrddxdyS xy D 例例 46 计算 S dSxyzI S 为曲面 22 yxz 被夹在平面 z 0和 z 1 之间部份 分析分析 S 实际上是抛物面 22 yxz 被平面 z 1截下的部分 联列两方程得曲面边周线一般式方程 两方程消 z 得 D x y 1 22 yx 又算得 dxdyyxdS 41 22 dxdyyxyxxyI xy D 41 2222 2 0 1 0 24 41cossin 4 rdrrrd 15125 420 1 412sin 1 0 2 2 0 duuud 其中 先应用了二重积分的对称性 积分区域D x y 左右对称 上下对称 被积函数既关 于x 又关于 y为偶函数 最后对u 积分用分部积分法 例例 47 已知A球面半径为 a 另有一 B球面与 A球面相割 若B球心在 A球面上 问 B球半径r 为多少时 夹在 A球面内的 B球面面积最大 求出此最大值 分析分析 讨论极值先建模 以 B球心为坐标原点 A球心在 z 轴正方向上 则有 A球面 2222 aazyx B球面 2222 rzyx 欲求投影 直接消去z 有困难 方法 先由联列方程解出 z 再代回 A球面方程 19 把交线表示为 222 2 2 2 222 4 1 rzyx R a r ryx 2 视视 r 为常数为常数 由此得投影区域D x y 222 Ryx 从而 在极坐标系下有目标函数 xy D R yx a r r r dr ddxdyzzrS 2 0 0 3 2 22 2 2 2 21 易算得函数S r 在点 ar 3 4 处有最大值 2 27 32 3 4 aaS 例例 48 求柱面x2 y2 R2 夹在平面 y z 和 z 0 之间的那部份的面积 分析分析 所求面积是对称的两块 有一块在第一 二卦限内 相应于坐标 y 0 只需要 计算这一半的面积 为了保证曲面块与其在坐标面上的投影成一对一保证曲面块与其在坐标面上的投影成一对一 我们只能向 x o z 平面投影 z 0 已经是投影柱面 再联列 x2 y2 R2 和 y z 消去 y 就得到投影 D x z x2 z2 R2 且 z 0 面积 xz D R R xR Rdz xR R dxdxdz xR R S 0 2 2222 22 422 例例 49 设柱面块 x2 y2 R2 0 z R 上有密度分布 222 zyx z zyxf 其中 函数 z 在 0 R 上连续 试证明柱面块的质量m 为 R dzz zR Rm 0 22 1 2 分析分析 在柱面块上任意一点处 实际上有密度 22 zR z zyxf 再注意到园 柱面x2 y2 R2的特点 考虑直接用微元分析法建立计算质量的数学模型 用微元分析法建立计算质量的数学模型 在高度 z 处 0 z R 水平地截下柱面块的高为 d z 的微带 相应的质量微元 Rdz zR z dS zR z dm 2 2222 潜台词 高度z 处的微元 是宽为 d z 的环带 剪开铺平为矩形 第一型 关于弧长的 曲线积分第一型 关于弧长的 曲线积分 20 第一型曲线积分可以由曲线参数方程和弧微分因子转化为定积分 即 L ttt dtzyxt zt yt xfdszyxf 2 2 2 其中定积分的下限定积分的下限 必须小于上限必须小于上限 被积函数定义在曲线上 被积函数定义在曲线上 潜台词 可以选自变量x 为参数 重点预备工作重点预备工作 熟悉并正确选用 弧微分 表达式 例例 51 1 椭园周L 1 34 22 yx 的周长为 L dsyxxy 22 432 2 求八分之一的球面 2222 Rzyx x 0 y 0 z 0的边界曲线的重心 曲线 的线密度 1 3 设第一象限内有光滑曲线段y f x 0 x b 其上有连续的密度 x y 而原 点处有质量为m 的质点 试将曲线段对质点的引力F的分量 Fx表示为曲线积分 分析分析 标量的曲线积分化为定积分计算时 微元有转换公式 即弧微分公式 dxxfds 1 2 这就往往给计算积分带来困难 1 椭园方程 1243 22 yx 椭园曲线左 右对称 被积式第一项分别是关于 y的奇 函数 故 L xyds02 原积分 LL adsdsyx1212 43 22 潜台词 被积函数就定义在曲线上 1243 22 yx 2 设重心坐标为 zyx 则曲线段对则曲线段对yoz面的静力矩等于质量集的静力矩等于质量集 中在重心时质点对中在重心时质点对yoz面的静力矩的静力矩 分别记 L 在xoy面 yoz面 zox面的部分为 321 LLL 质量 LL R dsdsm 12 3 3 L1的弧长为球大园园周的四分之一 L R LL R dx xR Rx m xdsxds m xds m x 0 22 3 42 11 13 其中 在L2上恒有被积函数x 0 积分为 0 由对称性得重心 3 4 3 4 3 4 RRR 3 用微元法和物理公式建模 曲线段 y f x 上任意一点 M x y 处 微弧段 d s 有质量 x f x d s 从而应用万 有引力定律 dF x的大小为 cos 2 r dsxfxm kdFx ds yx xfxx km 2 322 其中 是MO和 x 轴的夹角 光滑曲线段 y f x 位于第一象限 总是锐角 21 F x ds yx xfxx km L 2 322 例例 52 设 x 是抛物线 xy 上任意一点 M x y x 1 处的曲率半 径 s s x 是该抛物线上介于点A 1 1 与M 之间的弧长 试计算 2 2 2 3 ds d ds d 的值 在直角坐标系下 曲率K y 1 y 2 3 2 分析分析 容易算出 M x y 处的曲率半径 2 3 14 2 11 x K x 抛物线上AM 段的弧长为 x duus 1 1 4 1 故 x dx ds dx d ds dx dx d ds d 6 1 14 6 1 2 2 x dx ds ds d dx d ds d 2 2 2 3 ds d ds d 2 3 14 2 3 x 14 6 x x36 9 第第 46讲 曲线积分学场论讲 曲线积分学场论 向量曲线积分的学习内容分两部分 第一块是积分定义与算法 投影法 积分定义与算法 投影法 第二部分 是 有势场 的四个等价定理 有势场 的四个等价定理 两部分之间 格林公式是桥梁格林公式是桥梁 它既使向量曲线积分算法丰富多彩 又是证明 等价 四定理 的基本出发点 考研数学在 场的奇异点 问题上命题 其内容远远超过教材范围 但此内容较为单 一 容易学会 关键是要熟悉 复连通域上的格林公式 及其推论 1 向量曲线积分的物理模型与微量分析 向量曲线积分的物理模型与微量分析 计算常力作功 是向量数量积 内积 的起源模型之一 即若质点在常力F的作用 下有位移矢量L 则常力F 作功 W F cos L F L 其中 是两矢量的夹角 向量曲线积分的物理背景是 非恒定力场中场力作功问题 已知平面力场 jyxQiyxPF 在此平面力场中 若沿路径 L指定 方向移动了质点 可以由起点始 顺次将路径 L 分为若干有向微段 设在L上任意一点M 处 有相应微段 其上各点的力矢量都取为定向量jMQiMPMF 由于 微弧长d s 与微弦长是等价无穷小 故可取位移矢量 dl 0 dydxds 功 场力作功 的微量 dwdyMQdxMPdlF LL dyyxQdxyxPldFW 模型与定义稍有差别 教科书上定义向量曲线积分 是两个积分分别用 积分和的极 22 限 来定义 这是要避免可能 不存在 不存在 存在 保证每个积分都存在 理论上说 曲线积分的被积函数就定义在该曲线上 因而在必要的时候 可依据曲线方 程变换被积式中的P 和 Q 这时在物理意义上 就是换了一个场 再来计算 力场换了 但 沿此路径作功的量不变 2 第二型曲线积分 向量曲线积分 的基本算法 第二型曲线积分 向量曲线积分 的基本算法 投影法投影法 投影法投影法 应用积分路径的参数方程 将曲线积分化为由起点参数 到终点参数 的关于参变量的定积分 即 设有积分路径 L txx tyy t由 起到 不能记为不能记为 t 则 L dttytytxQtxtytxPQdyPdx 积分限由 起点参数 到终点参数 的规定 显示了积分的方向性 积分可加性积分可加性 如果积分路径由两条或多条曲线连成 则要按照指定的统一方向指定的统一方向 顺次把积分表示为各段路径上的积分之和 再分别用投影法化为定积分计算 例例 55 设 L为园周 2 22 yx 在第一象限中的部份 逆时针方向 则 曲线积分 L ydxxdy2 的值为 分析 分析 用参数方程 sin2 cos2 yx 由 0 到 2 积分 2 3 sin22 2 0 2 d 例例 56 试将曲线积分 L dydxyxf 表示成定积分 其中L 是以 A 1 2 1 1 B 及C 2 0 为顶点的三角形周边 ABCA 解解 积分按ABCA 的顺序进行 各段分别有参数方程 AB yy x 1 y由 2 到1 BC yy yx 2 y 由1 到 0 CA yy y x 2 2 y由 0 到 2 BC 及 CA 段也可以选 x为参数 原积分 dyy y fdyyyfdyyfdyyf 2 0 0 2 1 0 0 1 2 2 2 1 2 2 1 1 其中 为了处理绝顶值 AB 段的积分 按统一方向分为两段积分 潜台词 功夫在快写 坐标折线 或一般线段的参数方程 突出方向性 例例 57 质点 P沿着以AB 为直径的半园周 从点A 1 2 运动到点B 3 4 的过程 中 受到变力F作用 F的大小等于点P到原点O 之间的距离 其方向垂直于线段 OP 23 且与 y 轴正向的夹角小于 2 求变力 F 对质点 P所作的功 A 分析分析 涉及物理背景的题目 首先求出力场的向量式涉及物理背景的题目 首先求出力场的向量式 易知直径 22 AB 由于半园周在第一象限 故变力F的指向为左上 它在水平 方向投影为负 竖直方向投影为正 潜台词 二微情形 向量两要素思维 先定方向 符号 再算大小 又 两对边分别垂直的两个角相等 力F与 y轴所成角等于向径 OP与x 轴所成角 从 而易知 jxiyF 轨道圆心 C 2 3 轨道有平移后的极坐标式 sin23 cos22 y x 由 4 3 到 4 xdyydxsdFA ABAB 4 4 3 1 2 2sin23cos22 d 3 单连通区域上的格林公式 单连通区域上的格林公式 计算沿闭曲线 常称为闭轨 指定方向的曲线积分 在向量场背景下 可以用格林公 式转化为二重积分 单连通区域单连通区域 区域内的任一闭曲线 总可以向心收缩为区域的一点 区域内的任一闭曲线 总可以向心收缩为区域的一点 逆向对比逆向对比 如果有必要在区域D 内讨论平面力场 jyxQiyxPF 而P或 Q 仅在 D 内一点M0无定义或偏导数不连续 那就认为 M0不属于所论力场 虽然仅 仅一点 我们也得 挖 去它 这时我们面临的就是复连通区域 显然 D 内任何围绕M0的 闭曲线都不能向心收缩为区域D 的一点 闭曲线正向闭曲线正向 当你沿闭曲线正向行进时 闭曲线所围区域总是在你的左手一侧 特 别的 单连通区域的边界正向就是逆时针向 格林公式格林公式 如果函数 P x y Q x y 及 y P 和 x Q 都在单连通区域 G 中连续 规定G 内的闭曲线以反时针方向为正向 则 DL dxdy y P x Q dyyxQdxyxP 正向 例例 58 平面区域 yxyxD0 0 L是D的正向边界 试证明 1 dxyedyxedxyedyxe x L yx L ysinsinsinsin 2 2sinsin 2 dxyedyxe x L y 分析分析 1 从 0 0 0 0 0 0 用投影法逐段计算 左端 dxeedxedye xxxy sin 0 sin 0 sin 0 sin 右端 24 则面积 潜台词 定积分的值与积分变元用什么字母表示无关 2 22 sinsinsinsin xxxx eeee 故 原积分 2 2 分析二分析二 如果应用格林公式计算本题 则 1 的左端 D xy dee sinsin 1 的右端 D xy dee sinsin 区域D关于 xy 对称 而被积函数恰好有 xyfyxf 的特点 故前一 积分于区域D左上的值等于后一积分于区域D之右下 而其右下则等于后一积分之左上 1 成立 4 积分与路径无关理论 积分与路径无关理论 等价四定理 等价四定理 积分与路径无关理论 积分与路径无关理论 可以说是关于场的分类理论 即讨论 什么样的力场才和重力场有相同的性质 积分 作功 与路径无关 什么样的力场才和重力场有相同的性质 积分 作功 与路径无关 潜台词 积分 作功 只与起点终点位置有关 物体反抗场力所作功 转化为物体的 势能 积分与路径无关积分与路径无关等价四定理 等价四定理 在同样的前提条件下 单连通域 P Q 有连续 的一阶偏导数 可以证明下列四个命题等价 命题命题 1 曲线积分 dyyxQdxyxP AB 的值与路径无关 命题命题 2 沿区域G 内任何光滑闭曲线的积分为零 命题命题 3 在区域G 内 恒有 x Q y P 命题命题 4 P dx Q dy 在区域G 内为全微分表达式 即 有二元函数 F x y 可微 且 dF Pdx Qdy 实际上 F x y 00 yx yx QdvPdu 可以沿坐标折线积分沿坐标折线积分 具体求出 F x y 上述理论使我们可以更加灵活地计算曲线积分 甚至用曲线积分来计算面积 即 L QdyPdx 闭轨 QdyPdx L L为光滑有向曲线段 x Q y P 积分为零 积分与路径无关 可以另选较易计算 的轨道来算出原积分 x Q y P 可以应用格林公式化为二重积分 也可以用投影法计算 照常用投影法计算 也可以考虑 1 添路径 用格林公式列方程 2 调整被积函数 部分应用格林公式 设平面区域的边周曲线为L 2 1 ydxxdyS L 正向 例例 60 计算 dyxeydxexy yy AOB cos 12 其中 AOB 为由点 1 1 A 沿曲线 y x2 到点 O 0 0 再沿直线 y 0 到点 B 2 0 的路径 解解 直接用投影法计算 将会在 AO 段碰上计算dxe x2 0 1 的困难 OB 段的计算很简单 故考虑对 AO 段增添路径 构成统一方向的闭路 部份使用格林 25 公式 列方程 求 原积分 潜台词 需添加路径列方程或另选轨道时 首先考虑用坐标折线 选点 D 0 1 用坐标折线段 OD DA 与 AB 组成正向闭路 AODA 这就有方程 31212 1 0 1 2 xdyxdxdy x D ODAAO 易算得 edxexydy ODA 1sin6 12 cos 1 0 1 0 21 2 0 dx OB 原积分 OBODAODAAO 1 e sin1 例例 61 确定常数 使右半平面x 0 上的向量 jyxxiyxxyyxA 2 24224 为某函数 u x y 的梯度 并求 u x y 解解 记 2 24224 yxxQyxxyP yxA在右半平面 x 0 上为某二元函数 u x y 的梯度 即是说要 Pdx Qdy 是全 微分式 其充要条件是 y P x Q 此即 0 1 4 24 yxx 解之得 1 在右半平面内任取一点 例如取 1 0 作为积分路径的起点 则得 C vu dvuuvdu yxu yx 24 2 0 1 2 Cdv vx x du vu uyx 24 2 0 24 1 02 C x y arctg 2 5 被积函数有奇异点的曲线积分被积函数有奇异点的曲线积分 在场论背景下计算曲线积分 被积函数有奇异点时 可以选择在不含奇点的那些区域 内展开讨论和计算 利用复连通域上的格林公式 可以得到关于奇异点的一个有趣的结论 定理定理 如果向量场 如果向量场 P Q 只有一个奇异点 而除去此点外处处有 只有一个奇异点 而除去此点外处处有 y P x Q 则在此场内 沿围绕奇异点的任意一条正向闭路径 积分为常数 则在此场内 沿围绕奇异点的任意一条正向闭路径 积分为常数 潜台词 逆向思维 这个常数是此奇异点的某种特征 复连通域上的格林公式 复连通域上的格林公式 如果单连通区域的内部被 挖 去一块 可以是一个点 或几块 就构成最简单的复 连通区域 让我们熟悉以下的经典讨论方法 设有单连通区域D内挖去 1 D后形成的复连通区域G 按照边界正方向的规定 沿沿 着边界正方向前进 区域总是在左手一方着边界正方向前进 区域总是在左手一方 G的正向边界由D的反时针向边界和 1 D的顺时针向边界共同组成 在内外边界上相向较近的地方各选一点 连线成铺助路径 按照 复变函数 的说法 这是一剪剪开 形成重叠但如下反向的两条铺助路径 戏称 上岸 下岸 或 左 26 岸 右岸 如下选择 可以 一笔画 的 正向边界 D的反时针向边界 铺助路径进入 1 D的顺时针的边界 铺助路径退出 就将G改造成一个单连通区域 并推出复连通域上的格林公式 省去共同的被积式 dxdy y P x Q DGD 顺时针向边界铺助路径退出方向铺助路径进入方向时针向边界逆 1 GGG dxdy y P x Q QdyPdxQdyPdx 的顺时针向内边界的逆时针向外边界 通常简写复连通域G上的格林公式为 GG QdyPdx 的全体边界正方向 dxdy y P x Q 如果在复连通区域G上恒有 x Q y P 则上式右端为 0 公式表明 的反时针向内边界的反时针外边界GG QdyPdxQdyPdx 由此可以证明前面所述那个有趣的定理 例例 63 计算曲线积分 dy yx yx dx yx yx I L 2222 其中路径 L 是从点 A a 0 经 上半椭园 1 2 2 2 2 b y a x y 0 到点B a 0 的弧段 分析分析 被积函数有奇异点 0 0 在除去此点外的区域内 经核算恒有 x Q y P 积分与路径无关 我们可以在不包含原点的区域内 如上半平面 0 y 选择特殊的积分路 径进行计算 选上半园周 222 ayx y 0 被积式的分母均可换为常数 从而 原积分 d cos sin cos sin sin cos 0 例例 64 设函数 f x 在 内有连续的导函数 L是由点 2 3 3 A 到B 1 2 的直线段 求 dyxyfy y x dx y xyfy L 1 1 2 2 2 解解 x 轴上的每一点都是向量场的奇点 但 y 0 时 x Q y P 若只在上半平面内考 虑问题 则积分与路径无关 可以选择坐标折线 ACB 点 32 1 C 来计算 原积分 dy y yfdxxf 1 3 2 9 4 1 2 3 2 2 3 2 1 3 对前积分作xy 3 2 27 4 1 3 3 2 2 2 3 2 32 2 y dyyfdyyf 潜台词 抽象函数的积分项在计算过程中恰好被消掉 有典型意义 例例 65 计算曲线积分 2 2 4yx ydxxdy L 其中 L 是以点 1 0 为中心 R为半径的园 周 R 1 方向为逆时针向 分析分析 奇点 0 0 但 R 1时 园周内有孤立奇点 0 0 加一辅助路径 利用复连通域G上的格林公 式 能证明 绕此孤立奇点的任意围道绕此孤立奇点的任意围道 L 上 曲线积分值相等上 曲线积分值相等 注意到被积式分母的构造 最好选椭园路径 1 L sin cos 2 y x 且选定正数 适当小 使椭园周全含于积分园周内 这样一来 被积式的分母可换为常数 由 0起到 2 原积分 2 0 2 2 11 1 dydxxdy L 例例 66 设函数 y 具有连续导数 在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上 曲线 积分 L yx xydydxy 42 2 2 的值恒为同一常数 1 证明对右半平面0 x内任一分段光 滑简单闭曲线C 0 2 2 42 C yx xydydxy 2 求 y 的表达式 分析分析 为了利用已知条件 在闭曲线C上任选两点M N 将C分为 MRN和 MPN两段 并以M N为端点 作环绕原点的曲线孤段MQN 形成两条环绕原点的逆 时针向闭曲线MQNRM和MQNPM 则 NPMMQNMQNPMNRMMQNMQNRM 故 0 2 2 42 CMPNNRMNPMNRM xx xydydxy 2 由 1 的结论表明 在右半平面 0 x内 已知曲线积分与路径无关 这等价 于恒有 x Q y P 经计算有 242 342 2 4 2 xx yyyyyx y P 242 52 2 24 xx yyx x Q 28 对比两个表达式中 分子的多元多项式的结构多元多项式的结构 知要 y P x Q 可以按照关于 x 的两个多项式相等 各次项 系数 相等 得 yy2 且 534 2 4 yyyyy 由前式解出Cyy 2 要满足后式只有0 C 从而 2 yy 例例 67 已知力场 kxyjzxiyzF 试问 把质点从原点沿直线路径移到椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的第一卦限部分上的哪一点 场力作功最大 并求此最大的功 解解 设 M0 x0 y0 z0 是椭球面上任意一点 则过原点 O 和 M0的直线有参数方程 0 OMtOM 即 txx 0 tyy 0 tzz 0 t由 0 起到 1 功 000 2 1 0 000 3 0 zyxdttzyxsdFA OM 由M0的任意性 问题转化为计算条件极值 yz max maxxA 而 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 zyx c z b y a x 利用幂函数的单调性 讨论目标函数 222 2 1 cba A A 于是 已知三正数和为已知三正数和为 1 则则 仅当它们相等时其积最大仅当它们相等时其积最大 所求点为 3 3 3 3 3 3 cba 最大的功为abc 9 3 例例 68 68 设 yxQ 有连续的一阶偏导数 积分 dyyxQxydx L 2 与路径无 关 又对任意数t 恒有 1 0 0 1 0 0 22 tt QdyxydxQdyxydx 求 yxQ 分析分析 由 x Q y P 产生微分方程 x x Q 2 2 yCxyxQ 这是关键 含偏导数的微分方程求解时 产生另一个变量的任意函数项含偏导数的微分方程求解时 产生另一个变量的任意函数项 要确定这个任意函数 需要另一个条件 方程 先把已知等式化为下折线积分式 左端 CtdyyCt 1 0 22 数 右端 tt dyyCtdyyC 00 1 求导直接得 12 ttC 从而 12 2 yxyxQ 第第 47 讲 曲面积分汇 三度 讲 曲面积分汇 三度 向量曲面积分的背景模型是 流场 zyxRzyxQzyxPA 于单位时间内通过曲面块 S 29 流向其指定一侧流向其指定一侧的流量 设曲面S 指定侧的法方向有方向余弦 cos cos cos 0 n 在曲面 S上任一 点M 处有微曲面块 dS 则单位时间内通过 dS 流向曲面 S指定侧的的微液柱 可以视为 底面积dS 高为 0 nA 的直柱体 不妨取液体密度为1 则 微流量 质量 dsAdsnAdQ 0 数学理论保证目标流量为 dSRQPSdAQ S coscoscos 向指定侧 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP S 指定侧 其中 cos 是该侧法方向与 x轴夹角的余弦 x 轴正向是正立面法向 故 dS cos 是 微曲面块在正立面上的投影 第二 三项类似 潜台词 首先得到的模型 是标量曲面积分 恰好可由投影计算变形 1 第二型曲面积分基本算法 投影法 第二型曲面积分基本算法 投影法 计算第二型曲面积分 必须将有向光滑曲面块 S分别向三张坐标面作一对一投影分别向三张坐标面作一对一投影 判定投影符号 化为不同坐标面上的三个二重积分化为不同坐标面上的三个二重积分 特别的特别的 0 0 积分规定 如果曲面块积分规定 如果曲面块 S S 在某一坐标面上的投影是一条曲线 则在某一坐标面上的投影是一条曲线 则 规定相应的那个曲面积分为零 规定相应的那个曲面积分为零 如果曲面块 S指定的一侧的外法向与某一坐标轴成锐角 则 S 在与此坐标轴垂直的坐 标面上的投影为正 反之 若成钝角 则投影为负 具体可以归结为如下的标准情形 计算积分 Pdydz S 向 yoz 面投影 前侧投影为正 后侧投影为负 潜台词 习惯绘三维坐标时 将 x轴正向指向前 故前侧法向与x 轴总是成锐角 计算积分 Qdzdx S 向 zox 面投影 右侧投影为正 左侧投影为负 计算积分 Pdxdy S 向 xoy 面投影 上侧投影为正 下侧投影为负 一般情形远比标准情形复杂 例如 若 S为锥面块 10 22 zyxz下侧 则它在 xoy 面上的投影是一对 一的 且投影为负 但是向另外两张坐标面投影时 其投影显然都不是一对一的 需要相应 分成两半 将给定的侧转化为相应的标准情形 再分别判定投影符号 即 向y o z 面投影时 S 下侧 前半前侧 后半后侧 向z o x 面投影时 S 下侧 左半左侧 右半右侧 潜台词 用开口向上的半个 西瓜皮 来比较 下側即是 青皮 外法向立足 青皮 旋转一周 它与z 轴的夹角全为锐角 但与 x轴正向的夹角 就前正后负 与标量曲面积分对比与标量曲面积分对比 计算两类曲面积分 起点都是 曲面块的一对一投影 但向量曲面积分的关键是 有向投影 要分别判定三个投影的符号 而标量曲面积分的关键是面积微元转换式 相同点是 被积式定义在曲面块上 具体积分时 要确定 函数变元 并转换 例例